双曲线的标准方程习题（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 双曲线的标准方程习题（Word含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 210.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-26 09:32:46 | ||
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文档简介
双曲线的方程及其性质
1.已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为非零常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x + 5) 2 + y2 = 4和(x 5) 2 + y2 = 1上的点，则|PM| |PN|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3.双曲线(a > 0，b > 0)，F1，F2为焦点，弦AB过F1且在双曲线的一支上，若，则=_______.
4.F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝____________.
5.曲线的离心率为2，则________.
6.已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
7.如图，在△ABC中，已知|AB|=，且三内角A、B、C满足.
试建立适当的坐标系，求定点C的轨迹方程.
8.求与双曲线有相同焦点且过点的双曲线方程.
9.焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率.
10.求经过点A，且一条渐近线的方程为3x－4y = 0的双曲线方程.
11.已知双曲线过P1()和P2()两点，求双曲线的标准方程.
12.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，求双曲线C2的方程.
13.已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN| = 4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
14.半径不等的两定圆O1、O2无公共点(O1、O2是两个不同的点)，动圆O与
圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是( )
A．双曲线的一支
B．椭圆或圆
C．双曲线的一支或椭圆或圆
D．双曲线的一支或椭圆
15.设点P是双曲线右支上一动点，M，N分别是圆(x+4)2+y2 = 1
和(x－4)2+y2 = 1上的动点，则|PM|－|PN|的取值范围是( )
A．[4，8] B．[2，6]
C．[6，8] D．[8，12]
16.过双曲线的右支上一点P，分别向圆C1：(x+4)2+y2 = 4和圆
C2：(x－4)2+y2 = 1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为 .
17.双曲线(a＞0，b＞0)，过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长是 ．
18.过双曲线(b＞0)左焦点F1的直线l与双曲线左支交于A，B两点，若|AF2|+|BF2|(F2是双曲线的右焦点)的最小值为14，则b的值是 .
19.已知双曲线x2－y2 = 1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2 = 60°，则|PF1| |PF2| = .
20.若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1| |PF2| = 32，试求△F1PF2的面积．
21.若双曲线mx2+y2 = 1的离心率为，则m = .
22.若曲线C方程为Ax2+By2 = 1，且A =－2B≠0，则曲线C的离心率为 .
23.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，角A是直角，则双曲线E的离心率为 .
24.已知F1、F2为双曲线的两焦点，O是坐标原点，直线AB过F1，且垂直于x轴，并与双曲线交于A、B两点，若AO⊥BF2，则双曲线的离心率e = .
25.如图：已知线段AB = 4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC－BC =，过点A，B分别作⊙O1的两条切线，两切线相交于点P，且P、O1均在AB的同侧．
建立适当坐标系，当O1位置变化时，求动点P的轨迹E方程.
26.已知M（－1，0）、N（1，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹________.
27.若实数m满足0＜m＜8，则曲线C1：与曲线C2：的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
28.与有相同的焦点，且过点(2，)的双曲线方程为 .
29.已知双曲线的渐近线方程是y=±x，则它的离心率是_____________.
30.己知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ，两渐近线的夹角的正切值为 .
31.已知中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为3x+2y = 0，且双曲线经过点R(8，6)，求这个双曲线的方程．
32.若双曲线的渐近线的方程为y = ±3x，且经过点(2， 3)，则双曲线的方程是 .
33.已知P(2，1)，Q(3，－2)，经过P，Q两点的双曲线的标准方程为 .
34.已知双曲线经过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程．
35.求以椭圆长轴上的顶点为焦点，椭圆焦点为顶点的双曲线方程．
36.已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为________________.
1.B
2.D
3.4a
4.90°
5.
6.D
7.
8.
9.此双曲线的方程为，离心率为或者此双曲线的方程为，离心率为2.
10.
11.
12.
13.C．
详解：因为|MN| = 4，且|PM|－|PN| = 4，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C．
14.D．
详解：两定圆O1、O2无公共点，它们的位置关系应是外离或内含：
设两定圆O1、O2的半径分别为r1，r2(r1＞r2)，圆O的半径为R，
当两圆外离时，|OO1| = R－r1，|OO2| = R－r2，∴|OO2|－|OO1| = r1－r2<|O1O2|，
∴圆心O的轨迹是双曲线的一支；
当两圆内含时，|OO1| = r1－R，|OO2| = R－r2，∴|OO2|+|OO1| = r1－r2>|O1O2|，
∴圆心O的轨迹是椭圆．
故选D．
15.A．
详解：由题意，圆(x+4)2+y2 = 1的圆心是(－4，0)，圆(x－4)2+y2 = 1的圆心是(4，0)，
双曲线的两个焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，|PF1|－|PF2| = 2a = 6，
∴双曲线的焦点正好是两圆(x+4)2+y2 = 1和(x－4)2+y2 = 1的圆心，
∵两圆(x+4)2+y2 = 1和(x－4)2+y2 = 1的半径分别是r1 = 1，r2 = 1，
∴|PM|min = |PF1|－1，|PN|max = |PF2|+1，|PM|max = |PF1|+1，|PN|min = |PF2|－1，
∴（|PM|－|PN|）min =|PM|min－|PN|max=(|PF1|－1)－(|PF2|+1) = 6－2 = 4，
（|PM|－|PN|）max =|PM|max－|PN|min= (|PF1|+1)－(|PF2|－1) = 6+2 = 8，
∴|PM|－|PN|的取值范围是[4，8]．故选A．
16.13.
详解：如图
圆C1：(x+4)2+y2 = 4的圆心为(－4，0)，半径为r1 = 2，
圆C2：(x－4)2+y2 = 1的圆心为(4，0)，半径为r2 = 1，
设双曲线的左右焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2－|PN|2 = (|PF1|2－r12)－(|PF2|2－r22)
= (|PF1|2－4)－(|PF2|2－1)
=|PF1|2－|PF2|2－3
= (|PF1|－|PF2|)(|PF1|+|PF2|)－3
= 2a(|PF1|+|PF2|)－3
= 2(|PF1|+|PF2|)－3≥2 2c－3 = 2 8－3 = 13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．
故答案为13．
17.4a+2m．
详解：如图，
∵|AF2|－|AF1| = 2a，|BF2|－|BF1| = 2a，
∴(|AF2|－|AF1|)+(|BF2|－|BF1|) = 4a，
又∵|AF1|+|BF1| = |AB| = m，
∴|AF2|+|BF2| = 4a+(|AF1|+|BF1|) = 4a+m．
∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB| = 4a+2m．
18.．
详解：如图，
根据双曲线的标准方程(b＞0)，得a = 3，
由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1| = 2a = 6 ①
|BF2|－|BF1| = 2a = 6 ②
①+②可得|AF2|+|BF2|－(|AF1|+|BF1|) = 12，
∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF1|+|BF1| = |AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小，通径长为．
∴|AF2|+|BF2|－(|AF1|+|BF1|)
= |AF2|+|BF2|－|AB| = 12．
∴|BF2|+|AF2| = |AB|+12≥+12 = 14，
∴b =．
19.4.
详解：在双曲线x2－y2 = 1中，a = b = 1，c =，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2| = 2a = 2，
∵∠F1PF2 = 60°，
∴|F1F2|2 = |PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°
= (|PF1|－|PF2|)|2+2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2 = 4a2+|PF1| |PF2|，
即|PF1| |PF2| = 4c2－4a2 = 4b2 = 4，
故答案为4.
20.16．
详解：根据双曲线的方程可知，a = 3，b = 4，c = 5，
则|F1F2| = 2c = 10，||PF1|－|PF2|| = 2a = 2×3 = 6，∴|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2| = 36，
∴|PF1|2+|PF2|2 = 100 = |F1F2|2，∴∠F1PF2 = 90°，
∴△F1PF2的面积为|PF1| |PF2| = 32×= 16．
也可用焦点三角形面积公式S△F1PF2=b2cot=16×1=16．
21.－1．
详解：双曲线mx2+y2 = 1即，
∴e2 ==1+ = 2，∴m =－1．
故答案为－1．
22.或.
详解：∵A =－2B ≠ 0，∴A，B符号相反，
①若A＞0，则方程等价为，为双曲线，其中a2 =，b2 =，
则c2 ==－，则e2 == 3，即离心率e =，
②若A＜0，则方程等价为,为双曲线，其中a2 =，b2 =－，
则c2 = =+，则e2 =，即离心率e = .
23.2.
详解：∵过双曲线的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，∴设x = c，得，解之得y = ±，得B(c，)、C(c，－)
∵左顶点A(－a，0)与B、C构成直角三角形，
∴根据双曲线的对称性，得A到BC的距离等于BC长的一半，
可得c+a =，即c+a =，化简得c2－ac－2a2 = 0，
两边都除以a2，得e2－e－2 = 0，解之得e = 2(舍负)，即双曲线E的离心率为2.
故答案为2.
24..
详解：由题意得：F1(－c，0)，F2(c，0)，A(－c，)，B(－c，－)，
∴直线AO的斜率k1 =，直线BF2的斜率k2 =，
∵AO⊥BF2，∴k1k2 =－1，即×= 1，∴b4 = 2a2c2，
又∵b2 = c2－a2，∴(c2－a2)2 = 2a2c2，解之得，又由于，
所以.
25..
详解：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，令PA、PB与圆的切点分别为M、N.
∴|PM|=|PN|，|AM|=|AC|，|BC|=|BN|，
则|PA|－|PB| = |AC|－|BC| = ，
∴点P在以A、B为焦点双曲线的一支上，且2c = 4，2a =，
∴c = 2，a =，∴b =，
∴P点的轨迹E为.
26.不存在.
因为|MN|=2，且|PM|－|PN|=4>|MN|，所以动点P的轨迹不存在．
27.A.
详解：由于0＜m＜8，则0＜8－m＜8，16＜24－m＜24，
即曲线C1：表示焦点在x轴上的双曲线，
其中a2=24，b2=8－m，c2=32－m，
曲线C2：表示焦点在x轴上的双曲线，
其中a ’2=24－m，b’2=8，c’2=32－m，
即两个双曲线的焦距相等，故选：A．
28..
详解：设方程为，将点(2，)代入方程得λ = 1．
所以方程为．故答案为．
29.
详解：∵双曲线的渐近线方程是y=±x，
∴或，可得a=b，
∴离心率e=.
30.y = ±x或y = ±2x；．
详解：由题意可得e =，即为c =，由b2 = c2－a2 =a2，即a = 2b，
当焦点在x轴上时，渐近线方程为y = ±x，即为y = ±x；
当焦点在y轴上时，渐近线方程为y = ±x，即为y = ±2x；
当焦点在x轴上时，根据正切的二倍角公式，两渐近线的夹角的正切为；
同理，当焦点在y轴上时，由于夹角是锐角或直角，所以两渐近线的夹角的正切为．
31..
详解：因为双曲线的渐近线方程为3x+2y = 0，所以设曲线的标准方程为9x2－4y2 = λ，
因为双曲线过点R(8，6)，所以9×64－4×108 = 144 = λ，
所以曲线的标准方程为9x2－4y2 = 144，即.
32..
详解：由题意可知，可设双曲线的方程是，
把点(2， 3)代入方程解得k = 1，
故所求的双曲线的方程是.
33.．
详解：设所求双曲线方程为mx2+ny2 = 1(mn < 0)，
∵P(2，1)，Q(3，－2)两点在双曲线上，∴，
∴经过P，Q两点的双曲线的标准方程为．
34.．
详解：设所求双曲线方程为mx2+ny2 = 1(mn < 0)，
∵M(1，1)，N(－2，5)两点在双曲线上，∴，
∴双曲线方程是，整理得．
35.．
详解：椭圆的长轴顶点为(0，－2)和(0，2)，
焦点为(0，－2)和(0，2)，
∴双曲线的焦点坐标是(0，－2)和(0，2)，顶点为(0，－2)和(0，2)，
∴双曲线方程为．
36..
详解：圆x2+y2－10x=0化成标准方程得(x－5)2+y2=25，
∴圆的圆心坐标为(5,0)，即双曲线的焦点坐标为F(5,0)，
∵双曲线的离心率等于，
∴，
∴，
∴双曲线的标准方程为.
1.已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为非零常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x + 5) 2 + y2 = 4和(x 5) 2 + y2 = 1上的点，则|PM| |PN|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3.双曲线(a > 0，b > 0)，F1，F2为焦点，弦AB过F1且在双曲线的一支上，若，则=_______.
4.F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝____________.
5.曲线的离心率为2，则________.
6.已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
7.如图，在△ABC中，已知|AB|=，且三内角A、B、C满足.
试建立适当的坐标系，求定点C的轨迹方程.
8.求与双曲线有相同焦点且过点的双曲线方程.
9.焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率.
10.求经过点A，且一条渐近线的方程为3x－4y = 0的双曲线方程.
11.已知双曲线过P1()和P2()两点，求双曲线的标准方程.
12.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，求双曲线C2的方程.
13.已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN| = 4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
14.半径不等的两定圆O1、O2无公共点(O1、O2是两个不同的点)，动圆O与
圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是( )
A．双曲线的一支
B．椭圆或圆
C．双曲线的一支或椭圆或圆
D．双曲线的一支或椭圆
15.设点P是双曲线右支上一动点，M，N分别是圆(x+4)2+y2 = 1
和(x－4)2+y2 = 1上的动点，则|PM|－|PN|的取值范围是( )
A．[4，8] B．[2，6]
C．[6，8] D．[8，12]
16.过双曲线的右支上一点P，分别向圆C1：(x+4)2+y2 = 4和圆
C2：(x－4)2+y2 = 1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为 .
17.双曲线(a＞0，b＞0)，过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长是 ．
18.过双曲线(b＞0)左焦点F1的直线l与双曲线左支交于A，B两点，若|AF2|+|BF2|(F2是双曲线的右焦点)的最小值为14，则b的值是 .
19.已知双曲线x2－y2 = 1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2 = 60°，则|PF1| |PF2| = .
20.若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1| |PF2| = 32，试求△F1PF2的面积．
21.若双曲线mx2+y2 = 1的离心率为，则m = .
22.若曲线C方程为Ax2+By2 = 1，且A =－2B≠0，则曲线C的离心率为 .
23.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，角A是直角，则双曲线E的离心率为 .
24.已知F1、F2为双曲线的两焦点，O是坐标原点，直线AB过F1，且垂直于x轴，并与双曲线交于A、B两点，若AO⊥BF2，则双曲线的离心率e = .
25.如图：已知线段AB = 4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC－BC =，过点A，B分别作⊙O1的两条切线，两切线相交于点P，且P、O1均在AB的同侧．
建立适当坐标系，当O1位置变化时，求动点P的轨迹E方程.
26.已知M（－1，0）、N（1，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹________.
27.若实数m满足0＜m＜8，则曲线C1：与曲线C2：的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
28.与有相同的焦点，且过点(2，)的双曲线方程为 .
29.已知双曲线的渐近线方程是y=±x，则它的离心率是_____________.
30.己知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ，两渐近线的夹角的正切值为 .
31.已知中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为3x+2y = 0，且双曲线经过点R(8，6)，求这个双曲线的方程．
32.若双曲线的渐近线的方程为y = ±3x，且经过点(2， 3)，则双曲线的方程是 .
33.已知P(2，1)，Q(3，－2)，经过P，Q两点的双曲线的标准方程为 .
34.已知双曲线经过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程．
35.求以椭圆长轴上的顶点为焦点，椭圆焦点为顶点的双曲线方程．
36.已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为________________.
1.B
2.D
3.4a
4.90°
5.
6.D
7.
8.
9.此双曲线的方程为，离心率为或者此双曲线的方程为，离心率为2.
10.
11.
12.
13.C．
详解：因为|MN| = 4，且|PM|－|PN| = 4，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C．
14.D．
详解：两定圆O1、O2无公共点，它们的位置关系应是外离或内含：
设两定圆O1、O2的半径分别为r1，r2(r1＞r2)，圆O的半径为R，
当两圆外离时，|OO1| = R－r1，|OO2| = R－r2，∴|OO2|－|OO1| = r1－r2<|O1O2|，
∴圆心O的轨迹是双曲线的一支；
当两圆内含时，|OO1| = r1－R，|OO2| = R－r2，∴|OO2|+|OO1| = r1－r2>|O1O2|，
∴圆心O的轨迹是椭圆．
故选D．
15.A．
详解：由题意，圆(x+4)2+y2 = 1的圆心是(－4，0)，圆(x－4)2+y2 = 1的圆心是(4，0)，
双曲线的两个焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，|PF1|－|PF2| = 2a = 6，
∴双曲线的焦点正好是两圆(x+4)2+y2 = 1和(x－4)2+y2 = 1的圆心，
∵两圆(x+4)2+y2 = 1和(x－4)2+y2 = 1的半径分别是r1 = 1，r2 = 1，
∴|PM|min = |PF1|－1，|PN|max = |PF2|+1，|PM|max = |PF1|+1，|PN|min = |PF2|－1，
∴（|PM|－|PN|）min =|PM|min－|PN|max=(|PF1|－1)－(|PF2|+1) = 6－2 = 4，
（|PM|－|PN|）max =|PM|max－|PN|min= (|PF1|+1)－(|PF2|－1) = 6+2 = 8，
∴|PM|－|PN|的取值范围是[4，8]．故选A．
16.13.
详解：如图
圆C1：(x+4)2+y2 = 4的圆心为(－4，0)，半径为r1 = 2，
圆C2：(x－4)2+y2 = 1的圆心为(4，0)，半径为r2 = 1，
设双曲线的左右焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2－|PN|2 = (|PF1|2－r12)－(|PF2|2－r22)
= (|PF1|2－4)－(|PF2|2－1)
=|PF1|2－|PF2|2－3
= (|PF1|－|PF2|)(|PF1|+|PF2|)－3
= 2a(|PF1|+|PF2|)－3
= 2(|PF1|+|PF2|)－3≥2 2c－3 = 2 8－3 = 13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．
故答案为13．
17.4a+2m．
详解：如图，
∵|AF2|－|AF1| = 2a，|BF2|－|BF1| = 2a，
∴(|AF2|－|AF1|)+(|BF2|－|BF1|) = 4a，
又∵|AF1|+|BF1| = |AB| = m，
∴|AF2|+|BF2| = 4a+(|AF1|+|BF1|) = 4a+m．
∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB| = 4a+2m．
18.．
详解：如图，
根据双曲线的标准方程(b＞0)，得a = 3，
由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1| = 2a = 6 ①
|BF2|－|BF1| = 2a = 6 ②
①+②可得|AF2|+|BF2|－(|AF1|+|BF1|) = 12，
∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF1|+|BF1| = |AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小，通径长为．
∴|AF2|+|BF2|－(|AF1|+|BF1|)
= |AF2|+|BF2|－|AB| = 12．
∴|BF2|+|AF2| = |AB|+12≥+12 = 14，
∴b =．
19.4.
详解：在双曲线x2－y2 = 1中，a = b = 1，c =，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2| = 2a = 2，
∵∠F1PF2 = 60°，
∴|F1F2|2 = |PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°
= (|PF1|－|PF2|)|2+2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2 = 4a2+|PF1| |PF2|，
即|PF1| |PF2| = 4c2－4a2 = 4b2 = 4，
故答案为4.
20.16．
详解：根据双曲线的方程可知，a = 3，b = 4，c = 5，
则|F1F2| = 2c = 10，||PF1|－|PF2|| = 2a = 2×3 = 6，∴|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2| = 36，
∴|PF1|2+|PF2|2 = 100 = |F1F2|2，∴∠F1PF2 = 90°，
∴△F1PF2的面积为|PF1| |PF2| = 32×= 16．
也可用焦点三角形面积公式S△F1PF2=b2cot=16×1=16．
21.－1．
详解：双曲线mx2+y2 = 1即，
∴e2 ==1+ = 2，∴m =－1．
故答案为－1．
22.或.
详解：∵A =－2B ≠ 0，∴A，B符号相反，
①若A＞0，则方程等价为，为双曲线，其中a2 =，b2 =，
则c2 ==－，则e2 == 3，即离心率e =，
②若A＜0，则方程等价为,为双曲线，其中a2 =，b2 =－，
则c2 = =+，则e2 =，即离心率e = .
23.2.
详解：∵过双曲线的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，∴设x = c，得，解之得y = ±，得B(c，)、C(c，－)
∵左顶点A(－a，0)与B、C构成直角三角形，
∴根据双曲线的对称性，得A到BC的距离等于BC长的一半，
可得c+a =，即c+a =，化简得c2－ac－2a2 = 0，
两边都除以a2，得e2－e－2 = 0，解之得e = 2(舍负)，即双曲线E的离心率为2.
故答案为2.
24..
详解：由题意得：F1(－c，0)，F2(c，0)，A(－c，)，B(－c，－)，
∴直线AO的斜率k1 =，直线BF2的斜率k2 =，
∵AO⊥BF2，∴k1k2 =－1，即×= 1，∴b4 = 2a2c2，
又∵b2 = c2－a2，∴(c2－a2)2 = 2a2c2，解之得，又由于，
所以.
25..
详解：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，令PA、PB与圆的切点分别为M、N.
∴|PM|=|PN|，|AM|=|AC|，|BC|=|BN|，
则|PA|－|PB| = |AC|－|BC| = ，
∴点P在以A、B为焦点双曲线的一支上，且2c = 4，2a =，
∴c = 2，a =，∴b =，
∴P点的轨迹E为.
26.不存在.
因为|MN|=2，且|PM|－|PN|=4>|MN|，所以动点P的轨迹不存在．
27.A.
详解：由于0＜m＜8，则0＜8－m＜8，16＜24－m＜24，
即曲线C1：表示焦点在x轴上的双曲线，
其中a2=24，b2=8－m，c2=32－m，
曲线C2：表示焦点在x轴上的双曲线，
其中a ’2=24－m，b’2=8，c’2=32－m，
即两个双曲线的焦距相等，故选：A．
28..
详解：设方程为，将点(2，)代入方程得λ = 1．
所以方程为．故答案为．
29.
详解：∵双曲线的渐近线方程是y=±x，
∴或，可得a=b，
∴离心率e=.
30.y = ±x或y = ±2x；．
详解：由题意可得e =，即为c =，由b2 = c2－a2 =a2，即a = 2b，
当焦点在x轴上时，渐近线方程为y = ±x，即为y = ±x；
当焦点在y轴上时，渐近线方程为y = ±x，即为y = ±2x；
当焦点在x轴上时，根据正切的二倍角公式，两渐近线的夹角的正切为；
同理，当焦点在y轴上时，由于夹角是锐角或直角，所以两渐近线的夹角的正切为．
31..
详解：因为双曲线的渐近线方程为3x+2y = 0，所以设曲线的标准方程为9x2－4y2 = λ，
因为双曲线过点R(8，6)，所以9×64－4×108 = 144 = λ，
所以曲线的标准方程为9x2－4y2 = 144，即.
32..
详解：由题意可知，可设双曲线的方程是，
把点(2， 3)代入方程解得k = 1，
故所求的双曲线的方程是.
33.．
详解：设所求双曲线方程为mx2+ny2 = 1(mn < 0)，
∵P(2，1)，Q(3，－2)两点在双曲线上，∴，
∴经过P，Q两点的双曲线的标准方程为．
34.．
详解：设所求双曲线方程为mx2+ny2 = 1(mn < 0)，
∵M(1，1)，N(－2，5)两点在双曲线上，∴，
∴双曲线方程是，整理得．
35.．
详解：椭圆的长轴顶点为(0，－2)和(0，2)，
焦点为(0，－2)和(0，2)，
∴双曲线的焦点坐标是(0，－2)和(0，2)，顶点为(0，－2)和(0，2)，
∴双曲线方程为．
36..
详解：圆x2+y2－10x=0化成标准方程得(x－5)2+y2=25，
∴圆的圆心坐标为(5,0)，即双曲线的焦点坐标为F(5,0)，
∵双曲线的离心率等于，
∴，
∴，
∴双曲线的标准方程为.