专题3 不等式
江苏省震泽中学 王利平
填空题
例1 已知集合A＝，B＝，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2，
x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________．
解析 A×B＝{a2,2a，a2＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a2＋1，解得0＜a＜2.
答案 (0,2)
例2 ．设则三者的大小关系
解析 a=2=, b=In2=,而,所以a
c==,而,所以c答案
例3 ．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，
解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”．给出如下一种解法：
解 由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，
即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．
解析 不等式＋＜0可化为＋＜0，所以有∈∪，
即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式＋＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．
答案 (－3，－1)∪(1,2)
例4 ．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于
解析 由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
。
答案 4
例5 ．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①； ②； ③ ；
④； ⑤
解析 令，排除②④；由，命题①正确；
，命题③正确；，命题⑤正确。
答案 ①，③，⑤
例6 ．对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析 ∵≤a恒成立，∴a≥max，而＝≤
＝(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥.
答案 a≥
例7 ．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，
故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案
例8 ．已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
解析 画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
答案 （3，8）
例9 ．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________．
解析 易知f(x)恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx－y＋n＝0上，则2m＋n＝1.又4m＋2n＝22m
＋2n≥2＝2，当且仅当m＝，n＝时等号成立．
答案 2
例10 ．已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中
点M(x0，y0)满足y0＞x0＋2，则的取值范围是________．
解析 设＝k，则y0＝kx0.由题意，得
所以从而有＞2，即＜0，解得－＜k＜－.所以∈
.
答案
例11 ．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，∴
∴。
答案 例12 ．若不等式(－1)n－1(2a－1)＜对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当n为奇数时，原不等式即为(2a－1)＜，又对一切正整数n恒成立，所以2a
－1＜ a＜，当n为偶数时，原不等式即为－(2a－1)＜，即2a－1＞－又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－，从而a＞－，所以a的取值范围是.
答案
例13 ．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝的最小值为________．
解析 f(x)＝＝＝＋≥2
＝4，当且仅当＝，即tan ＝时取“＝”，因为0＜＜，所以存在x使tan ＝，这时f(x)min＝4.
答案 4
例14 ．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．
解析 设x＋t＝m，则
＝＝
＝＝9m＋.因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋≥6，当且仅当m＝，即x＋t＝时等号成立．故所求最小值为6.
答案 6
例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x
的不等式f(mx2)－2f(x)＞f(m2x)－2f(m)(0＜m＜)的解集为________．
解析 由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)，
得f(mx2＋2m)＞f(m2x＋2x)，即mx2＋2m＞m2x＋2x，也即(x－m)>0.
又0＜m＜，所以x＜m，或x＞.
答案
例16．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值为________．
解析 ∵2a＋b＝2a＋2b≥2＝2(当且仅当a＝b时取等号)，
∴(2a＋b)2－4×2a＋b≥0，∴2a＋b≥4或2a＋b≤0(舍)．
又∵2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，∴2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝(2a＋b≥4)．
又∵函数f(x)＝＝1＋(x≥4)单调递减，
∴2c≤＝，∴c≤log2＝2－log23.
答案 2－log23
二、解答题
例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用C1(x)＝6x.
故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)由f(x)＝2≥2(2－5)＝70，当且仅当＝3x＋5，
即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70.
当隔热层修建为5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
例18．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1解 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，
由此得 解得
所以切线l的方程为x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，
所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程
x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m恒成立，得m<0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.故0对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，
所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.
于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)综上所述，m的取值范围是.
例19．已知函数f(x)＝sin x＋cos x和g(x)＝2sin x·cos x.
(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，]的最小值h(a)；
(2)若对任意x∈[0，]，使|af(x)－g(x)－3|≥恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sin x＋cos x＋2asin xcos x.
设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t2－1，所以φ(t)＝t＋a(t2－1)＝at2＋t－a，
由x∈[0，]，得t∈[1，]．
若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝a2－a－，因为t＝－＜0，
所以φ(t)在[1，]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1；
若a＜0，则当－≤，即a≤1－时，h(a)＝φ()＝a＋；当－＞，
即1－＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1.
综上所述，h(a)＝
(2)由|af(x)－g(x)－3|≥，得|a(sin x＋cos x)－2sin xcos x－3|≥.
设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t2－1，且由x∈，得t∈[1，]．
所以|at－t2－2|≥恒成立，即t2－at＋2≤－或t2－at＋2≥恒成立．
由t2－at＋2≤－，得a≥t＋，因为t∈[1，]，且t＋在[1，]上递减，
所以t＋≤，所以a≥.由t2－at＋2≥，得a≤t＋.因为t∈[1，]，
所以t＋≥2＝，当且仅当t＝，即t＝时等号成立，所以a≤.
综上所述a≤或a≥.
例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，
请据此算出H的值．
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的
距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若
电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α—β最大？
解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，所以tan(α－β)
＝
＝≤.
当且仅当d＝，即d＝
＝＝55时，上式取等号，所以当d＝55时tan(α－β)最大．
因为0＜β＜α＜，则0＜α－β＜，所以当d＝55时，α－β最大．
故所求的d是55 m.
B
A
x
D
y
C
O
y=kx+专题9 数形结合
西安交通大学苏州附属中学 纪尧兵
一、填空题
例1曲线（）与直线有两个交点时，实数的取值范围是
【答案】：
【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点(2，4)，由图可得有两个交点时的范围。
例2已知平面向量满足且的夹角为，则的取值范围是
【答案】：
【提示】作出草图，由，故=
又
，
例3已知向量,, 则与夹角的范围为
【答案】：
【提示】因说明点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图，则与夹角最大是最小是
例4若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为
【答案】：
【提示】复数的模，可以借助单位圆上一点和直线的一点的距离来理解。
例5若对一切恒成立，则的取值范围是
【答案】：
【提示】分别考虑函数和的图像
例6 已知抛物线经过点、与点，其中，，设函数在和处取到极值，则的大小关系为
【答案】
【提示】由题可设，
则，作出三次函数图象即可。
例7若方程仅有一个实根，那么的取值范围是
【答案】：或
【提示】：研究函数（）和函数的图像
例8已知函数，其图象在点(1,)处的切线方程为,则它在点处的切线方程为
【答案】：
【提示】：由可得关于直线对称，画出示意图（略），(1,)和为关于直线的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。
例9直线与曲线有四个交点，则的取值范围是__________
【答案】：
【提示】研究，作出图象，如图所示．此曲线与轴交于点，最小值为，要使与其有四个交点，只需，∴
例10已知：函数满足下面关系：①；
②当时，.则方程解的个数是
【答案】：9
【提示】：由题意可知，是以2为周期，值域为[0,1]的函数．
画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵，
∴由图象可知共9个交点．
例11设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是
【答案】：
【提示】：由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。
例12已知是实数，函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____________
【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【提示】易知，即，变形得，分别画出函数，的图象(如图所示)，由图易知：
当或时，和的图象有两个不同的交点，
∴当或时，函数有且仅有两个零点。
例13已知且，，则的最大值为
【答案】：
【提示】令，这时问题转化为：，求的最值．
例14函数的值域是
【答案】：
【提示】可令消去t得：所给函数化为含参数u的直线系
y＝－x＋u，如图知，当直线与椭圆相切于第一象限时u取最大值，此时由方程组，则，由因直线过第一象限，，故所求函数的值域为
例15已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有；②对任意的，都有；③的图象关于轴对称.则的大小关系是
【答案】：.
【提示】由①：；由②：在上是增函数；由③：，所以的图象关于直线对称.
由此，画出示意图便可比较大小.
例16关于曲线：的下列说法：①关于原点对称；②关于直线对称；③是封闭图形，面积大于；④不是封闭图形，与圆无公共点；⑤与曲线：的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是
【答案】：①②④⑤
【提示】研究曲线：的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且 时，；时，作出草图即可
二、解答题
例17设，试求方程有解时的取值范围：
【提示】将原方程化为
，且
令，它表示倾角为的直线系，
令，它表示焦点在轴上，顶点为
的等轴双曲线在轴上方的部分，
原方程有解
两个函数的图象有交点，由图像知或
的取值范围为
例18已知函数当时，总有.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）设函数，求证：当时， 的充要条件是.
【提示】（Ⅰ）由条件，得，
当时，总有，结合的图像，所以有
由①+②得，，
又，∴，把代入①和②得
因此
（Ⅱ），
是关于x的二次函数，借助的图像（略）
当时，或 或解得，
因此，当时，的充要条件是
例19已知函数，，其中，且.
(1) 如果函数的值域是，试求的取值范围；
(2) 如果函数的值域是，试求实数的最小值．
【提示】先考虑，的情形
则
当时，由得，
所以在上是增函数，在上是减函数．
当时，由，所以在上是增函数．
所以当时，函数的最大值是，最小值是
从而均不符合题意，且均符合题意．
当时，在时，；
在时，．
这时的值域是的充要条件是，
即，，解得.
综上所述，的取值范围是
(2)由(1)知，①当时，函数的最大值是，由题意知，即，容易得是减函数，故的取值范围是；
②当时，函数的最大值是，
由题意知，，即且是减函数，故的取值范围是；
③当时，函数的最大值是，
由题意知，，即且是增函数，故的取值范围是.
综上所述，的最小值是，且此时.
例20已知函数，.
⑴若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
⑵若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；
⑶求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.
【提示】（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得.
（2）
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，令
因为当时，，当时，，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是.
（3）因为=
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，
且，经比较，此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且, ，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在上递增，在上递减，
故此时 在上的最大值为.
综上，当时，在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为0.
x
B
x
y
M
y
0
4
x
①
②高三二轮复习 三角函数与平面向量
苏州市第三中学 夏正华
一、填空题：
在中，则的最大值为_________．
答案：
解析：
．
函数的对称中心的坐标为_________．
答案：
解析：
而函数是奇函数对称中心为，所以的对称中心为．
在锐角△ABC中，A = t 1，B = t 1，则t的取值范围是_________．
答案：t>
解析： A >0，B >0，且C=，解得t>．
在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是____________．
答案：[2，]
解析：A+2A
=．
在等边中，点P在线段AB上，满足若则实数的值是_________．
答案：
解析：如图：取中点，设
则， ，.
在中有如下结论：“若点M为的重心，则”，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，点M为的重心.如果，则内角A的大小为_________；若a＝3，则的面积为_________．
答案：，
解析：由＝
＝
又与不共线，则a＝c＝b，由余弦定理可求得cosA＝，故A＝.
又S△＝bcsinA＝×3×3×＝ .
点O为△ABC的外心，已知AB 3，AC 2，若，x + 2y 1，则cosB _________．
答案：
解析：如图为中点
三点共线，所以．
如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为150°，且，．若，则的值为_________．
答案：-6
解析：建立平面直角坐标系，则，，，代入可得：，可解得，故 .
在□ABCD中，AB 5，AD 4，点P在△BCD内（包括周界），设，则一切点（x，y）形成区域的面积为_________．
答案：
解析：由题意得：由线性规划作图得.
已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是_________．
答案：（0，]
解析：如图所示，令、， 则。
∵与的夹角为120°，∴。
又，由正弦定理得，即 。
又∵∴的取值范围是（0，] .
如图，在△ABC中，AD⊥AB，， = 1，则 = _________．
答案：
解析：如图建系
在△ABC中，已知AB 3，O为△ABC的外心，且 1，则AC ________．
答案：
解析：
已知平面上三点，满足，
则
答案：-36
解析：
直线与函数的图像相切于点，切，为坐标原点，为图像的极值点，于轴交于点，过切点做轴的垂线，垂足为，则
答案：
解析：
又= （1）
而，，
（2）由得.
二、解答题：
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若角，边上的中线的长为，求的面积．
解析：（1）∵，
∴．
即．
∴．
则，∴，因为则．
（2）由（1）知，所以，，
设，则，又
在中由余弦定理得
即
解得故．
已知函数
(1)设是函数图象的一条对称轴，求的值；
（2） 求使得函数在区间上是增函数的的最大值．
解析：(1)
或
∴
（2）
且 所以
∴的最大值
在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点，若 其中，
（1）求的值；
（2）记的面积为，平行四边形的面积为，试求之值.
解析：（1）由题意得
所以，又
又因为三点共线，得，则（1）
（1）式两边平方，得，即
解得：
（2）由题意得，=
即.
在中，满足：，是中点
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；
（3）若点是边上的一点，且，，求的最小值.
解析：（1）设向量与向量的夹角为
，令，
（2）
设则，而
所以
当且仅当时 的最小值是
（3）设 所以
，，
当且仅当时，.
A
O
B
C
x
y专题7 立体几何
江苏省黄埭中学 李其龙
一、填空题
例1.下列结论正确的是
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案：④，简单几何体基本概念与性质
例2．在正方体各个表面的12条对角线中，与
垂直的有____ _ 条．
答案：6，异面直线垂直判断
例3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ．
答案：24，正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法
例4．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O—ABCD的体积为 ．
答案：，球与其它几何体的组合问题．
例5．如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .
答案：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.
例6． 若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是________.
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．
答案：①为假命题，②为真命题，在③中n可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m、n也可以不互相垂直，为假命题；故答案为②.
例7．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是a⊥b的充分条件的有 ．
①a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．
答案：③，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．
例8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．
答案：
例9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____．
答案：，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值
设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，
∴。
∴当时，S取的最大值。故选B。
例10．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为
答案：，倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为
例11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
答案：，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果
∵正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
∴当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面积此时最大，是；
当面ABC⊥平面α面积最小时构成的三角形底边是1，高是正四面体的高，面积是。
∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是。
例12． 已知正四棱锥中，，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.
答案：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.
例13．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为________．
答案：1 ，由题意可知，，又，得恒成立，再由基本不等式可知当是取最小值1
例14．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ▲ ．
答案：
此题的破解可采用二个极端位置法：
（1）当F点位于DC的中点时，过点D作DG⊥AF，连接BG。
∵，∴。
在△ABG中，∵，
∴。
∴在Rt△BDG中， .
∴△ABD是直角三角形。∴。
（2）当F点到C点时，过点D作DH⊥AF，连接BH。
∵，∴
∴。
在△ABH中，∵，
∴。
∴在Rt△BDH中， 。
∴在△ABD中，。∴。
∴的取值范围是。
二、解答题
例15．如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，.
（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（Ⅱ）当时，求几何体的体积．
答案：（Ⅰ）在直四棱柱中，，
∵，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴，∴四边形为平行四边形，
∵侧棱底面，又平面内，
∴，∴四边形为矩形；
（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，
∴侧棱底面，又平面内，∴，
在中，，，则；
在中，，，则；
在直角梯形中，；
∴，即，又∵，∴平面；
由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，
∴矩形的面积为，
∴几何体的体积为．
例16．在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．
答案：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线， 则．
（2）因为平面BEF， 且，∴，
又 ∴．
例17．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
（1）证明：EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.
答案：（1）证明：点E为弧AC的中点
又
又
（2）解：
在
由于：
所以
由等体积法可知：
即，所以
即点B到平面FED的距离为
例18． 如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；
(Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．
答案：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG//BC，HF//DE，
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点∴
又∵ADEB为正方形 ∴BE//AD，BE=AD
∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形
∴GF//MN，又，∴GF//平面ABC
证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2 ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED.
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，
∵C—ABED是四棱锥,∴VC—ABED=专题4 数列
江苏省常熟中学 王宇红
一、解答题
1、设等差数列的前n项和为__ __.
答案：18
解析：则解得：．
2、等比数列中，an>0，且an+2=an+an+1，则数列的公比q= ．
答案：
解析：，又有，解得．
3、设数列是公比为q的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 ．
答案：
解析：的连续四项只能为．
4、已知数列满足，则当n＝________时，取得最小值．
答案：3
解析：迭加得，，n=3时取得最小值．
5、函数（x>0）的图像在点处的切线与x轴交点横坐标为其中.若则的值是_______________.
答案：21
解析：切线，解得，∴=．
6、数列满足．
则 .
答案：
解析：对n分奇偶讨论得．
7、数列中，，则数列的前2012项的和为 ．
答案：
解析：．
8、已知等差数列5，4，3，……，记第n项到第n+6项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 ．
答案：5
解析：，，∴n=5时，最小为0.
9、已知数列满足，，则_____．
答案：-6
解析：周期为4.
10、数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值是 .
答案：10
解析：可得为等差，，又得递减，∴，∴正整数m的最小值为10.
11、已知等差数列的前n项和为Sn，若，
，下列为真命题的序号为 ．
①；②；③；④．
答案：②③
解析：∵为奇函数，∴，∴②正确；
又∵为增函数，∴，∴③正确．，∵，∴，∵，∴递减，∴．∴④错误．
12、设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和，记，设为数列的最大值，则 .
答案：4
解析：，当且仅当取最小值．
13、已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x(x∈N*)，an＋2＝|an＋1－an|，若前2 010项中恰好有666项为0，则x＝____________．
答案：8或9
解析：将，依次取1、2、3、4、5、6、…，分别写出数列，可以看到数列均从某一项开始出现，而当x=8或9时，能满足题中要求．
14、已知函数记，，若则m的最大值为________．
答案：5
解析：，=-1，，，∴m的最大值为5.
二、解答题
15、设等比数列的前n项和为．已知
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列．
①求证：；
②在数列中是否存在不同的三项（其中m、k、p成等差数列）成等比数列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由．
解析：（1）解：；（2）①解：，则，
，错位相减法得．
（3）设，．
∵，∴，则与题意矛盾，∴不存在．
16、已知数列的首项（a为常数，且），（），数列的首项．
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且为等比数列，求实数a的值；
（3）当时，求数列的最小项．
解析：（1）
=，又∵，∴从第2项起是以2为公比的等比数列．
（2），
，．
∵为等比数列，∴得， 代入检验得，．
∴．
（3），符合．
∴．
，
得，，，
∵，∴时，∴最小项在中产生．
当时，最小项为；当时，最小项为；当时，最小项为；
当时，最小项为；当时，最小项为．
17、已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，
am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
（1）当m＝12时，求a2010；
（2）若a52＝，试求m的值；
（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）m=12时，周期为24，∵，∴．
（2）∵，∴等比数列至少有7项，一个周期至少有14项，
∴可能是第一、二、三周期中的项．
若在第一个周期，则，∴；
若在第二个周期，则，∴；
若在第三个周期，则，∴；
∴m=9或15或45.
（3），
∵
∴，
当时，，时，
∴时，有最大值
∴有最大值为，∴无解．
18、对于给定数列，如果存在实常数命名得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．
（1）若，数列是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”；
（3）若数列满足为常数，求数列前2009项的和，并判断是否为“M类数列”，说明理由．
解析：（1）数列满足，存在，∴是“M类数列”；
数列满足，存在，∴是“M类数列”；
（2）证明：∵是“M类数列”，∴，
则有．
∴也是“M类数列”，对应的常数为p，2q．
（3）解：=．
若是“M类数列”， 设
则
对恒成立．∴．
当时，，此时是“M类数列”，t=1；
当时，，此时是“M类数列”．
∴或1.专题10 新增内容
昆山中学 顾美花
1. 命题“”的否定是______________．
2. 某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为 . 系统抽样
3．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ．1
4. 程序如下：
以上程序输出的结果 是________. 96
5.若函数，的图象关于轴对称是是奇函数的 （填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”）.
答：必要不充分条件
6．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出 人.40
w ww.ks 5u.c om
7.在区间内随机地取出一个数，使得的概率为 ．0.3
8.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .
9．已知集合，若从HYPERLINK "http://www./"中任取一个元素作为直线的倾斜角，则直线HYPERLINK "http://www./"的斜率小于零的概率是 .
10.已知集合,在中可重复的依次取出三个数，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 .
11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ．
解析：由∠A=90°，AB=1，BC=2知BM=,要使∠AMB≥90°，
则M在BM上运动，即.
12．集合，，点P的坐标为（，），，，则点P在直线下方的概率为 .
13．把长为1的线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为 。
14.在四面体ABCD内部有一点，使得直线与四面分别交于四点，且满足：,则 . 4
0．0005
0．0004
0．0003
0．0002
0．0001
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入（元）
第6题专题2 函数（2）
江苏省木渎高级中学 潘振嵘
一、填空题
已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围是 ．
答：
提示：∵，不等式对任意都成立，∴．
设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
答：
提示：直线，的斜率分别为，．
由题设得在上有解，∴．
令，则．
已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为 ．
答：
提示：由得．
已知函数在为增函数，为减函数，则 ．
答：
提示：，由题设得，∴．经检验满足．
已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 ．
答：
提示：．
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解．
从而，∴．又，∴或．
已知函数，其中．若函数仅在处有极值，则的取值范围是 ．
答：
提示：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解得．这时，是唯一极值．
若函数满足＝，且当时，，则的大小关系为 ．
答：
提示：由＝，得函数的图象关于直线对称．
又当时，恒成立，∴在上为增函数．
∵，，且，
∴)，即．
若函数满足，则方程的实数解的个数为 个．
答：
提示：设，则由题设知，∴在内至少有一个零点．又，易知时，单调递增；时，单调递减．∴仅有一个零点，即方程仅有一根．
如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．现从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；…；，，则 ．
答：
提示：设点的坐标是，
∵，∴，∴曲线在点处的切线方程是．令，则（）．
∵，∴，∴．
∴．
如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形错误！不能通过编辑域代码创建对象。的面积为，则的最大值是 ．
答：
提示：设，
则．
记，
则．令，得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴当时，取最大值，即取最大值，且最大值为．
已知函数函数，其中．若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
答：
提示：当时，；当时，，单调递增，∴．综上，当时，．又当时，，∵，故为单调增函数，∴．
∵存在，使得成立，∴的值域与的值域满足．若，则或，解得或，从而满足题意的实数的取值范围是．
已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为 ．
答：
提示：，则
设，则，单调递增；，，单调递减．∴．
∵对一切，恒成立，∴．
．若函数对任意，都有，则实数的取值范围是 ．
答：
提示：当时，函数在上是增函数，又函数在上是减函数，不妨设，则，
所以等价于，
即．设，
则等价于函数在区间上是减函数．
∵，∴在时恒成立，
即在上恒成立，即不小于在区间内的最大值．
而函数在区间上是增函数，所以的最大值为．
∴，又，所以．
已知都是定义在上的函数，
（a>0且，，在有穷数列中，任意取正整数，则前k项和大于的概率是 ．
答：
提示：由题意知得或．又知，∴，．∴数列的前k项和为，可求出．
二、解答题
设函数在上是增函数．
（1）求正实数的取值范围；
（2）设，求证：．
解：（1）对恒成立，∴对恒成立． 又，∴．
（2）由（1）知在上是增函数，∵，∴，∴．∴，即．
设函数，，∴在上是增函数，又，∴当时，．
∴，即．
综上所述，．
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解：（1）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.
（2）①对于函数模型：
当时，是增函数，则.
∴恒成立.
∵函数在上是减函数，所以．
∴不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型：
当时，是增函数，则.
∴恒成立.
设，则.
当时，，所以在上是减函数，从而.∴，即，∴恒成立.故该函数模型符合公司要求.
已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
（1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），
，函数的图像关于直线对称，则．
直线与轴的交点为，∴，且，
即，且，解得，．则．
（2），
其图像如图所示．
当时，，根据图像得：
（ⅰ）当时，最大值为；
（ⅱ）当时，最大值为；
（ⅲ）当时，最大值为．
（3），，，
当时，，∴不等式恒成立等价于且恒成立．由恒成立，得恒成立．
当时，，，∴．
又当时，由恒成立，得，∴实数的取值范围是．
已知函数．
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
解：（1）由，得，
令，得或．
列表如下：
0
0 0
极小值 极大值
由，，∴，即最大值为，∴．
（2）由，得．
，且等号不能同时取，∴，
∴恒成立，即．
令，求导得，，
当时，，从而，
∴在上为增函数，∴，∴．
（3）由条件，，
假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，
不妨设，则，且．
是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
∴，∴ ，
是否存在等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为，化简得，
此方程无解；
②若时，方程为，即，
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
∴的值域为，即，∴当时，方程总有解．
∴对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．专题8 解析几何
苏州市高新区第一中学 於勇
一、填空题
例题1. 设圆：的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 ▲ ．
答：4
提示：方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点P（第一象限），,则,故，故AB=AP+BP
例题2.
▲ ．
答：
提示：由圆的平面几何知识可得CP
例题3. 已知⊙A：，⊙B: ，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若，则P到坐标原点距离的最小值为 ▲ ．
答：
提示：利用切线长公式求出点P的轨迹为直线，故P到坐标原点距离的最小值为
例题4. 已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 ▲ ．
答：
提示：设左焦点E，连接PE，由圆的切线可得OQPF，而OQ∥PF，故,，。
（备用题）过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 ．
例题5. 椭圆的左，右焦点分别为弦过，若的内切圆的周长为两点的坐标分别为则= .
答：
提示：利用
例题6. 已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足： 则 ▲ ．
答：
提示：设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以
（备用）如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）
椭圆
例题7. 椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 则的面积为 ▲
答：
提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 ，最后用面积公式
例题8. 设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆． 若直线与圆相交于两点，且，则椭圆方程为
答：
提示：由条件可知，
因为，所以得：。
，所以，，从而。
半径为a，因为，所以，可得：M到直线距离为
从而，求出，所以椭圆方程为：；
例题9. 以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
答：
提示：焦准距
例题10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围为 .
答：
提示：，故
例题11. 已知双曲线（为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则=
答：
提示：先利用双曲线的第二定义求出离心率，在求
（备用题）已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，则椭圆的离心率等于 ▲
答：提示：利用可得
例题12. 设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲
答：
提示：令，消元可得：椭圆的中心到准线的距离=，再求之
例题13.如果P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足，则点Q总在定直线 上．
答：
提示：取特殊的左准线，并取特殊点（）验证之
例题14. 已知椭圆 （）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点.若 恰好将线段三等分，则=__________________.
答：
提示：直线AB为代入椭圆求弦长MN=，再用可得
（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心率为的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= 2交于点N(n,—2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,
现给出下列命题：①.；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对称；⑤f(m)=时AM过椭圆右焦点.
其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号）
③、④、⑤
二、解答题
例15．平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点
（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
解：⑴因为点到直线的距离为， ………………………2分
所以圆的半径为，
故圆的方程为． ………………4分
⑵设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，即， ……………6分
，
当且仅当时取等号，此时直线的方程为．………10分
⑶设，，则，，，
直线与轴交点，，
直线与轴交点，， …………………14分
，
故为定值2． …………………16分
例16．（本题满分16分）已知圆：，点在直线上，过点作圆的两条切线，为两切点，
求切线长的最小值，并求此时点的坐标；
点为直线与直线的交点，若在平面内存在定点(不同于点，满足：对于圆 上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标。
（3）求的最小值；
解：（1）设点
=
故当，即时，
（2）由题：，
设，，满足
则
整理得：，对任意的点都成立，可得
解得 ，或（舍）
即点满足题意。
（3）
=,，令,而在上恒大于0，故
所以，当时取得
例17．如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为，直线AM的斜率为，求证：是定值．
解：（Ⅰ）①依题意：，，
3分
为外接圆直径直线与的外接圆相切； 5分
②由解得椭圆标准方程为． 10分
（Ⅱ）设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，代入椭圆方程得
14分
为定值． 15分
例18．（本题满分16分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若,求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率；
（3）若、、成等差数列，椭圆的离心率，求直线的斜率的取值范围.
解：（1）∵= ∴
∵a-c=2c ∴=…………………………2′
（2）设，
∵=
∴…………………………4′
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c∴b=2c ∴k=…………………………7′
(3)设=t，则…………………………8′
∵P在第一象限 ∴
∴…………………………9′
∴2t=
∴
∴
∴…………………………11′
∴。∴。
又由已知，∴。…………………………12′
∴=
==（令，∴）……13′
==
=
∵，∴。
∴。∴。
∴。…………………………16′
（备用）例19．如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：,记点的轨迹为曲线.
⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；
⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.
解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线，
∴NA=NM, 而圆C的半径为 ……………………2分
∴NC+NA=NC+NM=CM=(常数)
∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数，
所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为的椭圆
……………………4分
当时，由于，所以所求椭圆E的方程为
……………………6分
（2）椭圆E的方程为，其上顶点B
所以，直线的方程为， ……………………8分
记点关于直线的对称点
则有， 解得：……………………11分；
由，得， ……………………12分
∴，令，因为 则，
∴，∴， ……………………14分
所以，点的纵坐标的取值范围是 ……………………15分
（备用）例20．在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论．
解：（1）圆心 ，则⊙的半径为 ．
从而⊙的方程为． ………………………………2分
椭圆D的标准方程为． ………………………4分
（2）当时，椭圆D的方程为．
设椭圆D上任意一点，则，．
因为 ………6分
≥，
所以．
从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部． ………………………8分
（3）为定值． ……………………………………9分
证明如下：
设点P（，），Q（，），则由题意，得N（，－），，．
从而直线PQ的方程为．
令y＝0，得．
又直线QN的方程为．
令y＝0，得． ………………………………13分
因为点P，Q在椭圆D上，所以，，
从而，，所以
．
所以定值． ……………………16分
（备用）例21．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，＝．
（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．
说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力
O
F2
A
x
y
P
B
F1专题5 分类讨论思想
太仓高级中学 钱 华
一、填空题：
1．设集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x||x－3|≤a}，若，则实数a的取值范围是________．
解析：①当a＜0时，B＝，符合题意；
②当a≥0时，B≠，B＝{x|3－a≤x≤3＋a}，由得，解得0≤a≤1，
综上所述a≤1．
2．已知实数a≠0，函数，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______
解析：①a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，则可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－，与a＞0矛盾，舍去；
②a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，则－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－；
所以a＝－．
3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
解析：f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
①当k＞0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，即f(3)＝3k＝3，解之得k＝1；
②当k＜0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，即f(1)＝－k＝3，解之得k＝－3；
③当k＝0时，显然不成立．
∴{1，－3}
4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 ．
解析：当双曲线焦点，在x轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；
当双曲线焦点在y轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，
∴e2＝，∴e＝．
5．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是______．
解析：①当a＞0时，需x－b恒为非负数，即a＞0，b≤0，
②当a＜0时，需x－b恒为非正数．
又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．
综上所述，由①②得a＞0且b≤0．
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则a1的值为________．
解析 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3＝3×＝，符合题意，所以a1＝；
当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝，又a3＝a1q2＝得a1＝，代入上式，
得(1＋q＋q2)＝，即＋－2＝0，解得＝－2或＝1(舍去)．
因为q＝－，所以a1＝＝6，
综上可得a1＝或6.
7．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．
解析 分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，画出图象，
由图象知a应满足的条件是 0＜a＜．
8．已知圆x2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．
解析：①当斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，若直线与圆相切，则，解得k＝，所以切线方程是3x－4y＋10＝0；
②当斜率不存在时，易得切线方程是x＝2．
9．若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 ．
解析 即f(x)＝(a－1)x2＋ax－＝0有解，
①当a－1＝0时，满足题意；
②当a－1≠0时，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得；
综上所述，a的取值范围是或a＝1．
10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．
解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：
S1＝2××4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×＝12a2＋48；
再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：
①若AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×＝24a2＋28；
②若AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×＝24a2＋32；
③若AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，则该四棱柱的全面积为S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×＝24a2＋36；
又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2＋28＜12a2＋48 12a2＜20 0＜a＜．
即a的取值范围是．
11．若函数f(x)＝a＋bcosx＋csinx的图象经过点(0,1)和(,1)两点，且x∈[0,]时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是_______．
解析：由f(0)＝a＋b＝1，f()＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(x)＝a＋(1－a)(sinx＋cosx)＝a＋(1－a)sin(x＋)，∵，
①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋(1－a)，∵|f(x)|≤2，∴只要a＋(1－a)≤2解得a≥－，∴－≤a≤1；②当a＞1时，a＋(1－a)≤f(x)≤1，∴只要a＋(1－a)≥－2，解得a≤4＋3, ∴1＜a≤4＋3，综合①,②知实数a的取值范围为[－，4＋3]．
12．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是__________
解析：①当m＝0时，f(x)＝1－3x，其图象与x轴的交点为(,0)，满足题意；
②当m＞0时，由题意得，解得0＜m≤1；
③当m＜0时，由题意得，解得m＜0；
所以m的取值范围是m≤1
13．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________
解析：原不等式化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，易得不合题意；
②当a＞1时，－＜x＜，由题意0＜＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，
∴a＜3，从而有1＜a＜3．
14．数列的通项，其前n项和为Sn，则Sn＝_________．
解析：因为，所以{}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：
①当，时，
；
②当时，；
③当时，
综上所述，()．
二、解答题：
15．设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，且x∈A}，C＝{z|z＝x2，且x∈A}，若C B，求实数a的取值范围．
解 ∵y＝2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
作出z＝x2的图象，该函数定义域右端点x＝a有三种不同的位置情况如下：
①当－2≤a＜0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥，这与－2≤a＜0矛盾．
②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C B，由图2可知，
必须解得≤a≤2；
③当a＞2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C B，由图3可知，
必须且只需解得2＜a≤3；
④当a＜－2时，A＝，此时B＝C＝，则C B成立．
综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[，3]．
16．已知函数，a∈R．
（1）当a≤0时，求证函数在(－∞,＋∞)上是增函数；
（2）当a＝3时，求函数在区间[0,b](b＞0)上的最大值．
解：（1）∵a≤0，∴x2－a≥0，∴f(x)＝x(x2－a)＝x3－ax，f (x)＝3x2－a，
∵f (x)≥0对x∈R成立，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
（2）解：当a＝3时，f(x)＝x|x2－3|＝ eq \b\lc\{(\a\al(3x－x3，当－＜x＜，,x3－3x，当x≤－，或x≥．))
（i）当x＜－，或x＞时，f (x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)＞0．
（ii）当－＜x＜时，f (x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)．
当－1＜x＜1时，f(x)＞0；
当－＜x＜－1，或1＜x＜时，f(x)＜0．
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－]，[－1，1]，[，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是[－，－1]，[1，]．
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b][－1，1]，因此函数f(x)在[0，b]上是增函数，
∴当x＝b时，f(x)有最大值f(b) ＝3b－b3．
②若1＜b≤时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1) ＝2，并且该极大值就是函数f(x)在区间[0，b]上的最大值．
∴当x＝1时，f(x)有最大值2．
③若b＞时，当x∈[0，]时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1)＝2，在x∈[，b]时，f(x)＝x3－3x在[，b]上单调递增，在x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝b3－3b．
（i）当f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．
∴当＜b≤2时，在x＝1时，f(x)取到最大值f(1)＝2．
（ii）当f(1)＜f(b)，解得b＞2，
∴当b＞2时，f(x)在x＝b时，取到最大值f(b)＝b3－3b．
综上所述，函数y＝f(x)在区间[0，b]上的最大值为ymax＝
17．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，，若数列{an+1＋λan}是等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：．
解：（1）∵数列{an+1＋λan}是等比数列，∴
为常数，∴，解得或．
当时，数列{an+1＋2an}是首项为15，公比为3的等比数列，则①，
当时，数列{an+1－3an}是首项为－10，公比为－2的等比数列，则②，∴①－②得：；
（2）当k为奇数时，,
∴；
（3）由（2）知k为奇数时，，
①当n为偶数时，；
②当n为奇数时，；
∴．
18．已知,且.
（1）当时,求在处的切线方程；
（2）当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；
（3）是否存在这样的，使得当时, 若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
解:（1）当时,.
因为当时,,,
且,
所以当时,,且
由于,所以,又,
故所求切线方程为,
即
（2）因为，所以，则
当时,因为,，
所以由，解得，
从而当时,．
当时,因为，，
所以由，解得，
从而当时,，
③当时，因为,
从而 一定不成立，
综上得,当且仅当时，，
故，
从而当时,取得最大值为．
（3）“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立” ，
当时，，则当时,，则(*)可化为
，即，而当时，，
所以，从而适合题意．
当时,.
⑴当时，(*)可化为，即,而，
所以，此时要求；
⑵当时，(*)可化为,
所以，此时只要求；
⑶当时，(*)可化为,即，而，
所以，此时要求；
由⑴⑵⑶，得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是．专题1 函数（1）
张家港市塘桥高级中学 罗小兵
一、填空题：
1．已知，则从大到小为 ．
【答案】
2．设的奇函数，则使的X的取值范围是 ．
【答案】（一1，0）
3．若x≥0，y≥0，且，则的最小值是 ．
【答案】
4．已知函数（其中，为常数），若的图象如右图所示，则函数在区间[－1，1]上的最大值是 ．
【答案】
5.设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当 时，，则的值为 ．
【答案】
6．对于给定的函数，有下列四个结论：
①的图象关于原点对称； ②； ③在R上是增函数； ④有最小值0．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
7. 定义在上的函数满足，则的值为 ．
【答案】
8．函数的定义域为，值域为[0，2]，则区间的长的最大值是 ．
【答案】
9．对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1．5]=-2,[2．5]=2,定义函数,则给出下列四个命题：①函数的定义域是R,值域为[0,1] ；②方程有无数个解；③函数是周期函数；④函数是增函数．其中正确命题的序号是 ．
【答案】②③
10．已知函数，，，成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
11．已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 ．
【答案】
12．已知定义域为D的函数，对任意，存在正数K，都有成立，则称函数是D上的“有界函数”．已知下列函数：①；②；③；④，其中是“有界函数”的是 ．（写出所有满足要求的函数的序号）
【答案】①②④
13.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，由题意若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，所以，解得
14.定义在 上的函数 ；当若；则的大小关系为 ．
【答案】
【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，
令，则，所以，即递减，
又，
因，所以，即.
二、解答题：
15. 设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；
（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若，且，在上的最小值为，求的值.
解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，
（2）
单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。
不等式化为
恒成立，
，解得
(3)∵f(1)＝，，即
∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.
令t＝f(x)＝2x－2－x，
由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数，∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去
综上可知m＝2.
16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集；
（2）当方程恰有两个实数根时，求的值；
（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）由得
当时，恒成立
∴
当时，得或又
∴
所以不等式的解集为
（2）由得
令
由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意，
即
由得
由图知时方程恰有两个实数根
（3）
当时，，，， 所以
当时
①当时，，即，令
时，，所以
时，，所以，
所以
②当时，，即
所以，
综上，的取值范围是
17. 已知集合．其中为正常数．
（1）设，求的取值范围．
（2）求证：当时不等式对任意恒成立；
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．
解：（1），当且仅当时等号成立，
故的取值范围为．
（2） 变形，得
.
由，又，，∴ eq \a()在上是增函数，
所以．
即当时不等式成立．
（3）令，则，
即求使对恒成立的的范围．
由（2）知，要使对任意恒成立，必有，
因此，∴函数在上递减，在上递增，
要使函数在上恒有，必有，
即，解得．
18．对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.
解: (1)函数是“()型函数”
因为由,得,所以存在这样的实数对,如
(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
①当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解
②当,即时,的值域为,即,
所以则在 上的值域为,
则由题意得且,解得
③当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.
综上所述,所求的取值范围是
19．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
解：（1），
因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（2）由已知可得，
所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
（3）原方程可化为，
令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，．
记，则 ①
或 ②
解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是．