苏科版八年级数学上册 第一章 小结与思考（教案）

“线段最值问题”教学设计
一、设计背景
《线段最值问题》是学生在学习了八年级上册轴对称知识后设计的一节专题课，设计这节课的背景是线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题中有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多同学对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此想通过这节课来让学生对于“将军饮马”这个基本模型有更深的了解和认识。
二、教学目标
1.探究并掌握线段最值问题中将军饮马之各种基本图形.
2.培养学生动手操作，观察探究，自主学习思考的能力，体会转化的思想。
三、重点难点
本节课教学重点：探究“将军饮马问题”之几个基本图形的作法，依据.
本节课教学难点：解决“将军饮马”引申出的问题.
教学过程
（1）情境引入：
针对“将军饮马问题”作问题背景介绍，其中包括一个故事和一首诗词顺势引出课题。
问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题,军官每天从军营出发先到河边饮马,然后再去河的同侧帐篷休息,应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答,我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的,也就是说是沿最短路径行进的,但是当光从一点射出后不是直线射向另一点,而是经过平面镜反射到另一点的时候,光依旧会沿最短的路径进行.你说大自然多么奇妙,这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的,让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传.
诗词: 《古从军行》
唐.李欣
白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。
【设计意图】：通过问题背景介绍，一是为了让学生在课堂学习中不仅能学到数学知识，还能了解相关数学史和数学杂闻，对数学有更全面的了解也有利于数学学习，二是通过故事让学生对于将军饮马的基本图形与现实生活紧密联系起来，使得这个问题不那么抽象。
（2）出示目标：
学习目标
探究并掌握线段最值问题中将军饮马之各种基本图形.
【设计意图】：出示学习目标，让学生了解学习内容，利于学生在学习中明确方向，为达到目标而积极努力.同时出示的目标是从学生的角度出发主要以知识目标为主。
（3）自主探究，合作交流：
问题1：
在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
问题2：
(将军饮马)
在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.指出将军饮马基本图形，强调对称的方法，转化的思想
问题3：
在射线 上分别求点M、N,使△PMN 周长最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题4：
在直线 l1 、l2 上分别求点M、N，使四边形 PQMN的周长最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题5：
(选址造桥)
直线 m ∥ n ，在 m 、 n 上分别求点 M、N，使 MN⊥ m ，且 AM+MN+BN的值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题6：
在直线 l 上求两点M、N（M在左），使 MN a ，并使AM+MN+NB 的值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题7：
A 为 l1上一定点，B为 l2上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1 上 求 点 N ,使AM+MN+NB 的值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题8：
在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA+AB 值最小．
1.请学生到黑板画图
2.说明画图的依据是什么
3.板书小结知识点和方法
4.强调转化的思想
问题9：
(费马点)
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小．
1.引导学生了解费马点的概念，作法
2.布置学生课后百度了解费马点相关知识
【设计意图】：1.培养学生观察图形，抽象思维的能力.
2.培养学生动手操作，自主探索的能力
3.培养学生在解决问题中自我小结的能力
4. 培养学生合作交流的能力
5. 激发学生探究数学知识的兴趣
（4）小结反思：
你有哪些收获快和伙伴们分享下吧
请同学结合板书小结反思本节课所学内容.
【设计意图】
1.学而不思则罔，适时小结反思有利于学生及时巩固所学知识，同时在反思的过程中将知识进一步系统化.
2.结合板书进行反思，可以让学生对整节课知识有系统化的了解和掌握，同时针对学习中出现的问题也可以进一步思考和小结.
（5）课堂作业：
必做题：1.等腰△ABC中，CA=CB,M、N分别是两腰中点,在AB上找一点P,使得PM+PN最小。
2.直角坐标系中有正方形OABC,在OB上找一点P,使DP+AP最小。
选做题：
1.矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN值最小，求这个最小值。
2.已知定点A（1，2），B（3，4），在x轴找点P，使点P到A、B两点距离之和最短，求P点坐标。
【设计意图】
1.课堂作业当堂完成，有利于及时反馈学生对于所学知识的掌握情况，同时进一步巩固所学知识.
2.分层布置，体现因材施教，让不同层次的学生在作业中都有所收获，获得自信，提升能力.