河南省郑州市郊县2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题（PDF版无答案）

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２０２０—２０２１ 学年上学期期中考试试卷
高二　 理科数学
注意事项：
１． 本试卷满分 １５０ 分，考试时间 １２０ 分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在
答题卡和试卷指定位置上．
２． 考生作答时，请将正确的答案填写在答题卡上，在本试卷上答题无效． 回答选择题时，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题：本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
１． 设集合 Ａ ＝ ｛ｘ ｜ ｌｇ ｘ≤２ｌｇ ２｝，Ｂ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ － １≤０｝，则 Ａ∩Ｂ ＝
Ａ． ｛ｘ ｜ ０ ＜ ｘ≤１｝ Ｂ． ｛ｘ ｜ ｘ≤１｝ Ｃ． ｛ｘ ｜ ０ ＜ ｘ≤２｝ Ｄ． ｛ｘ ｜ ｘ≤２｝
２． 若 ａ ＞ ｂ ＞ ０，则下列不等式恒成立的是
Ａ． ３ａ ＜ ５ｂ Ｂ． ｌｏｇｂ ＋ １ａ ＜ ｌｏｇａ ＋ １ｂ Ｃ． ａ ＞ ｂ Ｄ． ｔａｎ ａ ＞ ｔａｎ ｂ
３． 下列说法错误的是

Ａ． 给出数列的有限项一定能唯一确定这个数列的通项公式
Ｂ． 若等差数列｛ａｎ｝的公差 ｄ ＞ ０，则｛ａｎ｝是递增数列
Ｃ． 若 ａ，ｂ，ｃ 成等差数列，则 ｃ，ｂ，ａ 一定成等差数列
Ｄ． 若数列｛ａｎ｝是等差数列，则数列｛３ａｎ｝一定是等比数列
ìｘ ＋ ３ｙ － ３≥０，
４． 已知不等式组íｘ≤３， 表示的平面区域为 Ｄ，直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ １ － ３ｋ 把 Ｄ 的面积分成

ｙ≤１
３∶ １的两份，则 ｋ ＝
Ａ． １９ 或 １ Ｂ． －
１
９ 或 － １ Ｃ．
１ １
３ 或 ４ Ｄ． －
１
３ 或 －
１
４
５． 在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － １６，ａ４ ＝ － ２． 记 Ｔｎ ＝ ａ１ａ２…ａｎ（ｎ ＝ １，２，…，ｎ），则数列｛Ｔｎ｝
Ａ． 有最大项，有最小项 Ｂ． 有最大项，无最小项
Ｃ． 无最大项，有最小项 Ｄ． 无最大项，无最小项
２０２０—２０２１ 学年上学期期中考试试卷　 高二理科数学　 第　１ 页（共 ４ 页）
６． 对于△ＡＢＣ，下列说法正确的是
Ａ． 若 ｓｉｎ ２Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ｂ，则△ＡＢＣ 为等腰三角形
Ｂ． 若 ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｂ，则△ＡＢＣ 为直角三角形
Ｃ． 若 ｓｉｎ２Ａ ＋ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｃｏｓ２Ｃ ＜ １，则△ＡＢＣ 为钝角三角形
Ｄ． 若 ＡＢ ＝ ３，ＡＣ ＝ １，Ｂ ＝ ３０°，则△ＡＢＣ ３的面积为 ３
Ａ ２ｎ ＋ ａ ａ７． 设 Ａｎ，Ｂｎ 分别为等比数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的前 ｎ 项和． 若
ｎ
Ｂ ＝ ｎ （ａ，ｂ 为常数），则
７ ＝
ｎ ３ ＋ ｂ ｂ４
Ａ． １２８８１ Ｂ．
１２７
８０ Ｃ．
３２
２７ Ｄ．
２７
２６
８． 已知关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ ＞ ０，下列说法正确的是
Ａ． 不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ ＞ ０ 的解集可能是｛ｘ ｜ ｘ ＞ ３｝
Ｂ． 不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ ＞ ０ 的解集不可能是 Ｒ
Ｃ． 不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ ＞ ０ 的解集可能是
Ｄ． 不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ３ ＞ ０ 的解集可能是｛ｘ ｜ － １ ＜ ｘ ＜ ３｝
ìｘ － ｙ － ２≤０，
９． 已知 Ｍ（ｘ，ｙ）是不等式组 íｘ ＋ ｙ ＋ ２≥０，所表示的平面区域内的任意一点，且 Ｍ（ｘ，ｙ）满足

ｙ≤１
ｘ２ ＋ ｙ２≤ａ，则 ａ 的最小值为
Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ９ Ｄ． １０
１０． 已知△ＡＢＣ 中，ＡＣ ＝ ２，Ｂ ＝ ４５°，若△ＡＢＣ 有两个解，则边长 ＢＣ 的取值范围是
Ａ． （２，２ ２） Ｂ． （２，２ ３） Ｃ． （ ２，２ ２） Ｄ． （ ２，２ ３）
１１． ５Ｇ Ｓ技术的数学原理之一便是著名的香农公式：Ｃ ＝ Ｗｌｏｇ２（１ ＋ Ｎ ），它表示：在受高斯白噪
声干扰的信道中，最大信息传递速率 Ｃ 取决于信道带宽 Ｗ、信道内所传信号的平均功率
Ｓ、 Ｓ信道内部的高斯噪声功率 Ｎ 的大小，其中Ｎ叫做信噪比． 按照香农公式，在不改变 Ｗ 的
Ｓ
情况下，将信噪比Ｎ从 ２ ９９９ 提升至 ｋ（ｋ∈Ｎ），使得 Ｃ 至少增加 １０％ ，则 ｋ 的最小值为（参
考数据：ｌｇ ３≈０． ４７７，１０３． ８２４ ７≈６ ６７８． ８）
Ａ． ６ ６６６ Ｂ． ６ ６６７ Ｃ． ６ ６７７ Ｄ． ６ ６７８
１２． 设｛ａｎ｝是公差为 ｄ 的等差数列，｛ｂｎ｝是公比为 ｑ 的等比数列． 已知数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝的前 ｎ 项
和 Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ５ｎ － １（ｎ∈Ｎ ），则 ｄ － ｑ ＝
Ａ． － ３ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． ４
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二、填空题：本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分．
ì ｘ － ｙ － １≤０，
１３． 若 ｘ，ｙ 满足约束条件íｘ ＋ ｙ － ３≤０， 则 ｚ ＝ ２ｘ － ３ｙ 的最小值为 ．
３ｘ － ２ｙ ＋ ３≥０，
１４． 等比数列｛ ａｎ｝的各项均为实数，其前 ｎ 项的和为 Ｓｎ，已知 Ｓ３ ＝ １４，Ｓ６ ＝ １２６，则 ａ７ ＝
．
１５． 已知函数 ｇ（ ｘ） ＝ （ａｘ － ２） （ ｘ ＋ ｂ） ． 若不等式 ｇ（ ｘ） ＞ ０ 的解集是（ － １，２），则 ａ ＋ ｂ ＝
．
１６． ，△ＡＢＣ ， ＡＤ ，∠ＣＡＤ ＝ ４５°， ＡＣ如图 中 是中线 则 ＡＢ的最大值为
．
三、解答题：本大题共 ６ 小题，共 ７０ 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１７． （１０ 分）我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的问题，对于数列｛ａｎ｝，若数
列｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝是公差为 ｄ 的等差数列，则｛ａｎ｝就是二阶等差数列，若 ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ４，ｄ ＝ ２．
（１）求｛ａｎ｝的通项公式；
（２）数列｛ａｎ － ６ｎ｝中有多少项属于区间［５５，９１］？
１８． （１２ 分）在△ＡＢＣ 中，内角 Ａ，Ｂ，Ｃ 的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ． 且（ｂ ＋ ａ）（ｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ａ） ＝ （ ｃ －
ａ）ｓｉｎ Ｃ．
（１）求 Ｂ；
（２）若 ｂ ＝ ２，△ＡＢＣ 的面积为 ３，求△ＡＢＣ 的周长．
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１９． （１２ 分）若 ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，且 ａ２ ＋ ４ｂ２ ＝ （ａｂ） ２ ．
（１）求 ａ４ ＋ １６ｂ４ 的最小值；
（２）是否存在 ａ，ｂ，使得 ａ ＋ ６ｂ ＝ ９？ 并说明理由．
２０． （１２ 分）已知等差数列｛ａｎ｝的首项 ａ１ ＝ １，数列｛２ａｎ｝的前 ｎ 项和为 Ｓｎ，且 Ｓ１ ＋ ２，Ｓ２ ＋ ２，
Ｓ3＋ ２成等比数列．
（１）求｛ａｎ｝的通项公式；
（２）求数列｛ａｎ·（ －１） ａｎ｝的前 ２ｎ 项和 Ｔ２ｎ ．
２１． （１２ 分）已知 ａ，ｂ，ｃ 是△ＡＢＣ 的三边长，
（１）求证：ａｂｃ≥（ｂ ＋ ｃ － ａ）·（ｃ ＋ ａ － ｂ）·（ａ ＋ ｂ － ｃ）；
２ ２ ２
（２）若△ＡＢＣ ａ的周长为 ３，求证： ｂ ＋
ｂ ＋ ｃｃ ａ ≥３．
２２． （１２ 分）设数列 ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４ 满足：前三项成等比数列且和为 ｍ，后三项成公差不为零的等
差数列且和为 １５．
（１）用 ｂ２ 表示出 ｍ；
（２）若满足条件的数列 ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４ 的个数大于 １，求 ｍ 的取值范围．
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