相似三角形的应用举例
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(共31张PPT)
27.2.2 相似三角形的应用举例
（第1课时）
教材：义务教育课程标准实验教科书(人教版)
老河口市第四中学 李务光
一. 教材分析
相似三角形的应用是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的，是相似三角形知识的应用、延伸与拓展，是将相似三角形与实际生活相结合的应用性问题。本节课要让学生了解影与平行投影的含义，掌握在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成正比例，使学生在会应用上述定理的基础上解决实际问题。另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识，因此本节内容对于学生今后从事各种实际工作也是有重要作用的，是以后学习“锐角三角函数”和“投影与视图”等知识所必须的基础。
（一）教材的内容及其地位和作用
一. 教材分析
（二）教学目标
知识与技能目标：进一步巩固相似三角形的判定和性质，运用其计算不能直接测量物体的长度和高度
数学思考 ：感知生活中的相似，通过观察、猜想、类比、归纳、建模等过程，积累数学活动经验，发展学生的抽象概括能力，培养学生应用数学能能力。
解决问题 ：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，提高运用数学知识和技能解决生活中的实际问题的能力，发展应用意识。
情感态度与价值观 ：引导学生对生活中的相似进行观察和探索，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
一. 教材分析
（三）教学的重难点
重点
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度
难点
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）
（1）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，因此，教师要精心设计教学过程，以正确、适当的方法来分散、降低难度，也可以适当增加课时．
（2）九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．因此要尽量让学生多观察实物和图形，引导他们探索、发现生活中蕴涵的数学知识。
（3）课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．
（4）通过本节课的教学，让学生体会到要解决生活的的测高问题，关键是要建立相似三角形的模型。另外，可根据学生的实情，多选择一些学生熟知的实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用数学知识解决问题的能力．
难点突破方法
四、教学过程设计
活动1 情境引入，提出问题
活动2 探究归纳，构建模式
活动3 介绍历史，激发兴趣
活动4 操作演练，形成技能
活动5 变式训练，交流活动
活动6 检测评价，课题作业
㈠ 情境引入，提出问题
㈠ 情境引入，提出问题
㈠ 情境引入，提出问题
利用相似三角形可以计算那些不能直接测量的物体的高度！
问1 太阳光线与这些实物的高及他们的影长构成了什么样的图形呢？
问2 这些图形又有着何种关系呢？
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度
想一想？
㈡ 探究归纳，构建模式
怎样测量旗杆的高度呢？
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ′
Ｂ′
Ｏ′
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
㈢ 介绍历史，激发兴趣
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
例3 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
B
E
A(F)
D
O
㈣、操作演练，形成技能
B
A
D
O
C
解法二：用镜面反射（如图，在点A处放块小镜子，根据光的反射定律，由入射角等于反射角构造相似三角形）
㈣、操作演练，形成技能
㈤、变式训练，交流活动
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例。在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米
2、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高
这节课我们主要学习了什
么内容？有哪些收获呢？
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
㈥、检测评价，课题作业
1．教材P56. 习题27.2 第10题；第11题．
五、教法学法
本节课以“问题情境──建立模型──巩固训练──拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
教无定法，贵在得法。由于学生对生活中测量知识了解很少，会对例题的解答感到无从下手，不知如何思考。因此，对于生活中的相似，以问题情境模式引入，采用引导发现法；对于测量问题的建模难度较大，所以在教学过程设计中，先于例题设计了“测旗杆的高度”的这个探究活动，采用了自主探索、合作交流法。以增强学生的归纳、应用能力。从而达到分散、降低难度的目的。最后对例题的分析及练习题的巩固训练，就可采用小组讨论和讲练相结合的方法。因此本节课将大部分的时间交给学生，让他们充分动手寻找解决问题的办法，并且能上升为理论：画图形，找相似，得比例。
五、教法学法
教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课先从学生熟知的实际生活出发，创设有助于学生探索、思考、发现问题的情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、发现、类比、归纳、建模”过程，进一步积累数学活动经验，培养学生应用数学的能力。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。为了提高课堂教学的效益，本节课将借助于多媒体课件与实物投影仪进行教学。
六、评价分析
如前面分析，在实际问题中如何利用所学知识，建立数学模型是难点，因此本节课中教师的课前准备与课堂组织显得尤其重要。本节课中，通过创设一些问题情境，积极引导、启发学生探索思考，使学生学会学习、学会探索、学会研究。同时，借助设计制作的多媒体课件辅助手段，极大地提高了课堂教学效益。因此，在本节课中，教师的主导作用得到较好的发挥。
学生是课堂的主人，本节课中，学生在教师创设的情境下，自主探索，合作交流，积极参与课堂教学，主动构建新的认知结构，他们学习的积极性得到充分发挥，因此学生的主体地位也得到很好地保证。
由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，都应尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平。在学生回答时，通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能。尤其注意鼓励学有困难的学生主动参与学习活动，发表自己看法，肯定他们的点滴进步。对出现的错误耐心引导他们分析其产生的原因，鼓励他们改进；对学生思维的闪光点及时“亮相”，并予以肯定鼓励；对学有余力并对数学有浓厚兴趣的同学，通过布置选做题与研究性课题作业去发展他们的数学才能。
六、评价分析
27.2.2 相似三角形的应用举例
（第1课时）
教材：义务教育课程标准实验教科书(人教版)
老河口市第四中学 李务光
一. 教材分析
相似三角形的应用是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的，是相似三角形知识的应用、延伸与拓展，是将相似三角形与实际生活相结合的应用性问题。本节课要让学生了解影与平行投影的含义，掌握在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成正比例，使学生在会应用上述定理的基础上解决实际问题。另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识，因此本节内容对于学生今后从事各种实际工作也是有重要作用的，是以后学习“锐角三角函数”和“投影与视图”等知识所必须的基础。
（一）教材的内容及其地位和作用
一. 教材分析
（二）教学目标
知识与技能目标：进一步巩固相似三角形的判定和性质，运用其计算不能直接测量物体的长度和高度
数学思考 ：感知生活中的相似，通过观察、猜想、类比、归纳、建模等过程，积累数学活动经验，发展学生的抽象概括能力，培养学生应用数学能能力。
解决问题 ：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，提高运用数学知识和技能解决生活中的实际问题的能力，发展应用意识。
情感态度与价值观 ：引导学生对生活中的相似进行观察和探索，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
一. 教材分析
（三）教学的重难点
重点
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度
难点
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）
（1）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，因此，教师要精心设计教学过程，以正确、适当的方法来分散、降低难度，也可以适当增加课时．
（2）九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．因此要尽量让学生多观察实物和图形，引导他们探索、发现生活中蕴涵的数学知识。
（3）课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．
（4）通过本节课的教学，让学生体会到要解决生活的的测高问题，关键是要建立相似三角形的模型。另外，可根据学生的实情，多选择一些学生熟知的实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用数学知识解决问题的能力．
难点突破方法
四、教学过程设计
活动1 情境引入，提出问题
活动2 探究归纳，构建模式
活动3 介绍历史，激发兴趣
活动4 操作演练，形成技能
活动5 变式训练，交流活动
活动6 检测评价，课题作业
㈠ 情境引入，提出问题
㈠ 情境引入，提出问题
㈠ 情境引入，提出问题
利用相似三角形可以计算那些不能直接测量的物体的高度！
问1 太阳光线与这些实物的高及他们的影长构成了什么样的图形呢？
问2 这些图形又有着何种关系呢？
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度
想一想？
㈡ 探究归纳，构建模式
怎样测量旗杆的高度呢？
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ′
Ｂ′
Ｏ′
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
㈢ 介绍历史，激发兴趣
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
例3 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
B
E
A(F)
D
O
㈣、操作演练，形成技能
B
A
D
O
C
解法二：用镜面反射（如图，在点A处放块小镜子，根据光的反射定律，由入射角等于反射角构造相似三角形）
㈣、操作演练，形成技能
㈤、变式训练，交流活动
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例。在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米
2、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高
这节课我们主要学习了什
么内容？有哪些收获呢？
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
㈥、检测评价，课题作业
1．教材P56. 习题27.2 第10题；第11题．
五、教法学法
本节课以“问题情境──建立模型──巩固训练──拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
教无定法，贵在得法。由于学生对生活中测量知识了解很少，会对例题的解答感到无从下手，不知如何思考。因此，对于生活中的相似，以问题情境模式引入，采用引导发现法；对于测量问题的建模难度较大，所以在教学过程设计中，先于例题设计了“测旗杆的高度”的这个探究活动，采用了自主探索、合作交流法。以增强学生的归纳、应用能力。从而达到分散、降低难度的目的。最后对例题的分析及练习题的巩固训练，就可采用小组讨论和讲练相结合的方法。因此本节课将大部分的时间交给学生，让他们充分动手寻找解决问题的办法，并且能上升为理论：画图形，找相似，得比例。
五、教法学法
教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课先从学生熟知的实际生活出发，创设有助于学生探索、思考、发现问题的情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、发现、类比、归纳、建模”过程，进一步积累数学活动经验，培养学生应用数学的能力。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。为了提高课堂教学的效益，本节课将借助于多媒体课件与实物投影仪进行教学。
六、评价分析
如前面分析，在实际问题中如何利用所学知识，建立数学模型是难点，因此本节课中教师的课前准备与课堂组织显得尤其重要。本节课中，通过创设一些问题情境，积极引导、启发学生探索思考，使学生学会学习、学会探索、学会研究。同时，借助设计制作的多媒体课件辅助手段，极大地提高了课堂教学效益。因此，在本节课中，教师的主导作用得到较好的发挥。
学生是课堂的主人，本节课中，学生在教师创设的情境下，自主探索，合作交流，积极参与课堂教学，主动构建新的认知结构，他们学习的积极性得到充分发挥，因此学生的主体地位也得到很好地保证。
由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，都应尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平。在学生回答时，通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能。尤其注意鼓励学有困难的学生主动参与学习活动，发表自己看法，肯定他们的点滴进步。对出现的错误耐心引导他们分析其产生的原因，鼓励他们改进；对学生思维的闪光点及时“亮相”，并予以肯定鼓励；对学有余力并对数学有浓厚兴趣的同学，通过布置选做题与研究性课题作业去发展他们的数学才能。
六、评价分析