2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质 同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质 同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 679.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-26 09:04:26 | ||
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文档简介
3.1.2椭圆的简单几何性质基本达标训练题---2021--2022学年高二上学期
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
4．已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：的焦点在轴上，，是的短轴的两个端点，是的一个焦点，且，则（ ）
A． B．4 C．12 D．16
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为： D．离心率为
11．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
评卷人得分
三、填空题
13．若椭圆的焦点在轴上，离心率为，则__________．
14．直线交椭圆于两点，若，则的值为_________.
15．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为12，离心率为则该椭圆的标准方程是_______.
16．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
评卷人得分
四、解答题
17．设椭圆C：的左、右焦点为，过点的直线l：x-y-1=0交C于A，B两点，的周长等于8.
（1）求C的标准方程；
（2）求的面积.
18．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
19．已知椭圆的离心率，并且经过定点
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.
20．如图，已知椭圆左 右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
21．已知为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点.
（1）若为椭圆的上顶点，且，的面积等于，求椭圆的标准方程；
（2）若为等边三角形，求椭圆的离心率.
22．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，O到直线的距离为，为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方）求线段与的长度之比.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案与详细解析：
评卷人得分
一、单选题
1．椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
【答案】C
【解析】
因为焦距是，所以，
当焦点在轴时，
解得，，
当焦点在轴时，
解得，，
故选：C．
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得，
又，可得，
整理可得，
所以.
故选：D
3．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
4．已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
椭圆长轴为，离心率为，
所以，，
又，
所以椭圆方程为，
故选：D.
5．已知椭圆：的焦点在轴上，，是的短轴的两个端点，是的一个焦点，且，则（ ）
A． B．4 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
依题意，
由于，所以，
所以，
所以.
故选：B
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：直角坐标系中，椭圆，
所以，
当时，，
故，整理得，
故选：C.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】D
【解析】
设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，
所以直线的斜率为，
又，所以，
又，
所以，
故选：D
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知，椭圆的离心率，即，
又由面积为，可得，解得，
因为，联立可得，
所以所求椭圆的方程为.
故选：A.
评卷人得分
二、多选题
9．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】AB
【解析】：由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得；
故选：AB．
10．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为： D．离心率为
【答案】CD
【解析】
由椭圆方程化为标准方程可得，
所以 ，
所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率.
故选：CD
11．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】AB
【解析】
由已知可得，解得或（舍去）
，
∴长轴长为，短轴长为，离心率为，
故选：AB.
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
【答案】AC
【解析】
由半椭圆的方程和图象可知，，由半椭圆的方程和图象可知，，
因为，所以，，所以半椭圆的焦点在轴上，
所以是半椭圆的焦点，、是半椭圆的焦点；
依题意可知，，所以，
又为等边三角形，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
又，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
对于A，椭圆的离心率是，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，所以，故B不正确；
对于C，由可知，椭圆的焦点在轴上，故C正确；
对于D，椭圆的长短轴之比为，
椭圆的长短轴之比为，
因为，所以椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比，故D不正确.
故选：AC
评卷人得分
三、填空题
13．若椭圆的焦点在轴上，离心率为，则__________．
【答案】9
【解析】
由已知，，所以，
所以，解得.
故答案为：9
14．直线交椭圆于两点，若，则的值为_________.
【答案】12
【解析】
由得，
所以，
又，
所以，
因为，所以，故.
故答案为：12
15．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为12，离心率为则该椭圆的标准方程是_______.
【答案】
【解析】
由题意可知，解得
则该椭圆的标准方程为
故答案为：
16．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
如图,设又
,
由椭圆定义知, ,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
评卷人得分
四、解答题
17．设椭圆C：的左、右焦点为，过点的直线l：x-y-1=0交C于A，B两点，的周长等于8.
（1）求C的标准方程；
（2）求的面积.
【解析】
（1）由题意，令，则，所以，即，又因为的周长等于8，即，则，所以，故C的标准方程为；
（2）联立，消去得，设，结合韦达定理，则，
.
18．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】
（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，知b＝c，a＝c，
由焦距长为2，所以c＝1， a＝ ，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，即45°＜∠OPF2＜90°，
所以sin∠OPF2＝，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
19．已知椭圆的离心率，并且经过定点
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，
则，解得，
所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，
若，则，代入椭圆方程得，得；
若，则，代入椭圆方程得，得；
若，则，
又，解得，所以
综上，或满足题意.
20．如图，已知椭圆左 右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
【解析】
（1）因为，
所以，
所以，即，
解得.
（2）设直线的方程为，
点B到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，
所以，
所以，
即，，
又，
所以.
21．已知为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点.
（1）若为椭圆的上顶点，且，的面积等于，求椭圆的标准方程；
（2）若为等边三角形，求椭圆的离心率.
【解析】
（1）由题意可得，因为，所以，所以，所以，
所以，所以.
（2）法一：若为等边三角形，则的坐标为，
代入方程，可得，解得，所以.
法二：由为等边三角形，所以，所以，
由，，所以，
所以，所以
22．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，O到直线的距离为，为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方）求线段与的长度之比.
【解析】
（1）因为为等边三角形，即，
又到直线的距离，所以，则，
则椭圆的标准方程为；
（2）倾斜角为60°的直线经过椭圆的右焦点，
则直线的方程为，
联立，解得或，
因为点在点的上方，所以，，
所以.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
4．已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：的焦点在轴上，，是的短轴的两个端点，是的一个焦点，且，则（ ）
A． B．4 C．12 D．16
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为： D．离心率为
11．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
评卷人得分
三、填空题
13．若椭圆的焦点在轴上，离心率为，则__________．
14．直线交椭圆于两点，若，则的值为_________.
15．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为12，离心率为则该椭圆的标准方程是_______.
16．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
评卷人得分
四、解答题
17．设椭圆C：的左、右焦点为，过点的直线l：x-y-1=0交C于A，B两点，的周长等于8.
（1）求C的标准方程；
（2）求的面积.
18．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
19．已知椭圆的离心率，并且经过定点
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.
20．如图，已知椭圆左 右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
21．已知为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点.
（1）若为椭圆的上顶点，且，的面积等于，求椭圆的标准方程；
（2）若为等边三角形，求椭圆的离心率.
22．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，O到直线的距离为，为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方）求线段与的长度之比.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案与详细解析：
评卷人得分
一、单选题
1．椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
【答案】C
【解析】
因为焦距是，所以，
当焦点在轴时，
解得，，
当焦点在轴时，
解得，，
故选：C．
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得，
又，可得，
整理可得，
所以.
故选：D
3．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
4．已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
椭圆长轴为，离心率为，
所以，，
又，
所以椭圆方程为，
故选：D.
5．已知椭圆：的焦点在轴上，，是的短轴的两个端点，是的一个焦点，且，则（ ）
A． B．4 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
依题意，
由于，所以，
所以，
所以.
故选：B
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：直角坐标系中，椭圆，
所以，
当时，，
故，整理得，
故选：C.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】D
【解析】
设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，
所以直线的斜率为，
又，所以，
又，
所以，
故选：D
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知，椭圆的离心率，即，
又由面积为，可得，解得，
因为，联立可得，
所以所求椭圆的方程为.
故选：A.
评卷人得分
二、多选题
9．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】AB
【解析】：由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得；
故选：AB．
10．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为： D．离心率为
【答案】CD
【解析】
由椭圆方程化为标准方程可得，
所以 ，
所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率.
故选：CD
11．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】AB
【解析】
由已知可得，解得或（舍去）
，
∴长轴长为，短轴长为，离心率为，
故选：AB.
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
【答案】AC
【解析】
由半椭圆的方程和图象可知，，由半椭圆的方程和图象可知，，
因为，所以，，所以半椭圆的焦点在轴上，
所以是半椭圆的焦点，、是半椭圆的焦点；
依题意可知，，所以，
又为等边三角形，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
又，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
对于A，椭圆的离心率是，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，所以，故B不正确；
对于C，由可知，椭圆的焦点在轴上，故C正确；
对于D，椭圆的长短轴之比为，
椭圆的长短轴之比为，
因为，所以椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比，故D不正确.
故选：AC
评卷人得分
三、填空题
13．若椭圆的焦点在轴上，离心率为，则__________．
【答案】9
【解析】
由已知，，所以，
所以，解得.
故答案为：9
14．直线交椭圆于两点，若，则的值为_________.
【答案】12
【解析】
由得，
所以，
又，
所以，
因为，所以，故.
故答案为：12
15．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为12，离心率为则该椭圆的标准方程是_______.
【答案】
【解析】
由题意可知，解得
则该椭圆的标准方程为
故答案为：
16．已知，分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
如图,设又
,
由椭圆定义知, ,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
评卷人得分
四、解答题
17．设椭圆C：的左、右焦点为，过点的直线l：x-y-1=0交C于A，B两点，的周长等于8.
（1）求C的标准方程；
（2）求的面积.
【解析】
（1）由题意，令，则，所以，即，又因为的周长等于8，即，则，所以，故C的标准方程为；
（2）联立，消去得，设，结合韦达定理，则，
.
18．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】
（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，知b＝c，a＝c，
由焦距长为2，所以c＝1， a＝ ，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，即45°＜∠OPF2＜90°，
所以sin∠OPF2＝，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
19．已知椭圆的离心率，并且经过定点
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆的左、右焦点分别为，为上的一点，若三角形为直角三角形，求的值.
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，
则，解得，
所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，
若，则，代入椭圆方程得，得；
若，则，代入椭圆方程得，得；
若，则，
又，解得，所以
综上，或满足题意.
20．如图，已知椭圆左 右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
【解析】
（1）因为，
所以，
所以，即，
解得.
（2）设直线的方程为，
点B到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，
所以，
所以，
即，，
又，
所以.
21．已知为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点.
（1）若为椭圆的上顶点，且，的面积等于，求椭圆的标准方程；
（2）若为等边三角形，求椭圆的离心率.
【解析】
（1）由题意可得，因为，所以，所以，所以，
所以，所以.
（2）法一：若为等边三角形，则的坐标为，
代入方程，可得，解得，所以.
法二：由为等边三角形，所以，所以，
由，，所以，
所以，所以
22．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，O为坐标原点，O到直线的距离为，为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆C的右焦点，且与椭圆C交于M，N两点（M点在N点的上方）求线段与的长度之比.
【解析】
（1）因为为等边三角形，即，
又到直线的距离，所以，则，
则椭圆的标准方程为；
（2）倾斜角为60°的直线经过椭圆的右焦点，
则直线的方程为，
联立，解得或，
因为点在点的上方，所以，，
所以.