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山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试
数学试题（二）
选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．或
2．函数，的最小正周期是（ ）
A．2π B．π
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
6．设，则f(f(2))的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
8．已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
9．设，那么（ ）
A．0
C．a>b>1 D．b>a>1
10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
11．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
12．已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
13．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件
C．对立事件 D．互斥且不对立事件
15．在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
16．某班有30位同学，他们依次编号为01，02，，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．08 B．21 C．09 D．29
17．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m>0，0C．m>0，n>1 D．m<0，n>1
18．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为（ ）
A． B．
C．16π D．8π
19．函数，，的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
20．若函数在区间内只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
21．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生__人．
22．已知扇形的弧长为，半径为1，扇形的面积为______.
23．已知圆柱的底面周长为，侧面展开图矩形的面积为，则它的体积为________．
24．若函数的图像恒在直线上方，则实数的取值范围是___________.
25．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为___________m.
三、解答题（本题共3小题，共25分）
26．（本小题满分8分）
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证：
（1）平面AB1D1//平面C1BD；（2）．
27．（本小题满分8分）
如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；（2）若，求的值．
28．（本小题满分9分）
已知函数．
（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当时，求的值．
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山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试
数学试题（二）
选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】
解：集合，或，
.
故选：C.
2．函数，的最小正周期是（ ）
A．2π B．π
C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为.
故选：B
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得，，解得且，故函数的定义域为.
故选：B.
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，为上的减函数，A错误；
对于B，在，上单调递减，B错误；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，C错误；
对于D，，则在上为增函数，D正确.
故选：D.
5．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】C
【详解】
袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
6．设，则f(f(2))的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
由题得，
所以f(f(2)).
故选：B
7．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
【答案】D
【详解】
由已知得
故选：D
8．已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
【答案】D
【详解】
因为为单位向量，所以，
.
故选：D
9．设，那么（ ）
A．0C．a>b>1 D．b>a>1
【答案】B
【详解】
由以及函数是减函数可知0故选：B.
10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【详解】
解：由函数，
则为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位即可.
故选：D.
11．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【答案】C
【详解】
由题意，初中部女教师人数为：110×70%=77（人），
高中部女教师人数为：150×40%=60（人），
总共有77+60=137人.
故选：C.
12．已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】A
【详解】
因为，，且，
所以即，解得
故选：A
13．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由题可知，
.
故选：A.
14．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件
C．对立事件 D．互斥且不对立事件
【答案】D
【详解】
黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，
但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，
事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．
故选：D．
15．在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以或，
故选：D.
16．某班有30位同学，他们依次编号为01，02，，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．08 B．21 C．09 D．29
【答案】D
【详解】
依次从数表中读出的有效编号为：16，08，21，09，21，09，29，去掉重复的，得到选出来的第5位同学的编号为29．
故选：D．
17．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m>0，0C．m>0，n>1 D．m<0，n>1
【答案】C
【详解】
解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1．
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0．
故选：C．
18．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为（ ）
A． B．
C．16π D．8π
【答案】A
【详解】
由题意可知，4πR2＝16π，所以R＝2，即球的半径R＝2．
设圆柱的底面圆半径为r，则，即，所以r＝，
∴V圆柱＝πr2·2r＝2π·2＝4π．
故选：A.
19．函数，，的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
由图所知，，即，又，所以；
故，又因为在函数上，
所以，解得，，，
又因为，所以.
故选：D.
20．若函数在区间内只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
时，化为，函数只有一个零点，不合题意，可排除选项A，B；
时，化为，不合题意，可排除选项D，
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
21．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生__人．
【答案】970
【详解】
因为样本容量为200，女生比男生少6人，所以样本中女生的人数为97，
因为分层抽样的抽取比例为，
所以总体中女生的人数为970人．
故答案为：970．
22．已知扇形的弧长为，半径为1，扇形的面积为______.
【答案】
【详解】
依题意可知，扇形面积为.
故答案为：
23．已知圆柱的底面周长为，侧面展开图矩形的面积为，则它的体积为________．
【答案】
【详解】
设圆柱底面半径为，高为，
则
所以，
所以．
故答案为：
24．若函数的图像恒在直线上方，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
函数的图像恒在直线上方，
则恒成立，
（1）时，符合题意，所以成立，
（2）时，则转化为恒成立，解得
综上所述，实数的取值范围是
25．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为___________m.
【答案】
【详解】
如图所示，设炮台顶部为，两条船分别为，炮台底部为，
则，
在直角与直角中，可得，，
则，
在中，由余弦定理得，
即，
所以.
故答案为：
三、解答题（本题共3小题，共25分）
26．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证：
（1）平面AB1D1//平面C1BD；
（2）．
【详解】
解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理
平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面AB1D1//平面C1BD；
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，为的中点，所以，又，所以.
27．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【详解】
解：（1）在中，，
整理得，
即，所以或．
（2）因为，由（1）得，
所以．
在中，由余弦定理得．
所以．
由，得．
在中，由正弦定理得，
即，
所以．
28．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的值．
【详解】
（1）若使函数有意义，需，解得或且，
故函数的定义域为
（2）
（3）因为，所以有意义，
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