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新人教A版 必修5 题型冲关训练
3.2.2 一元二次不等式及其解法（2）
题型一：解分式不等式
【例题1】已知关于的不等式＜0的解集是.则 .
【答案】-2；
【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于
由解集特点可得
【训练1】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】易知排除B;由符合可排除C;由排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
【训练2】已知集合,则集合为( )
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】依题，∴，
【训练3】设集合A={x|},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A；
【解析】由得,可知“”是“”的充分而不必要条件.
【训练4】不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【训练5】不等式:>0的解集为（ ）
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
【答案】C；
【解析】不等式:>0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)
∪(2, +∞)。
【训练6】关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}
【答案】A；
【解析】由ax－b＞0的解集为(1，＋∞)得，＞0变为＞0，
即(x＋1)(x－2)＞0，故解集为{x|x＞2或x＜－1}，故选A.
题型二：解绝对值不等式
【例题2】解不等式：
【解析】原不等式等价于：，解集为
【训练1】不等式>的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【答案】A；
【解析】(1)由> 得<0，即x(x－2)<0.解得0
【训练2】不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1
C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
【答案】D；
【解析】解法一：①x≥0时，原不等式化为：（1＋x）（1－x）＞0，
∴（x＋1）（x－1）＜0，
∴0≤x＜1。
②x＜0时，原不等式化为：（1＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0，
∴x≠－1，
∴x＜0且x≠－1。
综上，不等式的解集为x＜1且x≠－1。
解法二：原不等式化为： ①或 ②
①解得－1＜x＜1，
②解得即x＜－1，
∴原不等式的解集为x＜1且x≠－1。
【训练3】不等式组的解集是（ ）
A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5
C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3
【答案】C；
【解析】解法一：当x≥2时，原不等式化为，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，。
注意x≥2，得2≤x＜；
当0＜x＜2时，原不等式化为，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。
即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。
综上得0＜x＜，所以选C。
解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C。
【训练4】不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
【答案】{x|x＜－1或x＞4}；
【解析】可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．
【训练5】设a>0,不等式|ax+b|A.1∶2∶3 B.2∶1∶3
C.3∶1∶2 D.3∶2∶1
【答案】B；
【解析】|ax+b|即a∶b∶c=2∶1∶3.
【训练6】解不等式：|x2-3x-4|【解析】不等式等价于
解①得-13，
故原不等式的解集为{x|3题型三：一元二次不等式在实际问题中的应用
【例题3】某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【答案】C；
【解析】3000＋20x－0.1x2≤25x，即x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.
【训练1】某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．
【答案】t＞10；
【解析】依题意有t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．
【训练2】某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？
【解析】由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－t)万亩．则税收收入为(20－t)×24000×t%.
由题意(20－t)×24000×t%≥9000，
整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.
∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．
【训练3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
3.3.2 简单的线性规划问题
题型一：求线性目标函数的最值
【例题1】设，满足约束条件，求的最大值。
【解析】先画出满足约束条件的可行域，如图的阴影部分，
∵， ∴，
求的最大值，即求在约束条件下，斜率为的直线在轴上截距的最大值，可见当直线过时，在轴上截距最大。∴。
【训练1】设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
【答案】B；
【解析】画出不等式表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。
【训练2】若实数满足则的最小值为__________.
【答案】；
【解析】如图，当时，
为最小值.故应填.
【训练3】已知实数x、y满足
则目标函数z=x-2y的最小值是___________.
【答案】－9；
【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。 ( http: / / www. / )
【训练4】若变量满足则的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
【答案】C；
【解析】选C.画出可行域（如图），在点
取最大值
【训练5】已知实数满足
则的取值范围是________．
【答案】[-5，7]；
【解析】画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）
取得最大值7，范围是[-5，7].
题型二：利用线性规划求参数
【例题2】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积
相等的两部分，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A；
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，
∴ ∴ 。
【训练1】在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（ ）
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D；
【解析】如图可得三线封闭区域即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.
【训练2】若x，y满足约束条件，目标函数
仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）
(A) （，2 ） (B) （，2 ）
(C) (D)
【答案】B；
【解析】根据图像判断，目标函数需要与，平行，
由图像知a的取值范围是（，2 ）.
【训练3】设二元一次不等式组
所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)
的图象过区域M的a的取值范
围是（ ）
（A）[1,3] (B)[2,]
(C)[2,9] (D)[,9]
【答案】C；
【解析】如图阴影部分为平面区域M，显然，只需要研究过、两种情形。且即
【训练4】若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
【答案】D；
【解析】不等式组，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0【训练5】设为实数，若，
则的取值范围是 ．
【答案】；
【解析】作图易知,设若不成立;故当且斜率大于等于时方成立.
题型三：线性规划问题的实际应用
【例题3】某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最小？
分析：将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表（即运费表，单位：元）
甲 乙 丙
A 8 6 9
B 3 4 5
【解析】设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为吨、吨，则仓库A运给丙商店的货物为吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为吨、吨、吨，于是总运费为
，
从而将问题转化为求总运费在约束条件
，即下的最小值。
作出上述不等式组所表示的可行域，如图所示。作出直线：，把直线作平行移动，显然当直线移动到过点A时，在可行域内，取得最小值，即，时，总运费最小。
答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为7吨、0吨、1吨时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最小。
【训练1】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【答案】D；
【解析】选A. 设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。
【训练2】某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
【答案】23007；
【解析】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 A类产品 (件)(≥50) B类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
则满足的关系为即:
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.
【训练3】某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲
的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元. 对项
目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万
元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
【答案】B；
【解析】对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万
元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于
对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等
于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法
求解．选B．
【训练4】本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，
由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
即可行域．
如图： 作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得． 点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
【训练5】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示；
品种 电力（千度） 煤（吨） 劳动力（人） 产值（千元）
甲 2 3 5 7
乙 8 5 2 10
该厂的劳动力满员200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨时，问每天生产这两种产品各几吨，才能创造最大的经济价值？
【解析】设每天生产甲种产品吨，乙种产品吨，所创造价值千元，由题意得：
目标函数为，作出可行域，如图所示，把直线：向右上方平移到的位置时，直线经过可行域上的点P，此时，取最大值。
解方程组得点P的坐标为。
答：每天生产甲种产品吨，乙种产品吨时，才能创造最大的经济价值。
题型四：整数解线性规划问题的实际应用
【例题4】某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？
【解析】设隔出大、小房间分别为x间、y间，收益为f元，则
f=200x+150y.其中x、y满足
如图4所示，由图解法易得f=200x+150y过点A(23/7，63/7)时，目标函数f取得最大值。
但x、y必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f取得最大值的整点。
显然目标函数f取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优解。这些整点有：(0，12)，(1，10)，(2，9)，(3，8)，(4，6)，(5，5)，(6，3)，(7，1)，(8，0)，分别代入f=200x+150y，逐一验证，可得取整点(0，12)或(3，8)时，fmax=200×0+150×12=200×3+150×8=1800(元)。
所以要获得最大收益，有两种方案：
Ⅰ.只隔出小房间12间；
Ⅱ.隔出大房间3间，小房间8间。最大收益为1800元。
【训练1】有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／ 飞机运输量／
粮食
石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
【解析】设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
【训练2】预算用元购买单价为元的桌子和元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的倍．问：桌、椅各买多少才合适？
【解析】设桌椅分别买，张，由题意得
由解得
点的坐标为．
由解得
点的坐标为
以上不等式所表示的区域如图所示，即以，，为顶点的
△及其内部．
对△内的点，设，即为斜率为，轴上截距为的平行直线系．只有点与重合，即取，时，取最大值．
，．买桌子张，椅子张时，是最优选择．
x
y
x+y=2
y=3
A
x
D
y
C
O
y =kx+
B
y
商品
每吨运费
仓库
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
方式
效果
种类
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3.2.1 一元二次不等式及其解法（1）
题型一：解一元二次不等式
【例题1】求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5≤0; (4)－4x2＋18x－≥0；
(5)－x2＋3x－5＞0; (6)－2x2＋3x－2＜0.
【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}．
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(4)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(5)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，
因为Δ＝62－40＝－4＜0，方程x2－6x＋10＝0无实数根，
所以原不等式的解集为 .
(6)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，方程2x2－3x＋2＝0无实数根，
所以原不等式的解集为R.
【训练1】已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】依题意得，故选A．
【训练2】已知函数，则不等式的解集是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C；
【解析】依题意得
所以，选C．
【训练3】已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
【答案】(－1，－1)；
【解析】若x≥0，则
∴－1＜x＜－1 0≤x＜－1
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0
综上－1＜x＜－1
【训练4】求下列关于x的不等式的解集：
(1)－x2＋7x＞6；
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0.
【解析】(1)∵－x2＋7x＞6，∴－x2＋7x－6＞0，∴x2－7x＋6＜0，
∴(x－1)(x－6)＜0.∴1＜x＜6，即不等式的解集是{x|1＜x＜6}．
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0，因式分解得(x－m)[x－(m＋1)]＜0.
∵m＜m＋1，∴m＜x＜m＋1.即不等式的解集为{x|m＜x＜m＋1}．
【训练5】求不等式ax＋1＜a2＋x(a∈R)的解集．
【解析】将原不等式化为(a－1)x＜a2－1.
①当a－1＞0，即a＞1时，x＜a＋1.
②当a－1＜0，即a＜1时，x＞a＋1.
③当a－1＝0，即a＝1时，不等式无解．
综上所述，
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜a＋1}；
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为 .
【训练6】解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
【解析】当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即＜0，
若m＞0，则＞－，所以原不等式的解集为；
若m＜0，则＜－，所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
题型二：“三个二次”关系的应用
【例题2】已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
【解析】(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得，
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．
【训练1】不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )
A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
【答案】D；
【解析】由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－，－2×3＝.∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.
【训练2】不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
【答案】B；
【解析】由已知得，解得
【训练3】已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【答案】A；
【解析】由题意知－，－是ax2－bx－1＝0的两实根，
∴.解得.
∴x2－bx－a＜0即x2－5x＋6＜0，即2＜x＜3.
【训练4】已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋4x－5＜0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b＜0的解集．
【解析】(1)解不等式x2－2x－3＜0，得A＝{x|－1＜x＜3}．
解不等式x2＋4x－5＜0，得B＝{x|－5＜x＜1}．
∴A∪B＝{x|－5＜x＜3}．
(2)由x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－5＜x＜3}，
∴，解得.
∴2x2＋x－15＜0.
∴不等式的解集为.
【训练5】若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝_____，b＝_____．
【答案】
【解析】根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知
题型三：一元二次不等式中的参数问题
【例题3】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
【解析】当a＝0时，不等式为－x－1＜0，即x＞－1不恒成立．
当a≠0时，不等式恒成立，则有
即，即
即 a＜－.，即a的取值范围是(－∞，－)．
【训练1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方法一：构造函数：。由于当时，
不等式恒成立。则，
即。解得：；
方法二：，，由于在上为减函数，所以，；所以。
【训练2】若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－，] B．(－，)
C．[－，) D．[－，]
【答案】D；
【解析】Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－≤a≤.
【训练3】若函数y＝的定义域是R，求实数k的取值范围．
【解析】①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；
②当k＞0时，必有Δ＝(－6k)2－4k(k＋8)≤0，
解得0＜k≤1.综上，0≤k≤1.
【训练4】关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪
【答案】C；
【解析】原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
m＜0.
综上，m的取值范围为(－∞，0]．
【训练5】若关于x的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得a的范围为
【训练6】设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围．
【解析】由(x－b)2＞(ax)2，得(x－b)2－(ax)2＞0，
即[(1＋a)x－b][(1－a)x－b]＞0.
若－1＜a＜0，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；
若0＜a＜1，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；
若a＞1，则(x－b)2＞(ax)2，即[(1＋a)x－b][(a－1)x＋b]＜0，
则－＜x＜.
又0＜b＜1＋a，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0，
故－3≤＜－2，则2a－2＜b≤3a－3，
即，解得1＜a＜3.
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3.4.2 基本不等式（2）
题型一：求函数的最值
【例题1】设，求函数的最小值。
【解析】
所以仅当。
【训练1】求函数的最小值。
【解析】
所以当
【训练2】求函数的最大值。
【解析】方法1：
（仅当时取等号），即当。
方法2：
（仅当时取等号），即当。
【训练3】已知，求的最大值．
【解析】，，．
，
当且仅当，即时，等号成立，即．
【训练4】已知，求函数的最大值。
【解析】∵，∴，
∴
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以当时，函数的最大值为1。
【训练5】已知,求函数的最值.
【解析】若，则；若,则=≤
(当且仅当，即时取“=”）,则.
∴的最小值和最大值分别为和2.
题型二：实际应用问题
【例题2】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
【训练1】某工厂第一年年产值为,第二年的增长率为,第三年的增长率,这两年的平均增长率为,则有( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B；
【解析】由题意有,则
,即(当且仅当,即时,取等号).
【训练2】有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为,上下空白宽都为,左右空白宽都为,则四周空白部分面积的最小值为________.
【答案】56；
【解析】设印刷部分的宽为,高为,则,则空白部分的面积为
(当且仅当,且,即时,取等号)
【训练3】一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长,问这个矩形的长和宽各为多少时,花园的面积最大 最大面积是多少
【解析】设矩形花园的长为米,宽为米(其中,则有,则矩形花园的面积为(当且仅当,且,即时,取等号).故矩形花园面积的最大值为.
【训练4】在面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值为_______.
【答案】；
【解析】由,则有(当且仅当且,即时,取等号).
【训练5】某单位需要建造一个长方形有盖储水池,其容积为,深为.如果池底每平方米的造价为元,池顶每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元.问怎样设计水池底的长与宽,能使总造价最低 最低总造价是多少
【解析】设池底矩形的长为,宽为,则有.则水池的总造价为:
(元) (当且仅当且,即时,取等号).所以当池底设计为一个边长为的正方形时,总造价最低,且最低总造价为元.
【训练6】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
方法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20),由此得y=
广告的面积S=xy=x()＝x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
题型三：和与积关系的利用
【例题3（1）】若,且,则的最小值为_____.
【答案】4；
【解析】因为,所以由(当且仅当且,即时,取等号).
【例题3（2）】若,则函数的最大值为_______.
【答案】4；
【解析】由,得.则,所以有
(当且仅当,即时,取等号).
【训练1】若,且,求的最大值.
【解析】∵≤（当且仅当,即时，取“=”）,
∴的最大值为.
【训练2】已知,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A；
【解析】由,得,则由
(当且仅当且,即时,取等号).
【训练3】设若的最小值为（ ）
A 8 B 4 C 1 D
【答案】B；
【解析】选B. 因为，所以，
，
当且仅当即时“=”成立，故选择B.
【训练4】已知，且，则的最大值为
【答案】；
【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.
【训练5】函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【答案】8；
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
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3.4.1 基本不等式（1）
题型一：运用均值不等式进行简单证明
【例题1】已知都是正数，求证：.
【解析】证法1：∵，∴，
三式相乘得，两边取常用对数得
，即.
证法2：∵，∴，两边取常用对数得，即，同理得，.
三式相加得.
【训练1】已知都是正数，且，求证：.
【解析】证明：
.
故. （当且仅当时取等号）
【训练2】设为不全相等的正数，求证：.
【解析】证明：∵，∴，从而；
又，∴.
同理，.
∵不全相等，∴三个不等式的等号不能同时取到，故三式相加得
.
【训练3】已知都是正数，且，求证：.
【解析】证法1：∵，则，
∴.
又，，，
∴，
故，即.
证法2：∵，
∴
.
故.
【训练4】已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
【解析】证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2a，＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述符号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
【训练5】若，则下列代数式中值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选A.
∴
题型二：无限制条件求最值
【例题2】若,求函数的最小值.
【解析】由,得,则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最小值为.
【训练1（1）】若,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A；
【解析】由,得(当且仅当,即时,取等号)
【训练1（2）】已知,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C；
【解析】由,得(当且仅当,即时,取等号),则有,所以.
【训练2（1）】下列结论中正确的是( )
(A)当且时, (B)当时, (C)当时,的最小值是 (D)当时,无最大值
【答案】B；
【解析】A中的不一定为正数;C中不能取到等号;D中的在区间上为单调递增函数,故有最大值.
【训练2（2）】下列函数中,最小值为的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B；
【解析】A中的不一定为正数;B中的等号不能成立;D中的不一定为正数.
【训练3】已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】C；
【解析】 因为当且仅当且，即时，取“=”号。w.w.
【训练4】已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D；
【解析】方法1：∵等比数列中∴当公比为1时，，；
当公比为时，，从而淘汰（A）（B）（C）故选D；
方法2：∵等比数列中∴∴当公比时，；当公比时，∴故选D；
方法3：．由双勾函数的图象知，或，故选D．
【训练5】已知a>0，b>0，ab＝a＋b＋3，求：
(1)ab的最小值；(2)a＋b的最小值．
【解析】(1)∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3
∴()2－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
等号成立的条件是a＝b且ab＝9，即a＝b＝3，故ab的最小值为9.
(2)∵a>0，b>0，ab≤2，∴ab＝a＋b＋3≤2
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)
当且仅当a＝b且a2－2a－3＝0，即a＝b＝3时取等号．
∴当a＝b＝3时，a＋b取得最小值6.
题型三：有限制条件求最值
【例题3】已知，，且，求的最大值。
【解析】
，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以当，时，的最大值为。
【训练1】已知，且，求的最小值。
【解析】由，得
，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以当，时，的最小值为。
【训练2】若,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D；
【解析】因为,所以由(当且仅当,且,即时,取等号).
【训练3】已知,、的等差中项为是,且,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C；
【解析】由条件,得,即.因为,所以有(当且仅当且,即时等号成立)
【训练4】若对于满足的任意正数、,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
【解析】≥16（当且仅当，，即时取“=”）.因此,对于满足题意的任意,使不等式恒成立,只需,即,故实数的取值范围为.
【训练5】若,则函数的最小值为______.
【答案】-1；
【解析】由,知,则
(当且仅当,即时,取等号).
【训练6】函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为 ．
【答案】4；
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
（方法一）：， （当且仅当m=n=时等号成立）.
（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.
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3.3.1 二元一次不等式组的平面区域
题型一：二元一次不等式表示的平面区域
【例题1】不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
【答案】D；
【解析】取测试点(1,0)，排除A、C；由边界线x－2y＝0可排除B.故选D.
【训练1】不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
【答案】D；
【解析】带入点(2,0)，可知6+0=6，不在题知的平面区域内
【训练2】已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【答案】B；
【解析】因为点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以有[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7【训练3】如果点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为________．
【答案】4；
【解析】由题意知(6×5－8b＋1)·(3×5－4b＋5)＜0，解得＜b＜5，
∵b为整数，∴b＝4.
【训练4】设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9 C．3 D．无数
【答案】A；
【解析】当x＝0时，y可取0,1,2,3有4个点；
当x＝1时，y可取0,1,2有3个点；
当x＝2时，y可取0,1有2个点；
当x＝3时，y可取0，有1个点，故共有10个点，选A.
【训练5】画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的平面区域；
【解析】(1)设F(x，y)＝2y－5x－10，作出直线2y－5x－10＝0，∵F(0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0，
∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．
【训练6】点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
【答案】t＞；
【解析】画出直线2x－3y＋6＝0如图，再作直线x＝－2，与直线2x－3y＋6＝0交于点A(－2，)．因为点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t＞.
题型二：二元一次不等式组表示的平面区域
【例题2】画出不等式组表示的平面区域。
【解析】不等式表示直线下方的区域；不等式表示直线上方的区域。取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域。图中的阴影部分就是（不包括直线）。
【训练2】画出以下不等式组表示的平面区域：
【解析】如图所示．不等式①表示直线x＋y－1＝0的右上方(包括直线)的平面区域；
不等式②表示直线x－y＝0右下方(包括直线)的平面区域；
不等式③表示直线x＝2左方(包括直线)的平面区域．
所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
【训练3】画出下列不等式组表示的平面区域：
(1)(2)
【解析】
【训练4】不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C；
【解析】选C. 不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为，又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）故.
【训练5】画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x、y的取值范围．
(2)平面区域内有多少个整点？
【解析】不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：
(1)由图可得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组可知：.
①当x＝－2时，2≤y≤3 y＝2或3，有2个整点．
②当x＝－1时，1≤y≤4 y＝1,2,3,4，有4个整点．
③同理当x＝0,1,2,3时，分别有6个、8个、10个、12个整点．
所以，所求平面区域里共有
2＋4＋…＋12＝＝42.
【训练6】画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．
【解析】如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．
由得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
题型三：根据平面区域写出二元一次不等式组
【例题3】在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )
A. B.
C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0
【答案】D；
【解析】在阴影部分内取测试点(－1,0)，x－y＝－1＜0，x＋y＝－1＜0，排除A、B、C；故选D.其实x2－y2≥0或者.
【训练1】△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为____________．
【答案】
【解析】分别求三边的直线方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式为：y＞0,2x－y＋4＞0,2x＋y－4＜0.
【训练2】图中表示的区域满足不等式( )
A．2x＋2y－1＞0 B．2x＋2y－1≥0
C．2x＋2y－1≤0 D．2x＋2y－1＜0
【答案】B；
【解析】直线为实现，所以有等号，排除A、D；将点（0,0）带入验证可知，选择B。
【训练3】在△ABC中，各顶点坐标分别为A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
【解析】如图所示．
可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，
∴x＋2y－1≥0；在直线BC右下方，
∴x－y＋2≥0；在直线AC左下方，
∴2x＋y－5≤0.∴△ABC区域可表示为
【训练4】在平面直角坐标系中， 若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
【答案】D；
【解析】如图，
由得A(1，a＋1)，由得B(1,0)，
由得C(0,1)．
∵△ABC的面积为2，∴S△ABC＝(a＋1)＝2，∴a＝3.
【训练5】如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】B；
【解析】2x－y＋4≤0在直线2x－y＋4＝0上及左上方，故D错，A、C均缺y≥0，A还缺x≤0.
题型四：二元一次不等式组表示平面区域的实际应用
【例题4】某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 教师年薪
初中 45 2 26万元/班 2万元/人
高中 40 3 54万元/班 2万元/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
【解析】设开设初中班x个，高中班y个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0.
把上面四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．
【训练1】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品的资源需求如下表
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW· h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．
【解析】设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y) kw·h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y) t，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋2y)≤200；另外，还有x≥0，y≥0.综上所述，x、y应满足不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：
【训练2】某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次，请在直角坐标系中画出运输的两种类型的车辆的允许范围
【解析】设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车 型车 限量
车辆数
运物吨数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
3.1 不等式与不等关系
题型一：实际问题中的不等关系
【例题1】糖水是日常生活中常见的东西，下列关于糖水浓度的问题，请提炼出一个不等式来：
（1）如果向一杯糖水里添上点糖，糖水就变甜了；
（2）把原来的糖水（淡）与加糖后的（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡。
【解析】（1）设糖水克，含糖克，浓度为，添入克糖后的浓度为，则提炼出的不等式模型为：若，，则。
（2）设淡糖水克，含糖克，浓度为；浓糖水克，含糖克，浓度为，则混合后的浓度为，所提炼出的不等式的模型为，，且，则。
【训练1】一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．
【答案】2≤d≤2；
【解析】最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2.
【训练2】某品牌酸奶的质量检查规定：酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，则上述关系可用不等式组表示为________．
【答案】
【训练3】某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．
【解析】设租用大卡车x辆，农用车y辆
【训练4】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解析】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，
，即
【训练5】甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
【解析】设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b.则甲采购员两次购粮的平均单价为＝元/kg，
乙采购员两次购粮的平均单价为＝元/kg.
∵－＝＝，
又a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
∴＞0，即＞.
所以乙采购员的购粮方式更合算．
【训练6】有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
效果方式种类 轮船运输量/t 飞机运输量/t
粮食 300 150
石油 250 100
现在要在一天内至少运输2000 t 粮食和1500 t 石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
【解析】设需要安排x艘轮船和y架飞机．则
即
题型二：作差法比较大小
【例题2】已知，比较与的大小。
分析：判断差的符号是通过因式分解的方法实现的，最后定号，必须进行分类讨论。
【解析】
。
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴。
【训练1】已知-1【解析】∵(1-)＝＝
＝≥0
∴1-≥-1?
【训练2】x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．不能确定
【答案】C；
【解析】∵x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0.∴x＜y.
【训练2】若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
【答案】A；
【解析】∵m≠2且n≠－1，∴M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5＞－5.
【训练3】比较大小：x2＋y2＋z2________2(x＋y＋z)－4.
【答案】＞；
【解析】(x2＋y2＋z2)－[2(x＋y＋z)－4]
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋1＞0.
【训练4】比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
【解析】x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，
当且仅当x＝±1时取等号．
【训练5】船在流水中在甲、乙两地之间来回航行一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
【解析】设甲、乙两地之间的距离为S，船在静水中的速度为u，水流速度为v（u > v > 0），则船在流水中在甲、乙两地之间来回航行一次所需的时间
平均速度 ．
∵ ，
∴ < u ．
因此，船在流水中来回航行一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度低于船在静水中的速度．
【训练6】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
【解析】设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x(1－)．
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当0＜n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；
少于5人时，选乙车队更优惠．
题型三：判定不等式是否成立
【例题3】适当增加不等式条件使下列命题成立：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，，则。
【解析】（1）原命题改为：若，，则，即增加条件“”。
（2）由可得，但只有时，才有，即增加条件“”。
（3）由可得，但作为真数，应有，即增加条件“”。
（4）成立的条件有多种（如，），因此可增加条件“，”。
【训练1】“”是“且”的 （ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A；
【解析】选A.易得时必有.若，则可能有.
【训练2】已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B；
【解析】选B. 显然，充分性不成立.又若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞，即由“－＞－”“＞”.
【训练3】设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】选D.利用赋值法：令排除A,B,C.
【训练4】如果a>b，则下列不等式中正确的是( )
A.algx>blgx (x>0) B.ax2>bx2
C.a2>b2 D.2xa>2xb
【答案】D；
【解析】∵ lgx∈R，当lgx<0时，由a>b
得 algxblgx不成立.
x＝0时，ax2＝bx2＝0 ∴ax2>bx2不成立.
∵ a2-b2＝(a+b)(a-b) 由a>b得a-b>0，但a+b的符号不确定，∴a2>b2不成立.
∵ 2x>0 ∴2xa>2xb成立.
因此应选D.
【训练5】下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜， 则a＜b
【答案】D；
【解析】A错，例如(－3)2＞22；B错，例如 ＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.
【训练6】若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是( )
A．x－m＞y－n B．xm＞ym
C.＞ D．m－y＞n－x
【答案】D；
【解析】将x＞y变为－y＞－x，将其与m＞n左右两边分别相加，即得结论．
题型四：证明不等式
【例题4】若a,b∈R+，比较+与+的大小.
【解析】解法一：(作差法).∵a,b∈R+
∴〔+〕-(+)＝+--
＝+＝(a-b)(- )
＝＝≥0
∴ +≥+.
解法二：(作商法).∵a,b∈R+
∴＝＝＝
＝≥＝1，
∴ +≥+.
解法三：(平方作差法).
∵ 〔+〕2-(+)2
＝(++2)-(a+b+2)＝-(a+b)
＝(a2+b2-ab-ab)＝≥0，
∴ +≥+.
【训练1】已知：a＞b＞0，d＞c＞0，求证：＞.
【解析】证明：因为d＞c＞0，所以＞＞0.又因为a＞b＞0，
所以a·＞b·，即＞.
【训练2】已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
【解析】f(x)＝＝m.
f(a)＝m，f(b)＝m.
∵a>b>1，∴a－1>b－1>0，
∴1＋<1＋.
①当m>0时，m②当m＝0时，f(a)＝f(b)；
③当m<0时，m>m，即f(a)>f(b)．
综上所述，当m>0时，f(a)当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m<0时，f(a)>f(b)．
【训练3】已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
【解析】证明：∵c＞a，∴c－a＞0，
又∵a＞b，∴＞.
题型五：运用不等式性质求范围
【例题5】设2【解析】(1)∵2(2)∵-4∵ 2(3)∵ -4∴ <-< (乘法单调性) ∴ <-<1 (乘法法则)
∴ -1<<- (乘法单调性)
(4)∵ 3<-b<4 ∴ 6<-ab<12 (乘法法则)
∴ -12(5)∵ 3<-b<4 ∴ 9∵ 2∴ 3<<8 (乘法法则)
【训练1】已知<α<β<π，求2α-3β的取值范围.
【解析】∵<α<π ∴π<2α<2π ∵<β<π ∴-2π<-2β<-π
∴-π<2α-2β<π 又α<β ∴α-β<0 ∴-π<2α-2β<0，又-π<-β<-，∴-2π<2α-3β<-
【训练2】若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
【答案】C；
【解析】∵－<α<，
又－<－β<，且α<β，
∴－π<α－β<0，
∴－<2α－β<.
【训练3】已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
【解析】因为－≤α＜β≤，所以－≤＜，
－＜≤.
两式相加，得－＜＜.
因为－＜≤，所以－≤－＜，
则－≤＜.
又α＜β，所以＜0，
则－≤＜0.
【训练4】已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围：
(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；(4).
【解析】(1)∵3＜n＜5，∴6＜2n＜10.
又∵2＜m＜4，∴8＜m＋2n＜14.
(2)∵3＜n＜5，∴－5＜－n＜－3，
又∵2＜m＜4.∴－3＜m－n＜1.
(3)∵2＜m＜4,3＜n＜5，∴6＜mn＜20.
(4)∵3＜n＜5，∴＜＜，
由2＜m＜4，可得＜＜.
【训练5】已知f(x)＝ax2-c 且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
分析一：要求f(3)的取值范围，因为f(1),f(2)的范围已知，故应建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系，可通过a、c将f(3)用f(1)和f(2)表示.
【解析】解法一：∵ f(1)＝a-c, f(2)＝4a-c
a＝∴
c＝
∴ f(3)＝9a-c＝9×-
＝-f(1)+f(2)
∵ -4≤f(1)≤-1 ∴ ≤-f(1)≤
∵ -1≤f(2)≤5 ∴ -≤f(2)≤
∴ -1≤-f(1)+ f(2)≤20
即 -1≤f(3)≤20
分析二：建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系时，也常用待定系数法.
解法二：令f(3)＝mf(1)+nf(2)
则 9a-c＝m(a-c)+n(4a-c)
即 9a-c＝(m+4n)a-(m+n)c
m+4n＝9 m＝-
∴ 解得
m+n＝1 n＝
∴ f(3)＝-f(1)+ f(2)?
下面解法同解法一.
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