【数学】江苏省某重点中学2012届高三三月月双周练习（一）

高 三 数 学 2012年03月
（必修部分）
填空题（共14小题，每小题5分，计70分）
1．已知全集，，，则 ▲ ．
2．已知是实数，是纯虚数，则 ▲ ．
3．已知函数那么的值为 ▲ ．
4．若向量、满足，且，则与的夹角为 ▲ ．
5．已知平面，，直线，若，，则下列命题正确的是 ▲ ．
①垂直于平面的平面一定平行于平面
②垂直于直线的直线一定垂直于平面
③垂直于平面的平面一定平行于直线
④垂直于直线的平面一定与平面,都垂直
6．函数的部分图象如图所示，那么 ▲ ．
7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），
现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日
睡眠时间频率分布表：
序号（i） 分组睡眠时间 组中值（Gi） 频数（人数） 频率（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，
则输出的S的值为　　▲　　．
8．已知关于的一次函数.设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，则函数的图象不经过第二象限的概率是▲.
9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 ▲ ．
10．在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，
，则 ▲ ．
11．如图，已知椭圆的左顶点为，
左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 ▲ .
12．外接圆的半径为，圆心为，且，，
则 ▲ ．
13．设曲线在点处的切线为,曲线在点 处的切线为.若存在，使得，则实数的取值范围为 ▲ ．
14．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项之和为972，这样的数
列共有____▲___个．
二、解答题（共6小题，计90分）
15．（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）求其定义域和单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的值.
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，
使平面；
17．（本小题满分15分）数列{}的前n项和记为，，．
（Ⅰ）当t为何值时，数列{}是等比数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若等差数列{}的前n项和有最大值，且＝15，又，
，成等比数列，求．
18．（本小题满分15分）某市环境研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且
a∈[0，]．若用每天的最大值作为当天的综合污染指数，并记作．
（Ⅰ）令，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合环境污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？
19．（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
（Ⅰ）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（Ⅱ）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．
20．（本小题满分16分）已知动直线与椭圆交于，两个不同点，且的面积，其中为坐标原点。
（Ⅰ）证明：和均为定值；
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。
高三数学阶段检测答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．解：
16．解：
17．解：
18．解：
19．解：
（20题做在反面）
扬州中学高三阶段质量检测 2012年03月
数 学 试 卷
（选修部分）
21．变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应的变换矩阵是．
（Ⅰ）求点在变换作用下的点的坐标；
（Ⅱ）求函数的图象依次在变换，作用下所得曲线的方程．
22．在极坐标系中，过曲线L：外的一点A(2，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ= (ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
23.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别该着数字1，2，3，4．将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．
（Ⅰ）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（Ⅱ）设X为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求X的分布列及期望E（X）．
24.已知函数(、b、∈N)的图像按向量平移后得到的图像关于原点对称，且．
（Ⅰ）求，b，的值；
（Ⅱ）设是正实数，求证：．
参考答案
1． 2．1 3． 4． 5．④ 6． 7．6.42
8． 9．3 10．6 11． 12．3 13． 14．4
解 设等差数列首项为a，公差为d，依题意有，
即[2a+(n-1)d]n=2972， (3)因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，297,972,2972四者之一．
若d>0,则由(3)知2972n(n-1)dn(n-1)>(n-1)2．
故只可能有n=97.于是(3)化为 a+48d=97．
此时可得n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1．
若d=0时，则由(3)得na=972,此时n=97,a=97 或 n=972，a=1．
故符合条件的数列共有4个．
15．（Ⅰ）,
，
由题意，∴Z），其定义域为 Z.
函数在 Z上单调递增.
（Ⅱ）∵，∴,
∴.
16．证明：（Ⅰ）连接 ．
因为四边形为菱形，，
所以△为正三角形．又为中点，
所以．
因为,为的中点，
所以．
又，
所以平面．
（Ⅱ）当时，∥平面．
下面证明：
连接交于，连接．
因为∥，
所以．
因为∥平面，平面，平面平面，
所以∥.
所以．
所以，即．
因为，
所以．
所以，
所以∥.
又平面，平面，
所以∥平面．
17．解：（I）由，可得，
两式相减得，
当时，是等比数列， .......4分
要使时，是等比数列，则只需，从而．
（II）设的公差为d，由得，于是，
故可设，又，
由题意可得，解得，
∵等差数列的前项和有最大值，∴
∴．
18．（1），． 　………………………… 4分
（2）令．
当时，． ……… 6分
当时，． …… 8分
M(a) = ……………………………………………　10分
（3）当时，M(a)是增函数, ………… 　11分
当时，M(a)是增函数， …………　13分
　所以，市中心污染指数没有超标 …………………………………　15分
19．解析：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即
即
（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：
综上可知，．
20．（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，
由在椭圆上，则，而，则
于是，.
当直线的斜率存在，设直线为，代入可得
，即，，即
，
则，满足
，
，
综上可知，.
（Ⅱ））当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，
，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点，使得，
由（Ⅰ）知，
.
解得,，
因此只能从中选取，只能从中选取，
因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，
故椭圆上不存在三点，使得。
21．（1），
所以点在作用下的点的坐标是．
（2），
设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，
也就是，即，所以，所求曲线的方程是．
22．
23．（1）不能被4整除的有两种情形；
①4个数均为奇数，概率为P1=
②4个数中有3个奇数，另一个为2，
概率为P2=
这两种情况是互斥的，
故所求的概率为P=1/16+1/8=3/16
（2）ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
根据符合二项分布，得到ξ的分布列为
∵ξ服从二项分布B(4，12)，∴Eξ=4×12=2．
24．解：(1)函数的图像按平移后得到的图像所对应的函数式为．
∵函数的图像平移后得到的图像关于原点对称，
∴，即．
∵∈N，∴．∴，∴c=0．
又∵，∴．∴，∴． ①
又．∴． ②
由①，②及、N，得．
(2)=1时，结论显然成立．
当n≥2时，
．
（第6题图）
开始
S0
输入Gi，Fi
i1
S S＋Gi·Fi
i≥5
i i＋1
N
Y
输出S
结束
y
x
A
F
O
B
考场号_____ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
考场号_____ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………