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山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试
数学试题（一）
选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】
设，则，故，
所以，
故选：B.
2．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为向量，，
所以；
故选：B.
3．设命题：所有正方形都是平行四边形，则为（ ）．
A．有的正方形不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．所有正方形都不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
【答案】A
【详解】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题：所有正方形都是平行四边形，
所以为有的正方形不是平行四边形.
故选：A.
4．不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【详解】
由得：，解得.
故选：A
5．若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由和可得，，
所以.
故选：B.
6．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，为增函数，当时，且，
故A，B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
7．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 m
合计 1500
A．16 B．18 C．22 D．40
【答案】B
【详解】
由题意得高三学生人数为
，
因为在抽取的样本中，高二年级有20人，
所以样本容量满足，得
所以样本中高三年级的人数为，
故选：B
8．设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
，即：.
故选：D
9．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
A：时，不成立，错误；
B：由，两边同时减去，有，正确；
C：当时，由则，错误；
D：时，不成立，错误；
故选：B
10．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜3”是“a＜5”的必要条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【答案】D
【详解】
取a＝2，b＝3，c＝0，满足ac＝bc，但是不满足a＝b，选项A错误，
取a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，
由“a＜5”推不出“a＜3”，选项C错误，
“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，
故选：D．
11．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时 B．15海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
【答案】A
【详解】
由图可知，，
则，得，
所以该船的航行速度为（海里/小时）．
故选：A
12．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设向量的夹角为θ，则.
故选：A.
13．抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，样本总数由种，其中目标样本“向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6”的样本数为种，所以抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为.
故选：C
14．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．甲得分的中位数和极差都比乙大
B．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大
C．甲得分的中位数和极差都比乙小
D．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小
【答案】B
【详解】
甲得分依次为、、、、，
中位数是，极差为，
乙得分依次为、、、、，
中位数是，极差为，
则甲得分的中位数比乙小，极差比乙大，
故选：B.
15．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A为摸出的小球编号为奇数，事件B为摸出小球的编号为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
事件A与事件B是互斥事件，.
故选：B.
16．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
【答案】C
【详解】
所求的体积为，
故选：C.
17．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故选：A.
18．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，因此，该函数的最小正周期为.
故选：B.
19．在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（ ）
A．0.001 B．0.01 C．0.03 D．0.3
【答案】D
【详解】
由频率分布直方图可得第四小组的频率为.
故选：D.
20．已知12是函数的一个零点，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．+1
【答案】B
【详解】
由题意知：，可得，
∴，则.
∴.
故选：B
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
21．已知，则的最小值是___________．
【答案】5
【详解】
，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
22．若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【详解】
由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
23．函数，则______.
【答案】10
【详解】
因为，
所以.
故答案为：10
24．在中，，则的面积为______．
【答案】或
【详解】
在中，，
由正弦定理得，所以，
因为，则或，可得或，
又由，所以或.
故答案为：或.
25．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
【答案】
【详解】
、是方程的两根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共3小题，共25分）
26．已知函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及其单调递减区间；
（2）若要得到的图象，只需要函数的图象经过怎样的图象变换？
【详解】
（1）根据函数的图象：，解得，故，
由于，由于，故.
所以.
所以函数的最小正周期为；
令，
整理得，
故函数的单调递减区间为：，
（2）要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的即可.
27．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．
【详解】
（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，
又点D1为A1C1的中点，
所以OD1∥BC1，
又OD1 平面AB1D1，B1C 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
（2）V1＝＝＝＝V2
所以＝．
28．已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
【详解】
（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
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山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试
数学试题（一）
选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
2．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设命题：所有正方形都是平行四边形，则为（ ）．
A．有的正方形不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形
C．所有正方形都不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形
4．不等式解集为（ ）
A． B． C． D．或
5．若，则( )
A． B． C． D．
6．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 m
合计 1500
A．16 B．18 C．22 D．40
8．设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
9．若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜3”是“a＜5”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
11．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时 B．15海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
12．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
13．抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．甲得分的中位数和极差都比乙大
B．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大
C．甲得分的中位数和极差都比乙小
D．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小
15．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A为摸出的小球编号为奇数，事件B为摸出小球的编号为2，则（ ）
A． B． C． D．
16．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
17．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
18．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
19．在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（ ）
A．0.001 B．0.01
C．0.03 D．0.3
20．已知12是函数的一个零点，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．+1
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
21．已知，则的最小值是___________．
22．若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_________
23．函数，则______.
24．在中，，则的面积为______．
25．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
三、解答题（本题共3小题，共25分）
26．（本小题满分8分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及其单调递减区间；
（2）若要得到的图象，只需要函数的图象经过怎样的图象变换？
27．（本小题满分8分）
如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
（1）求证：平面；
（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．
28．（本小题满分9分）
已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
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