(共37张PPT)
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国数学家赵爽
A
D
C
B
H
G
F
E
“风车”中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？
当且仅当a=b时，等号成立。
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
思考1：等号何时成立？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
*注意：当且仅当a=b时，等号成立
思考2：当a,b为任意实数时， 还成立吗？
此不等式称为重要不等式
思考3：你能给出重要不等式的证明吗？
证明：因为
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
2.代数证明:
3.几何意义：半弦长小于等于半径
（当且仅当a=b时，等号成立）
算术平均数
几何平均数
3.几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的
等差中项
1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论
基本不等式
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
分析法
执果索因
探究：作差法证明基本不等式
几何意义：半径不小于半弦
如图,AB是圆的直
径，C是AB上任一
点AC=a, CB=b,过
点C 作垂直于AB的
弦DE，连 AD, BD,
则CD=＿＿,
半径为＿＿
对基本不等式 的几何意义作进一步探究
两个正数的
几何平均数
两个正数的算术平均数
上面两个定理的主要区别在哪里呢
两个不等式的适用范围不同.
平均值定理常称作“均值不等式”,它是一个非常
重要的不等式,常变形为
错在哪里？
１．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值．
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个重要条件．
２．已知函数 ，
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
应用
求最值时,注意验证：一正 、二定 、三相等
构造条件
例1、若 ,求 的最小值.
变3:若 ,求 的最小值.
变2:若 ,求 的最小值.
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变1:若 求 的最小值
变式、已知x、y都是正数，求证：
(1) ≥2；
分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴ ＞0， ＞0
=2
（当且仅当x=y时，式中取等号。）
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.
解：∵x，y都是正数
∴ x＋y≥2 >0
∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0
x2＋y2≥2 >0
x3＋y3≥2 >0
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥
＝８x3y3
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.
2 ·2 ·2
（当且仅当x=y时，式中取等号）
（当且仅当x=y时，式中取等号）
例2、已知a、b、c都是正数，求证
(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
b＋c≥2 ＞
c＋a≥2 ＞0
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc.
=8abc
∴a＋b≥2 >0
2 ·2 ·2
(当且仅当a=b=c时，上式取等号）
变式、求证：
（２）已知
都是正数，求证
证明：由
都是正数，得
例3、
1、【杭州市09年模考·理】(3) 下列不等式不一定成立的是
B
C
D
A
C
2、【金丽衢第一次联考·理】14．（文科14） 改编
4
原题：满足a+2b=1
变式：
且
1、已知
，
求
的最小值
解：
当且仅当
即
时
证明：
注意:本题条件a,b,c为实数
例4、工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2
的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四
周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造
单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水
池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的
长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
分析：
设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，
（1）建立 x 的函数 y ；
（2）求y的最值.
设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
解：
y=400· (2x+200/x×2)+248·(2×200/x)+80×200
=800x+259200/x+16000.
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。
≥
答：池长18m，宽100/9 m时，
造价最低为30400元。
x
200/x
例5．求函数 的最大值，及此时x的值。
解： ，因为x>0，
所以
得
因此f(x)≤
当且仅当 ，即 时，式中等号成立。
由于x>0，所以 ，式中等号成立，
因此 ，此时 。
１已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．
4 已知x>0,y>0，且x+2y=1，求
的最小值．
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
你算得快,算得准吗
1. 两个不等式
（1）
（2） 当且仅当a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.
根据题意,有:
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此 xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
即
当x=y,即x=y=40时,等号成立
所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.(共19张PPT)
2008、10、25
x
y
1
2
3
4
5
6
7
O
-1
-1
1
2
3
4
5
6
B
A
C
x=1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
若实数x , y满足 ,求z=2x+y的取值范围.
使z=2x+y取得最大值的可行解为 ，
且最大值为 ；
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
满足 的解(x,y)都叫做可行解；
z=2x+y 叫做 ；
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的 ；
使z=2x+y取得最小值的可行解 ，
且最小值为 ；
这两个最值都叫做问题的 。
线性目标函数
线性约束条件
(5,2)
(1, 1)
12
3
最优解
线性约束条件
复习引入:
分析：目标函数变形为
把z看成参数，同样是一组平行线，且平行线与可行域有交点。
最小截距为过A(5,2)
的直线
注意：直线取最大截距时，等价于
取得最大值，则z取得最小值
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
y
1
2
3
4
5
6
7
O
-1
-1
1
2
3
4
5
6
x
3x+5y-25=0
x=1
B
A
C
x-4y+3=0
最大截距为过
的直线
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
y
1
2
3
4
5
6
7
O
-1
-1
1
2
3
4
5
6
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
作斜率为 的直线
x=1
B
A
C
x
3x+5y-25=0
x-4y+3=0
使之与平面区域有公共点,由图可知,当
z的值最小，
ｚ的值最小，当
过A(5,2)、 时，
过B(1,1)时，
或
本题以最大值解为坐标的点落在线段AC上，即线段AC上所有点的坐标为最大值解
y
1
2
3
4
5
6
7
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-4
A
D
C
B
解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形ABCD。
作直线
所以，
求得 A(3,1) B(4,0)
C(5,1) D(4,2)
可使
达到最小值，
将直线
平移，平移到过A点
的平行线
与
重合时，
达到最大值。
可使
当
平移过C点时，与
的平行线
重合时，
例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围
解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y)
=(m+n)x+(m-n)y
∴m+n=2，m-n=1
m=3/2 ，n=1/2
∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6，2≤x-y≤4
∴7≤2x+y≤11
例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围
例题分析：关于取整数解的问题
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0
y≥0
作出可行域（如图）
目标函数为 z=x+y
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
X张
y张
例题分析
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N
y≥0 y∈N
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
作出一组平行直线z=x+y，
目标函数z= x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
当直线经过点A时z=x+y=11.4,
x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
2
4
6
18
12
8
27
2
4
6
8
10
15
但它不是最优整数解.
作直线x+y=12
答（略）
例题分析
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N*
y≥0 y∈N*
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.
答:(略)
作出一组平行直线t = x+y，
目标函数t = x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
在可行域内打出网格线，
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
将直线x+y=11.4继续向上平移，
1
2
1
2
18
27
15
9
7
8
300
1
2
一级子棉（吨）
900
600
利润（元）
250
2
1
二级子棉（吨）
资源限额（吨）
乙种棉纱（吨）y
甲种棉纱（吨）x
产品
资源
例2．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则
Z=600x+900y
作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。
解方程组
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67
答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。
在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）
2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解；还可以用调整最优值法。
不等式组 表示的平面区域内的整数点共有
（ ）个
巩固练习1:
1 2 3 4 x
y
4
3
2
1
0
4x+3y=12
练习2：求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。
x
y
o
4
4
－4
－4
共有：
9 + 2 ( 7 + 5 + 3 + 1 )
= 41
X
y
0
8
4
x=8
y=4
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
x+y=10
4x+5y=30
320x+504y=0
3.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）
解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则
x≤8
{
y≤4
x+y≤10
x,y∈N*
4x+5y≥30
Z=320x+504y
作出可行域中的整点，
可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元
作出可行域
15
课后练习:
2.
3.深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥，已知生产甲种水泥制品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种水泥制品1吨，需矿石5吨，煤10吨，每1吨甲种水泥制品的利润为7万元，每1吨乙种水泥制品的利润是12万元，工厂在生产这两种水泥制品的计划中，要求消耗的矿石不超过200吨，煤不超过300吨，甲乙两种水泥制品应生产多少，能使利润达到最大值？
0
（图1）
【练习4】
如图1所示，已知△ABC中的三顶点
A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)
在△ABC内部及边界运动，
请你探究并讨论以下问题：
①
在_____处有最大值___，在____处有最小值____；
③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的
情况有无穷多个？
④ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别
在A处、B处、C处取得？
⑤ (课后思考题）若目标函数是
你知道其几何意义吗？
？如果是
或
②
在___处有最大值____，在____处有最小值____；
呢？
你能否借助其几何意义求得
z=x+y
z=x-y
z=x2+y2 ，
zmin和zmax
A(2,4)
C(0,1)
B(-1,2)
0
A
B
C
（ 图2 ）
0
A
B
C
(如图2，①②问参考答案: ① z=x+y
在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ；②z=x+y
在 点C 处有最大值 1 ，在 点 B 处有最小值 -3)(共32张PPT)
复习：一元二次方程与一元二次函数
(1)一元二次方程的解法
因式分解法(十字相乘）
公式法：
韦达定理
(2)一元二次函数
开口方向；
对称轴
顶点 坐标
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
定义：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
表达式：一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
它们之间有怎样的联系？
一元二次方程：
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次不等式：
ax2+bx+c>0(a≠0)
或ax2+bx+c<0(a≠0)
二次函数:
y=ax2+bx+c(a≠0)
下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
例1、解不等式：
（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.
方程x2－x－6=0的判别式
于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3.
建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)，
观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合
A={x| x<－2或x>3}是一元二
次不等式x2－x－6>0的解集。
抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x| －2
事实上，当x∈A时，若x<－2，则x+2<0，且x－3<0，由此可推知
(x+2)(x－3)>0；
若x>3，同样可推知(x+2)(x－3)>0。
当x∈B时，即－20，
x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解：
（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，
所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得x>3或x<－2.
（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0，
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得－2比较上面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。
例2、解不等式：
（1）x2－2x+3>0； （2）x2－2x+3<0.
分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+3>0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为实数集R，
不等式（2）无解，或说它的解集为空集.
例3．解不等式（1） x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0，
原不等式化为(x+2)2>0，
所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
思考．解不等式（2） x2+4x+4<0.
通过以上三例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。
（1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2)。
简单的说是：
大于开两边，小于夹中间。
（2）当△=0时，通过配方得，
由图可知，ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数，即
ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。
（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
判别式
△=b2- 4ac
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
x1
x2
x
y
O
y
x
O
Φ
Φ
R
没有实根
y
x
O
x1
解一元二次不等式的一般步骤
另解： 因为△= 16 -16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
课本P78例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 x2 - 2x +3 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
课本P78例1：解不等式4x2-4x +1>0
解:
由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0
例4．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
所以不等式的解集是
点评
变式：解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
所以,原不等式的解集是
先求方程的根
然后想像图象形状
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小于小根(两边飞)
例5．解不等式－2x2+4x－3>0.
解：原不等式化为2x2－4x+3<0，
因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0，
所以原不等式的解集是
变式：解不等式－x2＋2x－3＞0
解：不等式可化为：
例6．求函数
的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
即
解得
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
例7. 解不等式 4(2x2+2x＋1)＞x(4－x).
例9、 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y = -2 x2 + 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到 -2x2 + 220x > 6000
移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0.
因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根
x1=50, x2=60.
由函数y=x2-110x+3000的图象,
得不等式的解为50因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂
能够获得6000元以上的收益.
例10、 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系:
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少 (精确到0.01 km/h)
解:设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h,根据题意,得到
移项整理,得 x2+9x-7110>0.
显然△>0, 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即
x1≈-88.94, x2≈79.94
画出函数y=x2+9x-7110的图象,由图象得不等式的解集为
{x|x <-88.94, 或 x>79.94 }
在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
求解一元二次不等式ax2+bx+c>0
(a>0)的程序框图:
△≥0
x< x1或x> x2
其方法步骤是:
(1)先求出Δ和相应方程的解，
注:若a<0时,先变形!
(2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
2. 二次函数
一元二次不等式的解
一元二次方程的根
图象
三个二次问题都可以通过图形实现转换
小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式(共28张PPT)
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
→判断符号
作差
→变形
→得出结论
证明：
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。
性质1：如果a>b，那么bb.
证明：
这个性质也可以表示为c这个性质是不等式的传递性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：
性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到不等式另一边（移项法则）
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
证明：
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性
得a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.
性质7：
性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同号.
性质8：
性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.
以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据
试证明：如果a>b>0，则，
(n∈N+，n>1).
证明：用反证法，假定 ，即
或 ，
根据性质4的推论2和根式性质，得a这都与a>b矛盾，因此
例1：对于实数 判断下列命题的真假
若 则
(5)若 则
(3)若 则
(4)若 则
假
(2)若 则
真
假
假
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果。
变式：判断下列各式是否正确？为什么？
（1） 如果a >b，那么a-c>b-c
（2）如果a > b,那么
（3）如果ac（4） 如果ac2 > bc2,那么a>b
正确
错误
错误
正确
例2.已知 a > b >0, c <0, 求证 .
＞
证明：因为a > b >0,
于是
即
由 c < 0 , 得 ,
即
所以 ab >0,
>0.
思考？
能否用作差法证明 ？
例3.应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证： ；
证明：
（1）因为ab>0，所以
又因为a>b，所以
即
因此
（2）已知a>b>0，0证明：因为0又因为a>b>0，所以
即
1. 已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2） ；（3）
成立的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
A
2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( )
A．a-d>b-c B． C．a+d>b+c D．ac>bd
C
3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 ( )
A．ab>ac B．(a-b)∣c-b∣>0
C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣a b∣>∣bc|
B
4.
求:
的取值范围.
已知:函数
解：因为f(x)=ax2－c,
所以
解之得
所以f(3)=9a－c=
因为
所以
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
还有其它解法吗
提示:整体构造
利用对应系数相等
本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断它们之间的联系
注意:
变式：已知－4≤a－b≤－1，
－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)
=(m+4n)a－(m+n)b，
令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，
所以9a－b= (a－b)+ (4a－b)
变式：（1）如果3018（2）若－3因为－4所以－16<(a－b)c2<0
变式：若 ，求
的取值范围。
不等式的性质 内 容
对称性
传递性
加法性质
乘法性质
指数运算性质
倒数性质
要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.
关于不等式性质的学习要注意
紧扣基本性质证明问题.(共25张PPT)
解线性规划应用问题的一般步骤：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）
1）理清题意，列出表格：
5)还原成实际问题
(准确作图，准确计算)
画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；
法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。
应用1－有关二元一次代数式取值范围
解：由①、②同向相加可得：
③
求2x+y的取值范围。
例1.若实数x,y满足
①
②
由②
将上式与①同向相加得
④
③+④得
以上解法正确吗？为什么？
首先：我们画出
表示的平面区域
当x=3,y=0时,得出2x+y的最小值为6,但此时x+y=3,点(3,0)不在不等式组的所表示的平面区域内,所以上述解答明显错了．
1
2
3
4
5
6
7
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
y
-2
-3
-4
A
D
C
B
但不等式
与不等式
所表示的平面区域却不同？
（扩大了许多！）
从图中我们可以看出
没错
解得
通过分析，我们知道上述解法中，
是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。
怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。
求2x+y的取值范围。
例1.若实数x,y满足
①
②
y
1
2
3
4
5
6
7
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-4
A
D
C
B
我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线．
要求z的范围，现在就转化为求这一组平行线中,与阴影区域有交点,且在y轴上的截距达到最大和最小的直线.
由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为过A(3,1)的直线，纵截距最大为过C(5,1)的直线。
所以
过A(3,1)时，因为z=2x+y，所以
同理，过B(5,1)时，因为z=2x+y，所以
y
1
2
3
4
5
6
7
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-4
A
D
C
B
解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形ABCD。
作直线
所以，
求得 A(3,1) B(4,0)
C(5,1) D(4,2)
可使
达到最小值，
将直线
平移，平移到过A点
的平行线
与
重合时，
达到最大值。
可使
当
平移过C点时，与
的平行线
重合时，
例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围
解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y)
=(m+n)x+(m-n)y
∴m+n=2，m-n=1
m=3/2 ，n=1/2
∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6，2≤x-y≤4
∴7≤2x+y≤11
例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大
甲产品
（1t） 乙产品
（1t） 资源限额
（t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t）
利润（元）
产品
消耗量
资源
列表：
5
10
4
600
4
4
9
1000
300
200
360
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
应用2－有关利润最高、效益最大等问题
例题分析
甲产品
（1t） 乙产品
（1t） 资源限额
（t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t）
利润（元）
产品
消耗量
资源
列表：
5
10
4
600
4
4
9
1000
300
200
360
把题中限制条件进行转化：
约束条件
10x+4y≤300
5x+4y≤200
4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
z=600x+1000y.
目标函数：
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
xt
yt
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z=600x+1000y. 元,那么
{
10x+4y≤300
5x+4y≤200
4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域
作出一组平行直线 600x+1000y=t，
解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
5x+4y=200
{
4x+9y=360
由
10x+4y=300
5x+4y=200
4x+9y=360
600x+1000y=0
M
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
(12.4,34.4)
经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.
90
30
0
x
y
10
20
10
75
40
50
40
此时z=600x+1000y取得最大值.
【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？
应用3－有关成本最低、运费最少等问题
得点M的坐标为
答：每天需要同时食用食物A约0.143 kg，
食物B约0.571 kg，能够满足日常饮食要求，
且花费最低16元.
幻灯片13
幻灯片14
解：设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元,
则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件
,整理为
作出约束条件所表示的可行域，
如右图所示
目标函数可变形为
如图，作直线
,当直线
平移经过可行域时，在
点M处达到
轴上截距
的最小值，即此时
有最小值.解方程组
，
返回幻灯片12
线性规划的应用练习：
1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。
解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)
=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1，m-2n=3
m=5/3 ，n=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b)
∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-11/3≤a+3 b≤1
解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-2≤2a+2 b≤2，
-3≤2 b-a≤-1
∴-1/3≤a≤5/3
-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3
已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。
解法2 约束条件为：
目标函数为：z=a+3b
由图形知：-11/3≤z≤1
即 -11/3≤a+3 b≤1
x
y
0
2x+y-600=0
300
600
x+2y-900=0
A(100,400)
2.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；
（1）怎样安排生产可以获利最大？
（2）若只生产书桌可以获利多少？
（3）若只生产书橱可以获利多少？
（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为
{
0.1x+0.2y≤90
2x+y≤600
x，y∈N*
Z=80x+120y
作出不等式表示的平面区域，
当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元
（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；
（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。
将直线z=80x+120y平移可知：
900
450
求解：
产品
资源 甲种棉纱（吨）x 乙种棉纱（吨）y 资源限额（吨）
一级子棉（吨） 2 1 300
二级子棉（吨） 1 2 250
利润（元） 600 900
3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则
Z=600x+900y
作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。
解方程组
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67
答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。
4、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
解：将已知数据列为下表：
消耗量
资源
甲产品（1 杯）
乙产品(1杯)
资源限额（g）
奶粉（g）
9
4
3600
咖啡(g)
4
5
2000
糖(g)
3
10
3000
利润（元）
0.7
1.2
产品
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域：
目标函数为：z =0.7x +1.2y
作直线l:0.7x+1.2y=0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，
直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，
此时z =0.7x +1.2y取最大值
解方程组
得点C的坐标为（200，240）
_
0
_
9
x
+
4
y
=
3600
_
C
(
200
,
240
)
_
4
x
+
5
y
=
2000
_
3
x
+
10
y
=
3000
_
7
x
+
12
y
=
0
_
400
_
400
_
300
_
500
_
1000
_
900
_
0
_
x
_
y
煤矿
车站 甲煤矿
（元/吨） 乙煤矿
（元/吨） 运量
（万吨）
东车站 1 0.8 280
西车站 1.5 1.6 360
产量（万吨） 200 300
例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少
应用3－有关成本最低、运费最少等问题
解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：
目标函数为:
z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)]
=780-0.5x-0.8y (万元)
答案：当 x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站0吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站20吨.总运费最少 556万元。
复习回顾：
二元一次不等式 表示平面区域
直线定界， 特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
应用
求解方法：画、移、求、答(共26张PPT)
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
y
x
4
8
4
3
o
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。
M
0
x
y
4
3
4
8
M（4，2）
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
0
x
y
4
3
4
8
N（2，3）
变式：求利润z=x+3y的最大值.
二、基本概念
y
x
4
8
4
3
o
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
可行域
可行解
最优解
P91练习题1：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
1.解：作出平面区域
x
y
A
B
C
o
z＝2x＋y
作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。
求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
x
y
o
A
B
C
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。
求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。
0
A
B
C
①
在____处有最大值___，
在____处有最小值___；
②
在____处有最大值___，
在____处有最小值___；
如图所示，已知
中的三顶点
点
在
请你探究并讨论以下问题：
内部及边界运动，
A 6
BC 1
B -3
C 1
转化
转化
转化
四个步骤：
1。画（画可行域）
三个转化
4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点）
2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。）
图解法
线性约束条件
可行域
线性目标函数
Z=Ax+By
一组平行线
最优解
寻找平行线组的
最大（小）纵截距
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
x
y
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：
把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为
－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
x
y
o
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。
故生产甲种、乙种肥料各
2车皮，能够产生最大利润，
最大利润为3万元。
M
容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmin＝3
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析：将已知数据列成表格
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为
x
y
o
5/7
5/7
6/7
3/7
3/7
6/7
它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。
M
如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。
M点是两条直线的交点，解方程组
得M点的坐标为：
所以zmin＝28x＋21y＝16
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。
300
1
2
一级子棉（吨）
900
600
利润（元）
250
2
1
二级子棉（吨）
资源限额（吨）
乙种棉纱（吨）y
甲种棉纱（吨）x
产品
资源
例2．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则
Z=600x+900y
作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。
解方程组
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67
答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。
280
0.8
1
东车站
300
200
产量（万吨）
360
1.6
1.5
西车站
运量
（万吨）
乙煤矿
（元/吨）
甲煤矿
（元/吨）
煤矿
车站
例3. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少
解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：
目标函数为:
z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)]
=780-0.5x-0.8y (万元)
答案：当 x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站0吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站20吨.总运费最少 556万元。
分析：目标函数变形为
把z看成参数，同样是一组平行线，且平行线与可行域有交点。
最小截距为过A(5,2)
的直线
注意：直线取最大截距时，等价于
取得最大值，则z取得最小值
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
y
1
2
3
4
5
6
7
O
-1
-1
1
2
3
4
5
6
x
3x+5y-25=0
x=1
B
A
C
x-4y+3=0
最大截距为过
的直线
3.若实数x,y满足 求z=x-2y的最大值、最小值
实际问题
列表
设出变量
寻找约束条件
建立目标函数
转化
建模
线性规划问题
图解法
最优解
三个转化
四个步骤
作答
调整
最优整数解
平移找解法
调整优值法
常用方法
目标函数
距离,斜率等(共23张PPT)
3.3.1
二元一次不等式（组）与平面区域
福清三中——唐洵
引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应
该如何分配资金呢？单位（万元）
情景导入
问题：如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x万元、y万元，你能用不等式刻画其中的不等关系吗？
预学案导学
1、二元一次不等式的定义：二元一次不等式是指含有 未知数，且未知数的最高次数是 的整式不等式。
3、二元一次不等式（组）的解集：是由满足二元一次不等式（组）的 构成的有序实数对（x,y）构成的集合。
两个
1
2、二元一次不等式组：由 组成的不等式组；
几个二元一次不等式
x和y的取值
5、一元一次不等式（组）的解集所表示的图形为 ，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x-y-6=0的解集所表示的图形是经过点（0， ）和（ ， 0）的一条 。
4、二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点构成的集合之间的关系？
数轴上的区间
-6
6
直线
二元一次不等式（组）的解集就是
平面直角坐标系内的点构成的集合
右下方区域
左上方区域
x-y-6=0
x
y
o
6
-6
平面内所有的点被直
线x-y-6=0分成哪几类？
探究1：
新知探究一
二元一次不等式的解集表示的图形
特殊：二元一次不等式 x-y-6 ＜0
的解集所表示的图形。
x-y-6=0
x
y
o
6
-6
请同学们任意写出五个点的坐标使得它满足不等式x-y<6.
________、_________、__________、__________、
________。试着把以上的点在右边的坐标系中描出来，
思考与交流下列问题
探究2：
（1）这些点与直线的位置关系如何？
（2）不等式x-y-6 ＜0在平面直角坐标系内表示的是什么图形？
（4）推广到一般，不等式Ax+By+C＞0表示的又是什么图形？不等式Ax+By+C≥0呢？
（3）不等式x-y-6 ＞0表示的呢？
验证
具体地，二元一次不等式2x-y+2>0
表示直线2x-y+2=0的哪一侧平面区
域呢？你是如何判断的？
新知探究二
二元一次不等式表示平面区域的判断方法
问题1：
表示区域
问题2：
类比推广：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C ＞ 0(≥ 0)表示的区域的判断方法呢？
探究：
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
x+4y―4=0
x
y
例题示范：
1
4
平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
课堂练习1:
(1)画出不等式4x―3y≤12
表示的平面区域
x
y
4x―3y-12=0
x
y
x=1
(2)画出不等式x≥1
表示的平面区域
注：若不等式不取＝，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
y < -3x+12
x<2y
的解集。
例2、用平面区域表示不等式组
0
x
y
3x+y-12=0
x-2y=0
例题示范：
点评：二元一次不等式组表示的平面区域
是每个二元一次不等式表示区域的公共部分
解：y < -3x+12表示直线y = -3x+12 下方的区域：x<2y 表示直线x=2y 上方的区域。取两区域重叠的部分，所以原不等式组表示的区域如图阴影部分所示
引例
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。如果在此基础上进行生产，设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则x，y所满足的数学关系式为
分别画出不等式组中，各不等式所表示的区域.
然后取交集，就是不等式组所表示的区域。
课堂练习2：画出下面不等式组所表示的平面区域
所以,不等式组表示的区域如上图所示.
O
x
y
x+y=0
x=3
x-y+5=0
解：依次画出三个不等式 x－y+5≥0, x+y≥0, x≤3所表示的平面区域
⑴ 二元一次不等式表示的平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。
课时小结：
⑶ 二元一次不等式组表示的平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
（4）思想方法
训练评估
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
3、不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
4、下面四个点中位于
表示的平面区域内的点是 ( )
A．（0，2） B.（-2，0） C. (0,-2) D. (2,0)
x+y-1<0
x-y+1>0
5、不等式组
表示的平面区域内的面积是
4x+3y+8>0
x<0
y<0
c
3
8
作业：
课本 P93 习题3.3 [A组] 第 1、2题。
不等式x-y<6表示直线x-y=6的左上方平面区域；
不等式x-y＞6表示直线x-y=6的右下方 平面区域；
直线叫做这两个区域的边界。
注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界
探究结果
y
x
o
6
-6
y
x
o
6
-6
返幻灯片 6回(共36张PPT)
实际生活中
长短
大小
轻重
高矮
横看成岭侧成峰
远近高低各不同
雷声大，雨点小
捡了芝麻，丢了西瓜
道高一尺，魔高一丈
三个臭皮匠，抵过一个诸葛亮
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
v≤40
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
D
6、设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？
d≤|AB|
A
B
d
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。
例1：某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡 30元 0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。
即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.
例2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
因此，销售总收入为：
用不等式表示为：
例3、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
x,y∈N
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与518mm分别x与y个
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？
分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：
3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 上的任意一点，写出d满足的不等式.
课堂评价1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数；
2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
4.在一个面积为350平方米的矩形地基
上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ
大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
a+b≥0
0d≤|AB|
5m
5m
5m
5m
课堂评价2
有一个两位数大于50而小于60,其个位数字
比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
2. 2008年春节前夕，我国南方大部分地区遭受特大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不等关系.
1.分析:设个位数字为 , 十位数字为 ,则
2.分析：该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式.
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：
（1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧；
（3）点A在点B的左侧.
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：
对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a如果a－b是正数，则a>b；如果a>b，则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零.
通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为 ，读作“p推出q”.
如果 都是正确的命题，记为
读作“p等价于q或q等价于p”.
上述结论可以写成：
例1．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
解:
作差法是比较大小的常用方法，其具体方法步骤是：作差----变形-----判断符号。
若b>a,结论又会怎样呢
例3
解:
例4、已知x>y且y≠0，比较x/y与1的大小。
解： ∵ -1 =
∵x>y,∴x-y>0
当y<0时， <0，即 -1<0
∴ <1
当y>0时， >0，即 -1>0 ∴ >1
1、要比较大小的两个代数式如果是多项式或分式、根式、对数式时，一般用作差比较法，其步骤是：作差、变形（分解因式、通分、配方等）、判断符号、作出结论。
2、当要比较大小的两个代数式是指数的形式时，一般用作商比较法，其步骤是：作商、变形、判断商是大于还是小于1、作出结论。
3、字母式子的大小比较，若是出在选择、填空题中，还可用特殊值法判定。
比较：
与
的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
=(x－1)(x2+1),
∵ x2+1>0，
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1；
当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3随堂训练3：
思考：当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.
解：(px+qy)2－(px2+qy2)
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.
因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，
因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)21.不等关系是现实世界和日常生活中客观
存在的广泛的数量关系，不等式是研究
不等关系的数学工具，用不等式或不等
式组表示实际问题中的不等关系时，思
维要严密、规范.
(1)x2+3与3x； (2) x6+1与x4+x2；
(3)
(4)(共15张PPT)
*
*
x
y
o
*
一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
y
x
Ax+By+C=0
o
*
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.
如果C≠0,可取(0,0);
如果C＝0,可取(1,0)或(0,1).
小诀窍
y
x
Ax+By+C=0
直线定界,特殊点定域
*
x
y
o
x
y
o
确定区域,只要观察y与kx+b的大小关系即可!
*
判断下列不等式表示的平面区域在对应直线的哪一方：
⑴ x－ｙ＋１＜0 ⑵２ｘ＋３ｙ－６＞０
⑶２ｘ＋５ｙ－10≥０ ⑷４ｘ－３ｙ≤１２
o
X
Y
1
-1
O
X
Y
3
2
O
X
Y
5
2
O
Y
X
3
-4
*
4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+c=0的两侧，能否确定c的取值范围？
*
[例1] 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，
每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：
钢型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求？
规格
*
[解]：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,
根据题意可得：
作出以上不等式组所表示的平面区域:
x
+
2
y
=
18
27
7
.
5
15
18
0
x
y
2
x
+
y
=
15
x
+
3
y
=
27
C
(
4
,
8
)
*
*
把上面四个不等式合在一起，得限制条件用数学关系式表示为
y
x
20
30
40
20
30
o
另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。
而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模
以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
限制条件图形表示为图中绿色阴影部分含边界。
*
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车
皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合
肥料的车皮数，于是满足条件的数学关系式是：
x
y
o
条件表示的平面区域为图中红色阴影部分含边界。
*
EX：
求不等式组表示的平面区域的面积
*
5
x=1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
A
B
C
C:
(1.00, 4.40)
A:
(5.00, 2.00)
B:
(1.00, 1.00)
1
5
O
x
y
问题1：x 有无最大(小)值？
问题2：y 有无最大(小)值？
问题3：z=2x+y 有无最大(小)值？
在平面区域内
思考:不等式组 表示的平面区域如下图.
*
小结和作业
⑴ 二元一次不等式表示平面区域
⑵ 二元一次不等式表示哪个平面
区域的判定方法
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域
知识点
数学思想
数形结合、化归、集合、分类讨论(共42张PPT)
习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
代数意义：
如果把 看做是两正数a、b
的等差中项, 看做是两正数a、b 的
等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两
个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
几何意义：
均值不等式的几何解释是:
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
a
b
二、公式的拓展
当且仅当a=b时“=”成立
（1）
三、公式的应用（一）—证明不等式
（2）
已知
求证
（以下各式中的字母都表示正数）
证明：
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0
证明:
原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0
设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)
∵ △ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b)
∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（2）
已知 是正数， （定值），
求 的最小值；
已知 是正数， （定值），
求 的最大值；
（1）
一正二定三相等
和定积最大
积定和最小
已知 ，求函数 的最大值；
（3）
已知 是正数，满足 ，
求 的最小值；
（4）
创造条件
注意取等号的条件
（3 ）已知：0＜x＜
，求函数y=x（1-3x）的最大值
利用二次函数求某一区间的最值
分析一、
原函数式可化为：
y=-3x2+x，
分析二、
挖掘隐含条件
即x=
时 ymax=
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜
则1-3x＞0；
∵0＜x＜
，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
3x（1-3x）≤
当且仅当 3x=1-3x
可用均值不等式法
配凑成和成定值
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
的最小值
即 的最小值为
过程中两次运用了
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
“=”号的条件是不同的，
故结果错。
错因：
解：
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
的最小值
正解：
当且仅当
即:
时取“=”号
即此时
“1”代换法
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的
条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”
成立的诸条件是否相容。
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
（5）错题辨析
正确解法一
“1”代换法
（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求
的最小值
正解：
当且仅当
即:
时取“=”号
即此时
“1”的代换
五：公式应用（三）—解决实际问题
例3. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A
P
B
H
b
a
例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学
生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
问 题 与 思 考
4。某种商品准备两次提价, 有三种方案:
第一次提价 m％, 第二次提价 n％ ;
第一次提价 n％, 第二次提价 m％ ;
两次均提价 ％.
试问哪种方案提价后的价格高
设原价为M元, 令a = m％, b = n％, 则
按三种方案提价后的价格分别为:
A. (1+a)·(1+b)·M =(1+a+b+ab)·M
C. (1+ )2 ·M =[1+a+b+ ]·M
只需比较 ab 与 的大小.
易知
B. (1+b)·(1+a)·M =(1+a+b+ab)·M
5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其
容积为 ,深为3m，如果池底每平方
米的造价为150元，池壁每平方米的造价为
120元，问怎样设计水池才能使造价最低，
最低造价是多少元？
问 题 与 思 考
实际问题
抽象概括
引入变量
数学模型
数学模型的解
实际问题的解
还原
说明
推 理
演 算
建立目标函数
均值不等式
2、解应用题思路
反思研究
1、设 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。
2、设 则 的最大值为_____。
３、设 满足 ，且 则
的最大值是（ ）
A、40 B、10 C、4 D、2
Ｄ
（１）各项或各因式为正
（２）和或积为定值
（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转
化为“和式”的放缩功能；
创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常
用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
１、应用均值不等式须注意以下三点：
3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到
等号的前提条件。
乘积
倒数
其他
平方
设
你能给出几个含有
字母a和b的不等式(共47张PPT)
复
习
引
入
重要
基本
1）对任意一个实数a有a2 0
2）若a、b∈R+，则由a2≥b2可得a b
3）(a-b)2 0
4）若a、b∈R+，则
≥
≥
≥
≥
当且仅当a=b时，“=”成立
基本不等式：
当且仅当a=b时，等号成立。
称为正数a、b的几何平均数.
称为正数a、b的算术平均数。
注意
1、两个不等式的适用范围不同;
2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件；
3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。
一正 、二定 、三相等
定理1.如果
，那么
（当且仅当
时取“=”）
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件：
定理2.如果
那么
是正数，
（当且仅当
时取“=”号）
注意：1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数。
注意:利用算术平均数和集合平均
数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不
到就不能取得最值.
1.要了解基本不等式的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)
(a，b∈R)；
(3) (ab＞0)；
(4) (a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求.
复习:
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则
其中当且仅当a＝b时取等号.
（1）（2）（3）
复习题：利用基本不等式判断代数式的大小关系
设a>0，b>0，给出下列不等式
其中恒成立的 。
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
=18/2=9
得 xy 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
例1（1）.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例1（2）.用一段长为36m的篱笆围成一个矩
形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
已知a,b都是正数，
（1）若ab是定值P, 则当a=b时,
a+b有最小值 ；
（2）若a+b是定值S, 则当a=b
时,ab有最大值 ；
利用基本不等式求最值
（均值不等式定理）
积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。
积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。
注意：一正二定三相等！
（当且仅当a=b时，取“=”号）
常见
变形
例1:(1)已知x>0, y>0, xy=16, 求x+y的最小值，
并说明此时x,y的值．
题型一：已知积为定值，求和的最小值
例2：已知2x+3y=2（x>0,y>0)求xy 的最大值。
题型二：已知和为定值，求积的最大值
解答过程
解答过程
例1、(1)已知x>0, y>0, xy=16, 求x+y的最小值，
并说明此时x,y的值．
一正
二定
三相等
可以应用均值不
等式的先决条件
存在最值
能够取到最
值的条件
返回例题
例2、已知2x+3y=2（x>0,y>0)求xy 的最大值。
一正
二定
三相等
返回例题
例3、已知 ,求函数 的最大值.
变式:已知 ,求函数 的最大值.
发现运算结构，应用不等式
应用要点：
一正数 二定值 三相等
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
变式、已知：0＜x＜
，求函数y=x（1-3x）的最大值
利用二次函数求某一区间的最值
分析一、
原函数式可化为：
y=-3x2+x，
分析二、
挖掘隐含条件
即x=
时 ymax=
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜
则1-3x＞0；
∵0＜x＜
，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
3x（1-3x）≤
当且仅当 3x=1-3x
可用均值不等式法
1、当x>0时， 的最小值为 ，此时x= 。
3、若实数 且 ，则
的最小值是（ ）
A、10 B、 C、 D、
D
2
1
2.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．
解答过程
2.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．
一正
二定
三相等
返回上页
1.设 >0， >0，若 是 与 的等比中项，则
得最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 1 D.
（2009年天津理6）
B
2
1
四、练习
2. 当 x>0 时， 的最小值为 ，此时x= 。
思考：当 x<0时表达式又有何最值呢？
3. x >-1, 当 x 取什么值时, 的值最小 最小值是
多少
1.已知x>0，y>0，
(1).若xy=36，则x+y的最小值是____，此时x=___，y=___；
(2).若x+y=18，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
(3).若x+2y=4，则xy的最大值是____，此时x=___，y=___；
2
2
1
12
6
6
81
9
9
二、练习
二、练习
1、本节课主要内容？
你会了吗？
五 、小结
2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。
3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？
4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？
四 、巩固
大
9
3
3
小
如果积xy是定值P，那么x+y≥2 ，
当x=y时，x+y=2 ,即x+y有最小值.
如果和x+y是定值S，那么xy≤ ，
当x=y时,xy= ，即xy有最大值.
（当且仅当a=b时，取“=”号）
简言之：(积定和最小)
简言之：(和定积最大)
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
推论:
关于“平均数”的概念：
1．如果
则：
叫做这n个正数的算术平均数。
叫做这n个正数的几何平均数。
2.基本不等式：
≥
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．
推广
例２:
解:
构造三个数相 加等于定值.
练习:
解:
构造三个数相 加等于定值.
例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
解:
设剪去的小正方形的边长为
则其容积为 :
练习:
解:
(错解:原因是取不到等号)
正解:
作业
课本P100习题3.4A组
第1,2题
再见!
例1：设 是正数，且 ，
求 的最大值.
例2：已知 是正实数，且 ， 求 的值域.
变式练习：
1、已知 求 的最值.
2、已知 时，求 的最小值.
3、已知 求 的最小值.
总结：
“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.
练习：
1、求 的最小值.（其中 ）
2、求 的最大值.（其中 ）
发现运算结构,应用不等式
例1．试判断 与 2 的大小 关系？
如果将条件“x>0” 去掉，上述结论是否仍然成立？
发现运算结构,应用不等式
变式1．试判断 与 2 的
大小关系？
在结论成立的基础上，条件“a>0,b>0”可以变化吗？
发现运算结构,应用不等式
变式2．试判断 与 1 的
大小关系？
变式3．试判断 与 7的
大小关系？(共18张PPT)
解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”
（2）计算△,解相应一元二次方程的根；
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不等式的解集.
（1）转化为不等式的“标准”形式；
判别式
△=b2- 4ac
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
x1
x2
x
y
O
y
x
O
Φ
Φ
R
没有实根
y
x
O
x1
∴ 不等式的解集为{x│ x <1或x>2}.
解:原不等式可变形为:
x1＝1， x2＝2
例1 解关于 的不等式
解:
∴(1)当 时，原不等式变形为:
∴(2)当 时，原不等式变形为:
例题讲解
∴当 时，原不等式解集为:
分析: 因为 且 ，所以我们只要讨论二次项系 数的正负.
∴当 时，原不等式解集为:
例2、 解关于 的不等式
例3 解关于 的不等式：
又不等式即为
解: 原不等式可化为：
相应方程 的两根为
∴(1)当 即 时，原不等式解集为
分析 :
此不等式
故只需比较两根 与 的大小.
(2)当 即 时，原不等式解集为
例题讲解
例题讲解
例4:解关于 的不等式:
原不等式解集为
解：
由于 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.
（１）当 即 时，
原不等式解集为
（２）当 时得
∴当 时,原不等式解集为
当 时,原不等式解集为
分析:
（３)当 即 时,
∴(a)当 时,原不等式即为
∴(b)当 时,原不等式即为
(3)当 时,不等式解集为
(4)当 时,不等式解集为
(2)当 时,不等式解集为
综上所述，
(1)当 时,不等式解集为
(5)当 时,不等式解集为
解不等式
解：∵
∴
原不等式解集为
；
原不等式解集为
；
,
此时两根分别为
，
显然
,
∴原不等式的解集为：
例5：
例6、不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。
解：由题目条件知：
(1) a ＜ 0，且△ ＜ 0.
因此a ＜ -1/3。
（2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0
不符合题意。
综上所述：a的取值范围是
解:
即 时，原不等式的解为：
（a）当
例7:解关于 的不等式：
（1)当 时，原不等式的解为：
（二）当 时,
（一）当 时, 原不等式即为
（2)当 时，有：
（b）当
（c）当
即 时，原不等式的解为：
即 时，原不等式的解为：
原不等式变形为：
其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定，故有：
综上所述，
(5)当 时，原不等式的解集为
(2)当 时，原不等式的解集为
(4)当 时，原不等式的解集为
(3)当 时，原不等式的解集为
综合训练
(1)当 时，原不等式的解集为
例8.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2求a，b的值。
练习.
(1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}，
则实数a=____,b=_____.
-1
-6
解:由题意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3,
∴
例9.不等式x2 -6kx+ k+8≥0对所有实数x∈R都成立，求k的取值范围.
解：依题意可知，对任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0
应恒成立，所以
k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0
解得
≤k≤1
解：依题意可知，对任意x∈R，不等式kx2-6kx+k+8≥0
应恒成立，所以
（1）若k=0，则可得8>0，满足题意
（2）若k≠0，则应满足
k>0
△=(-6k)2-4k(k+8)≤0
解得
k>0
-1≤k≤1
∴0综上所述，k∈[0，1]
二、例题分析
例3.不等式x2 -6kx+ k+8 ≥ 0对所有实数x∈R都成立，求k的取值范围.
一、按二次项系数是否含参数分类：
当二次项系数含参数时，按 项的系数 的符号
分类，即分 三种情况．
二、按判别式 的符号分类，即分
三种情况
三、按对应方程 的根 的大小
分类，即分 三种情况．
