3.1 椭圆 同步学案（含解析）

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椭 圆
知识点 椭圆的定义
椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点；
两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
例题1已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】B【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为线段的垂直平分线交于，可得，
所以，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆.
知识点 椭圆的方程
1、椭圆的标准方程
（1）焦点在 轴上：；
焦点：
图像：
（2）焦点在 轴上：；
焦点：
图像：
的关系：。
2、共焦点的椭圆系方程
（1）与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为：
（2）与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为：
3、相同离心率的椭圆系方程
（1）与椭圆 有相同离心率的椭圆方程为：
（2）与椭圆 有相同离心率的椭圆方程为：
例题2求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
【详解】把已知方程化成标准方程为，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；
离心率e＝；
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．
例题3若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
【答案】
【详解】因为的两个顶点，，所以，
因为三角形周长为，即，所以，
由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，
所以，，，
可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，
所以顶点的轨迹方程是：，
例题4如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由于椭圆的焦点在轴上，∴，解得或.
例题5已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D【详解】由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
例题6已知椭圆C的两个焦点为，，过的直线与椭圆C交于A、B两点，若，，则C的方程为________.
【答案】【详解】
如图所示：
设，∴．
因为，所以，，
而，解得，又，所以C的方程为．
例题7已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
举一反三：
【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
椭圆的长半轴为，半焦距长为；
经过点，且与椭圆有共同的焦点；
经过两点．
【答案】（1），或；（2）；（3）。
【详解】（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，所以短半轴，所以椭圆方程为，或；（2）∵椭圆化为标准方程，得，焦点为，∴设经过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆方程为，由题意，得，解得，∴所求椭圆方程为；（3）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
【变式2】如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
【答案】【详解】设，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以，即有，所以点P的轨迹是以为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，则，，，故动点P的轨迹方程为．
【变式3】已知曲线表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由题意可得，解得且，
所以m的取值范围为.
【变式4】以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．
【答案】【详解】
设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，
联立，解得，
∴椭圆的标准方程是．故答案为：.
【变式5】已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
∵，∴，令，，则，
∴，，∴，.故选A.
【变式6】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】依题意程表示焦点在轴上的椭圆列不等式，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D
【变式7】已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________．
【答案】20【详解】依题意椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.故答案为：
【变式8】已知椭圆：的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点，则的最小值为___________.
【答案】6【详解】
由椭圆的定义知：，所以，
因此，
而的最小值是当三点共线时，
因此，
又，因此，
所以，因此的最小值为，
【变式9】已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为________.
【答案】4【详解】
设椭圆的右焦点为，，点在椭圆内，点，且因为为椭圆上一动点，故，
，，
的周长为，
当且仅当位于射线与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.
故答案为：4
【变式10】椭圆的右焦点为，点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为________.
【答案】.【详解】椭圆，可得，可得焦点．
．当且仅当三点共线等号成立
【变式11】已知F为椭圆的左焦点，定点，点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为_______.
【答案】9【详解】
设椭圆的右焦点为,
.
知识点 椭圆的几何性质
标准方程
范围
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
半轴长 长半轴长为 ，短半轴长为 ，
离心率
知识点 椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用 表示。即：。
离心率的取值范围：；
离心率对椭圆形状的影响：
（1） 越接近1， 就越接近 ，从而 就越小，椭圆就越扁；
（2） 越接近0， 就越接近 0，从而 就越接近 ，椭圆就越圆。
与 的关系：
例题8已知椭圆=1（）的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆有一个交点，且轴，则此椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
在中，，，，
根据椭圆的定义得，，
又，即，
．
例题9已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
联立，得，，
直线与的交点为，线段的中点为，
设与的交点分别为，，，，则，，分别把，，，代入椭圆，得：，两式相减得：，，，．
例题10已知椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】即|FA|= 又
解得或（舍）又
例题11椭圆的左 右焦点分别为 ，是椭圆上的一点，，且，垂足为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
若，又四边形为平行四边形，，
∴，即，
∴，解得.
例题12设椭圆：的焦点为，，若椭圆上存在点，使是以为底边的等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】椭圆上存在点，使是以为底边的等腰三角形，
，由椭圆的定义可得，，
由组成三角形的条件可得,，解得，
又，.
举一反三：
【变式1】已知点P在椭圆上，点分别为点C的左 右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】如图，
由，得△为直角三角形，则，
又，，
由，可得，
则，即，
，又，解得．
【变式2】已知点是椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
由题意知，所以，则，不妨设，则，即，又因为点是椭圆的右焦点，所以，所以，因为，所以，即，又因为，则，即，则，所以，
【变式3】椭圆的左右焦点为，过作x轴的垂线与C交于两点，与y轴相交于点D，若，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
因为轴，所以为椭圆的通径，，轴，为中点，所以为中点，而，所以是等腰三角形，，
所以，，解得．
【变式4】已知椭圆的左 右焦点分别为 ，离心率为.若椭圆上存在点，使得，该离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
假设椭圆上存在点，使得，由椭圆的定义得：，
解得，因为，
所以，两边同除以a得，
解得 ，因为 ，所以，所以该离心率的取值范围是
【变式5】已知椭圆的左 右焦点分别是，P是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【变式6】已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由椭圆的定义知：，因为，即，
又因为，所以，所以有：，，
故椭圆的离心率的取值范围是．
【变式7】已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
取椭圆的左焦点，连接，，则根据对称性有，，故为平行四边形，，，
点到的距离，，
由，故.
知识点 椭圆的通径及有关最值
通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径
长度为：
最值
（1）椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点
（2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为 ，距离最小值为
（3）对于椭圆上的点P，随着点P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大，当点P在短轴端点处时，最大
（4）
（5）
例题12设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A【详解】
由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
例题13已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由椭圆的定义可得，∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
知识点 关于椭圆的几个重要结论
1、弦长公式
设直线与椭圆交于两点，则：
例题14斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由消去y得，则，.
∴
，∴当时，取得最大值，
举一反三：
【变式1】已知椭圆C：，斜率为1的直线与椭圆C交于两点，且，则直线的方程为 .
【答案】【解析】设直线方程为，联立可得
，所以直线方程为
【变式2】直线交椭圆于两点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由椭圆，则顶点为，
而直线也过，
所以为直线与椭圆的一个交点，设，
则=，
解得：，
所以或（不合，舍去），
把代入椭圆方程得：，故.
2、焦点三角形
P为椭圆上异于长轴端点的点，则称作焦点三角形
若，则的面积：
例题15若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
【答案】【详解】
依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，所以椭圆方程为.
举一反三：
【变式1】若P是椭圆上的一点，是两个焦点，若，则的面积是________.
【答案】16【解析】
ΔPF1F2的面积为
3、椭圆的切线
椭圆 上一点 处的切线方程为
4、点与椭圆的位置关系：对于椭圆 ，我们有：
（1）在椭圆内部
（2）在椭圆外部
（3）在椭圆上
例题16已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____.
【答案】【详解】因为点P(k，1)在椭圆=1外，
所以>1，解得k<或k>，故实数k取值范围为.
故答案为：
例题17直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围为______．
【答案】【详解】直线恒过定点,
焦点在x轴上的椭圆,可得,①
由直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,可得P在椭圆上或椭圆内,
即有,解得,②由①②可得．
举一反三：
【变式1】已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A．1 B．1或2 C．2 D．0
【答案】C详解：∵直线过定点且
∴点在椭圆的内部∴直线与椭圆有2个公共点
【变式2】若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（ ）.
A． B．且 C． D．且
【答案】B【详解】椭圆，则且，
而直线与椭圆有两个公共点，
则，化简可得，所以
，可得或，又因为且，可得且，
【变式3】直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】联立直线与椭圆方程得消去得
二次项系数因为直线：与椭圆：有公共点，
解得或即
5、椭圆中斜率乘积为定值的问题
（1）椭圆 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为
（2）设A、B是椭圆 上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为，则
例题18已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为__________．
【答案】【详解】设，有，且，得，
．
例题19已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于 两点，且中点为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.【详解】∵焦点坐标分别是和，
∴ 椭圆的焦点在x轴上，中心为原点，故可设椭圆方程为，且，
又椭圆的短轴长为 ∴ ，又，∴ ，
∴ 椭圆的标准方程为，
(2)设,∵ P，Q都在椭圆上，
∴ ，，相减可得，
又中点为， ∴ ，∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即.
举一反三：
【变式1】过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】
设，，则，
所以，
所以即.
【变式2】已知椭圆，点P是此椭圆上的一点且点P在第一象限，A，B分别是此椭圆的左右顶点，则直线PA与直线PB的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】椭圆中，故，设，则，即，所以直线PA斜率为，直线PB斜率为，
所以.
【变式3】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】D【详解】设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，所以直线的斜率为，
又，所以，又，所以，
【变式4】直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A【详解】，
设，，两式相减，
中点的横坐标为1则纵坐标为将代入直线，解得
【变式5】直线过点，与椭圆相交于A、B两点，若的中点为M，直线的方程___________.
【答案】【详解】设，
因为直线过点，与椭圆相交于A、B两点，所以，
两式相减得：，即，
显然直线的斜率存在，所以，
所以直线的方程是，即
【变式6】设为椭圆的左 右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为___________.
【答案】【详解】依题意，，右焦点，
如图，因线段的中点在y轴上，而O是线段，于是得PF2//y轴，即PF2⊥x轴，
由得，则有，于是有，，
所以的值为.
【变式7】已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程及AB弦长．
【答案】x＋2y－4＝0；AB=【详解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2，1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则
两式相减，得，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
即kAB＝
故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
由，得，
由根与系数的关系得，，
所以 ，
【变式8】设椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．
【答案】（1）；（2）中点坐标为，．
【详解】（1）将点代入椭圆的方程得，
所以．又由，得，
即，所以．所以椭圆的方程为．
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，联立方程
消去得，得，．设线段的中点坐标为，
则，，
即中点坐标为由弦长公式
【变式9】过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求此弦长．
【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）2.【详解】
（1）设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－，
直线方程为，即x＋2y－4＝0.
（2）由（1）将k＝－代入①得，x2－4x＝0，∴，
∴|AB|＝＝＝2．
例题20已知椭圆C：（）的离心率为，其中左焦点为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于不同的两点A、B，已知以线段为直径的圆经过原点O，求m的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，得,解得，∴椭圆的方程为；
（2）设点、的坐标分别为，，
由消得，
，（*），
，
，
因为以线段为直径的圆经过原点O，
所以，解得.
例题21在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点．
（1）求曲线的方程；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于，
所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆，
则，，，点的轨迹.
（2）设，，
联立，整理得，
则，，
因为，所以，
即，整理得，解得.
举一反三：
【变式1】已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.【详解】
（1）由题，∴，
将点代入椭圆：，得.故椭圆的方程为：.
（2）过右焦点，斜率的直线方程：，
联立，化简得，
设，，则，
所以，
所以.
【变式2】已知椭圆经过点，其左焦点的坐标为.过的直线交椭圆于A，B两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当线段AB的中点的横坐标为时，求直线AB的方程.
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由已知可得，所以①
把点代入椭圆方程可得：②
①②联立可得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由已知可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为：，
联立方程：，消去可得：，
设，，，，
则由韦达定理可得：，又由已知可得：，
解得，所以直线的方程为：，即．
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