2.5.1直线与圆的位置关系(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.5.1
直线和圆的位置关系
高二数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则：
点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 dA
B
C
位置关系
数量关系
回顾: 点与圆的位置关系判定
(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
一、引入：从海上日出整个情景中，你能得到直线与圆的几种位置关系？
(2)直线和圆有唯一个公共点,
叫做直线和圆相切,
这条直线叫圆的切线，
这个公共点叫切点.
(1)直线和圆有两个公共点,
叫做直线和圆相交，
这条直线叫圆的割线，
这两个公共点叫交点.
(3)直线和圆没有公共点时,
叫做直线和圆相离.
1.直线与圆的位置关系的定义
二、探究新知
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了交点个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用利用这种变化关系来判定直线与圆的位置关系？
2.探究：直线与圆的位置关系的判定
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
.直线与圆位置关系的判定
设圆心o到直线l的距离d，圆的半径r，则有：
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
(1)根据定义，由 ，
的个数来判断；(代数法）
(2)根据性质,由 ，
的关系来判断。(几何法)
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆　　　, 直线与圆有____个公共点.
2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d,
根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
3)若AB和⊙O相交,则 .
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
d < 5cm
2
1
0
三、巩固新知
解法1:
3x+y-6=0 ①
x2+y2-2y-4=0　②
消去y得:
x2-3x+2=0
解得: x1=1, x2=2
∴直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).
解方程组:
①
3.例1.
解法2:
将圆方程化为标准式为:x2+(y-1)2=5
∴圆心坐标为(0,1),半径为
圆心到直线l的距离
∴直线l与圆相交,有两个公共点.
3.例1.
.
x
y
O
C
A
B
l
代数法：操作步骤
1).将直线方程与圆的方程联立成方程组；
2).通过消元，得到一个一元二次方程；
3).求出其判别式△的值；
4).比较△与0的大小关系：
若△＞0，则直线与圆相交；
若△＝0，则直线与圆相切；
若△＜0，则直线与圆相离．
4.判定方法的总结
1).把直线方程化为一般式Ax+By+C=0 ,并由圆的方程
求出圆心坐标和半径r；
2).利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
若d＞r，则直线与圆相离；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d＜r，则直线与圆相交．
3).比较d与r的大小关系：
几何法：操作步骤
4.判定方法的总结
只要有相切；就要考虑圆心到切点的直线！
O
A
|OA|=r(即:d=r)
kl·kOA=－1
5.直线与圆相切
x=2
6.例2.
6.例2.
4).以C(1,3)为圆心,并和直线3x-4y-6=0相切的圆的
方程是 .
1).直线3x+4y-2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系 .
(x-1)2+(y-3)2=9
相交
2).直线y=x+6,圆x2+y2-2y-4=0的位置关系是 .
相离
3).若直线x-y=2与圆(x-a)2+y2=4的圆心的距离为 ,
则实数a的值为 .
0或4
7.变式训练
8.例3.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
由方程组
答：支柱A2P2的长度约为3.86米
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程,得y=3.86(y>0)
下面用待定系数法来确定b和r的值.
x2+(y – b)2=r2
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）满足方程
解得：b=-10.5 r2=14.52
所以圆的方程为: x2+(y+10.5)2=14.52
P2
P
B
A
O
A1
A3
A4
A2
x
y
解：如图建立平面直角坐标系，圆 心在y轴上,设圆心的坐标是（0,b）,圆的半径是r，那么圆的方程是
9.例4:一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为20km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险？
x
O
y
分析：为解决这个问题，我们以小岛中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
.
港口
.
轮船
小岛
.
.
x
轮船航线所在直线 l 的方程为：
问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点．
解：这样，受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心
为O的圆的方程为:
O
y
港口
.
轮船
（4, 0）
（0, 3）
（2, 0）
10.例4:一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为20km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险？
11.用坐标法解决问题的步骤
——“三步曲”
1).建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问
题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。
2).通过代数运算,解决代数问题.
3).把代数运算结果“翻译”成几何结论.
几何
代数
几何
1.直线与圆的位置关系：
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
五、课堂小结
2.判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
两
(1)根据定义，由 ，
的个数来判断；(代数法）
直线与圆的公共点
(2)根据性质,由 ，
的关系来判断。(几何法)
圆心到直线的距离d与半径r
(3)在实际应用中,________常用几何法，
________常用代数法。
做判断
求交点
作业: 课本P98 习题2.5 2 题