湘教版九年级上册初中数学期中复习专题2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1．（2021·娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 （a为常数且 ）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ ；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴随着x的增大， 也会随之增大，
∴ 随着x的增大而减小，
此时 越来越小，则 越来越大，
故随着x的增大y也越来越大.
因此①正确，②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形，由于，可得随着x的增大 越来越小，则 越来越大，据此判断①②；由于，可得 ，即得 ，据此判断③④.
2．（2021·阜新）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点A以及点B横坐标的大小，判断得到纵坐标的大小即可。
3．（2021·宿迁）已知双曲线 过点(3， )、(1， )、(-2， )，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数k＜0可得图像在二、四象限，可得y2＜y1＜0，y3＞0，根据图像在各自象限y随x的增大而增大.
4．（2021·丹东）如图，点A在曲线到 上，点B在双曲线 上， 轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是6，则k的值（ ）
A．-6 B．-8 C．-10 D．-12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵ 轴
∴AB⊥y轴，
∴ ，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线 上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，根据同底等高可得，利用反比例函数系数k的几何意义可得，，由S△ABC=S△AOB=S△AOB+S△AOB=6可得，据此求出k值即可.
5．（2021·达州）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
6．（2021·广安）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大.
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2.
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的性质可知：当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据各点的横坐标判断各点所在的象限，再结合反比例函数的性质可求解.
7．（2021·金华）已知点 在反比例函数 的图象上.若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数 图象分布在第二、四象限，
当 时，
当 时，
故答案为：B.
【分析】利用k=-12＜0，可知反比例函数图象分支在第二、四象限，当x＜0时y＞0，当x＞0时y＜0；再利用已知条件可得答案.
8．（2021·大连）下列说法正确的是（ ）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；②点 在反比例函数 的图象上；③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，符合题意；
②把 代入反比例函数 得： ，
∴点 在反比例函数 的图象上，符合题意；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
∴说法正确的有①②；
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质对每个说法一一判断求解即可。
9．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
10．（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，不符合题意；
B、将点 代入 中，等式成立，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，不符合题意；
D、反比例函数图象分为两部分，不能一起研究增减性，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判定即可。
二、填空题
11．（2021·河池）在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则 的值是 .
【答案】0
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
一次函数 与反比例函数 的图象关于原点对称，
故答案为：0
【分析】正比例函数 （k≠0）与反比例函数 的图象都是关于原点对称，则可得出它们的两个交点一定关于原点对称，则可得出 ，即 .
12．（2021·滨州）若点 、 、 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 为常数）， ，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，
点 、 ， 、 都在反比例函数 为常数）的图象上， ，点 、 在第三象限，点 在第一象限，
，
故答案为： ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知：该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，再利用该性质求解即可。
13．（2021·齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数 图象上一点， 轴于点C且与反比例函数 的图象交于点B， ，连接OA，OB，若 的面积为6，则 ．
【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y= （x＜0）图象交于点B，
而 ＜0， ＜0，
∴S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即- =2，解得 =-4，
∵- =6+2，解得 =-16，
∴ + =-16-4=-20．
故答案为：-20．
【分析】先求出S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，再求出 =-4， =-16，最后求解即可。
14．（2021·青海）已知点 和点 在反比例函数 的图象上，则 与 的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，y1）和B（-4，y2）在反比例函数 的图象上，
∴-1y1=6，-4 y2=6，
∴y1=-6，y2= ，
∴y1故答案为 ．
【分析】先求出-1y1=6，-4 y2=6，再求出y1=-6，y2= ，最后求解即可。
15．（2021·北京）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
三、解答题
16．（2020九上·桐城期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．
【答案】解：连接 ， ．
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
17．（2017·宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围．
【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥OC于点D.
又∵AC=AO.
∴CD=DO.
∴S△ADO=S△ACO=6.
∴k=-12.
（2）解：由图像可知：χ＜-2或0＜χ＜2.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AD⊥OC于点D，根据等腰三角形的性质可以得出S△ADO=S△ACO=6；从而求出k的值.
（2）从图像可以得出答案.
18．（2017·株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
【答案】解：①∵点P（3，4），
∴在y= 中，当x=3时，y= ，即点A（3， ），
当y=4时，x= ，即点B（ ，4），
则S△PAB= PA PB= （4﹣ ）（3﹣ ），
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t，
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
∴wmax= ，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，Tmin= ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB= PA PB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
19．（2017·丽水）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(千米/小时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市？请说明理由：
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围.
【答案】（1）解：（1）根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象（如图所示），
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试.设v与t的函数表达式为v= ，
∵当v=75时，t=4，∴k=4×75=300.
∴v= .
将点（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐标代入v= 验证：
， ， ， ，
∴v与t的函数表达式为v= .
（2）解：∵10-7.5=2.5，
∴当t=2.5时，v= =120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场.
（3）解：由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤ .
答案：平均速度v的取值范围是75≤v≤ .
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，尝试运用构造反比例函数模型v= ，取一组整数值
代入求出k，再取几组值代入检验是否符合；（2）经过的时间t=10-7.5，代入v= ，求出v值，其值要不超过100，才成立；（3）根据反比例函数，k>0，且t>0，则v是随t的增大而减小的，故分别把t=3.5，t=4，求得v的最大值和最小值.
20．如图，点A（1，a）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）求k值．
【答案】解：（1）把点A（1，a）代入反比例函数y=（x＞0）得a=3，则A点坐标为（1，3），
（2）因为将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，
所以D点坐标为（3，3），
把D（3，3）代入y=得k=3×3=9．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点A（1，a）代入反比例函数y=可求出a，则可确定A点坐标；
（2）根据平移的性质得到D点坐标为（3，3），然后把D（3，3）代入y=即可求出k．
四、综合题
21．（2020九上·瑶海期末）如图，点A在反比例函数 的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点B，S△AOB=2．
（1）求该反比例函数的表达式，
（2）若P(x1，y1)、Q(x2，y2)是反比例函数 图象上的两点，且x1 x2，y1 y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．
【答案】（1）解：设点A的坐标为（x，y），
由图可知x、y均为正数，
即OB=x，AB=y，
∵△AOB的面积为2，
∴AB OB=4，即x y=4，
可得k=4，
∴该反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵反比例函数 位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x1>x2，y1 y2，
所以P、Q两点一定位于不同的象限，
因x1 x2，y1 y2，
所以点Q在第一象限，P在第三象限．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）两条反比例函数系数k的几何意义求得k的值，从而求得解析式；
（2）P在第三象限，利用反比例函数的性质即可得出结论。
22．（2020九上·四平期末）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F在AB上（点F不与点A，B重合），OA，OC分别在x轴，y轴上，过点F的反比例函数 （k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）点E的坐标为 ，点F的坐标为 （用含k的式子表示）．
（2）求k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）（ ，2）；（3， ）
（2）解：∵点E坐标为（ ，2），点F的坐标为（3， ），
∴CE= ，AF= ，
∴BE=BC-CE=3- ，
∴S△EFA= AF BE= × (3- )= = (k-3)2+ ．
∴当k=3时，S有最大值，S最大值= ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，OC=2，
∴AB=2，BC=2，
∵点E是反比例函数 （k＞0）的图象与BC边的交点，
∴点E的纵坐标为2，
将y=2代入 ，得 ，
解得x= ，
∴点E坐标为（ ，2），
∵点F在AB上，
∴点F的横坐标为3，
将x=3代入 ，得 ，
∴点F的坐标为（3， ）．
【分析】（1）由于点E是矩形OABC的边BC上的一点，可得点E的纵坐标，再把点E的纵坐标代入反比例函数关系式中即可得到点E的坐标，根据点F在AB上可得点F的横坐标，再把第F的横坐标代入反比例函数，关系式中即可得到点F的坐标；
（2）根据E、F的坐标得出AF、BE的长，利用S△EFA= AF BE可得出关于k的二次函数，将二次函数配方即可得解。
23．（2020九上·滕州期末）在矩形 中， ， ．分别以 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 是边 上一点，过点 的反比例函数 图象与 边交于点 ．
（1）请用k表示点E，F的坐标；
（2）若 的面积为 ，求反比例函数的解析式．
【答案】（1）证明：∵E，F是反比例函数 图像上的点，且 ， ，
∴点E坐标为 ，点F坐标为
（2）解：由题意知：
．
解得：
∵
∴反比例函数的解析式为
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）易得E的纵坐标为4，F点的横坐标为6，把他们分别代入反比例函数即可得到E和F的坐标；（2）利用列方程求得k的值。
24．（2020九上·大理期末）已知反比例函数 的图象经过点 ，点
（1）求k及m的值．
（2）点 ， 均在反比例函数 的图象上，若 ，比较 ， 的大小关系．
【答案】（1）解： 根据题意可得，1-k=2×（-4）=-8
∴k=9
∵点B（m，-6）在反比例函数的图象上
∴-6m=-8
∴m=
（2）解： ∵点M和点N均在反比例函数图象上
∴函数在每个象限内，y随x的增大而增大
当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0时，y1＜y2
当x1＜0＜x2时，y2＜y1
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式，根据反比例函数的解析式求出k，将点B代入函数求出答案即可；
（2）根据题意进行分类讨论，求出答案即可。
25．（2020九上·兰陵期末）已知点 ， 和 ， 在反比例函数 图象上．
（1）如果 ，那么 与 有怎样的大小关系？
（2）当 ， ，且 时，求 的值；
【答案】（1）解：分类讨论
①当 同号（ ）时， 即 或 ，
由反比例函数 的图象性质知， ；
②当 异号（ ）时， 即 ，
由反比例函数 的图象性质知，
（2）解： 点 ， 和 ， 是反比例函数 图象上的两点，
， ，
，
，
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）分类讨论，利用函数图象进行求解即可；
（2）先求出
，再计算求解即可。
26．（2021九上·咸阳月考）已知反比例函数 （k为常数，且k≠1）
（1）若点A（1,2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
【答案】（1）解：∵A（1,2）在y= 的图象上，
k-1=2, k=3
（2）解：∵在每一象限内，y随x 值的增大而减小，
k-1>0, k>1
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接将点A的坐标代入反比例函数解析式中就可求出k的值；
（2）由反比例函数图象的性质可得k-1>0，求解即可得到k的范围.
1 / 1湘教版九年级上册初中数学期中复习专题2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1．（2021·娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 （a为常数且 ）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ ；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2021·阜新）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宿迁）已知双曲线 过点(3， )、(1， )、(-2， )，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·丹东）如图，点A在曲线到 上，点B在双曲线 上， 轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是6，则k的值（ ）
A．-6 B．-8 C．-10 D．-12
5．（2021·达州）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广安）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·金华）已知点 在反比例函数 的图象上.若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·大连）下列说法正确的是（ ）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；②点 在反比例函数 的图象上；③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
10．（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小
二、填空题
11．（2021·河池）在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则 的值是 .
12．（2021·滨州）若点 、 、 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为 ．
13．（2021·齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数 图象上一点， 轴于点C且与反比例函数 的图象交于点B， ，连接OA，OB，若 的面积为6，则 ．
14．（2021·青海）已知点 和点 在反比例函数 的图象上，则 与 的大小关系是 ．
15．（2021·北京）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
三、解答题
16．（2020九上·桐城期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．
17．（2017·宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围．
18．（2017·株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
19．（2017·丽水）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(千米/小时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市？请说明理由：
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围.
20．如图，点A（1，a）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）求k值．
四、综合题
21．（2020九上·瑶海期末）如图，点A在反比例函数 的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点B，S△AOB=2．
（1）求该反比例函数的表达式，
（2）若P(x1，y1)、Q(x2，y2)是反比例函数 图象上的两点，且x1 x2，y1 y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．
22．（2020九上·四平期末）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F在AB上（点F不与点A，B重合），OA，OC分别在x轴，y轴上，过点F的反比例函数 （k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）点E的坐标为 ，点F的坐标为 （用含k的式子表示）．
（2）求k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
23．（2020九上·滕州期末）在矩形 中， ， ．分别以 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 是边 上一点，过点 的反比例函数 图象与 边交于点 ．
（1）请用k表示点E，F的坐标；
（2）若 的面积为 ，求反比例函数的解析式．
24．（2020九上·大理期末）已知反比例函数 的图象经过点 ，点
（1）求k及m的值．
（2）点 ， 均在反比例函数 的图象上，若 ，比较 ， 的大小关系．
25．（2020九上·兰陵期末）已知点 ， 和 ， 在反比例函数 图象上．
（1）如果 ，那么 与 有怎样的大小关系？
（2）当 ， ，且 时，求 的值；
26．（2021九上·咸阳月考）已知反比例函数 （k为常数，且k≠1）
（1）若点A（1,2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴随着x的增大， 也会随之增大，
∴ 随着x的增大而减小，
此时 越来越小，则 越来越大，
故随着x的增大y也越来越大.
因此①正确，②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形，由于，可得随着x的增大 越来越小，则 越来越大，据此判断①②；由于，可得 ，即得 ，据此判断③④.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点A以及点B横坐标的大小，判断得到纵坐标的大小即可。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数k＜0可得图像在二、四象限，可得y2＜y1＜0，y3＞0，根据图像在各自象限y随x的增大而增大.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵ 轴
∴AB⊥y轴，
∴ ，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线 上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，根据同底等高可得，利用反比例函数系数k的几何意义可得，，由S△ABC=S△AOB=S△AOB+S△AOB=6可得，据此求出k值即可.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大.
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2.
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的性质可知：当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据各点的横坐标判断各点所在的象限，再结合反比例函数的性质可求解.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数 图象分布在第二、四象限，
当 时，
当 时，
故答案为：B.
【分析】利用k=-12＜0，可知反比例函数图象分支在第二、四象限，当x＜0时y＞0，当x＞0时y＜0；再利用已知条件可得答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，符合题意；
②把 代入反比例函数 得： ，
∴点 在反比例函数 的图象上，符合题意；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
∴说法正确的有①②；
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质对每个说法一一判断求解即可。
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，不符合题意；
B、将点 代入 中，等式成立，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，不符合题意；
D、反比例函数图象分为两部分，不能一起研究增减性，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判定即可。
11．【答案】0
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
一次函数 与反比例函数 的图象关于原点对称，
故答案为：0
【分析】正比例函数 （k≠0）与反比例函数 的图象都是关于原点对称，则可得出它们的两个交点一定关于原点对称，则可得出 ，即 .
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 为常数）， ，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，
点 、 ， 、 都在反比例函数 为常数）的图象上， ，点 、 在第三象限，点 在第一象限，
，
故答案为： ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知：该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，再利用该性质求解即可。
13．【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y= （x＜0）图象交于点B，
而 ＜0， ＜0，
∴S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即- =2，解得 =-4，
∵- =6+2，解得 =-16，
∴ + =-16-4=-20．
故答案为：-20．
【分析】先求出S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，再求出 =-4， =-16，最后求解即可。
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，y1）和B（-4，y2）在反比例函数 的图象上，
∴-1y1=6，-4 y2=6，
∴y1=-6，y2= ，
∴y1故答案为 ．
【分析】先求出-1y1=6，-4 y2=6，再求出y1=-6，y2= ，最后求解即可。
15．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
16．【答案】解：连接 ， ．
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
17．【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥OC于点D.
又∵AC=AO.
∴CD=DO.
∴S△ADO=S△ACO=6.
∴k=-12.
（2）解：由图像可知：χ＜-2或0＜χ＜2.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AD⊥OC于点D，根据等腰三角形的性质可以得出S△ADO=S△ACO=6；从而求出k的值.
（2）从图像可以得出答案.
18．【答案】解：①∵点P（3，4），
∴在y= 中，当x=3时，y= ，即点A（3， ），
当y=4时，x= ，即点B（ ，4），
则S△PAB= PA PB= （4﹣ ）（3﹣ ），
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t，
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
∴wmax= ，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，Tmin= ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB= PA PB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
19．【答案】（1）解：（1）根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象（如图所示），
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试.设v与t的函数表达式为v= ，
∵当v=75时，t=4，∴k=4×75=300.
∴v= .
将点（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐标代入v= 验证：
， ， ， ，
∴v与t的函数表达式为v= .
（2）解：∵10-7.5=2.5，
∴当t=2.5时，v= =120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场.
（3）解：由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤ .
答案：平均速度v的取值范围是75≤v≤ .
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，尝试运用构造反比例函数模型v= ，取一组整数值
代入求出k，再取几组值代入检验是否符合；（2）经过的时间t=10-7.5，代入v= ，求出v值，其值要不超过100，才成立；（3）根据反比例函数，k>0，且t>0，则v是随t的增大而减小的，故分别把t=3.5，t=4，求得v的最大值和最小值.
20．【答案】解：（1）把点A（1，a）代入反比例函数y=（x＞0）得a=3，则A点坐标为（1，3），
（2）因为将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，
所以D点坐标为（3，3），
把D（3，3）代入y=得k=3×3=9．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点A（1，a）代入反比例函数y=可求出a，则可确定A点坐标；
（2）根据平移的性质得到D点坐标为（3，3），然后把D（3，3）代入y=即可求出k．
21．【答案】（1）解：设点A的坐标为（x，y），
由图可知x、y均为正数，
即OB=x，AB=y，
∵△AOB的面积为2，
∴AB OB=4，即x y=4，
可得k=4，
∴该反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵反比例函数 位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x1>x2，y1 y2，
所以P、Q两点一定位于不同的象限，
因x1 x2，y1 y2，
所以点Q在第一象限，P在第三象限．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）两条反比例函数系数k的几何意义求得k的值，从而求得解析式；
（2）P在第三象限，利用反比例函数的性质即可得出结论。
22．【答案】（1）（ ，2）；（3， ）
（2）解：∵点E坐标为（ ，2），点F的坐标为（3， ），
∴CE= ，AF= ，
∴BE=BC-CE=3- ，
∴S△EFA= AF BE= × (3- )= = (k-3)2+ ．
∴当k=3时，S有最大值，S最大值= ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，OC=2，
∴AB=2，BC=2，
∵点E是反比例函数 （k＞0）的图象与BC边的交点，
∴点E的纵坐标为2，
将y=2代入 ，得 ，
解得x= ，
∴点E坐标为（ ，2），
∵点F在AB上，
∴点F的横坐标为3，
将x=3代入 ，得 ，
∴点F的坐标为（3， ）．
【分析】（1）由于点E是矩形OABC的边BC上的一点，可得点E的纵坐标，再把点E的纵坐标代入反比例函数关系式中即可得到点E的坐标，根据点F在AB上可得点F的横坐标，再把第F的横坐标代入反比例函数，关系式中即可得到点F的坐标；
（2）根据E、F的坐标得出AF、BE的长，利用S△EFA= AF BE可得出关于k的二次函数，将二次函数配方即可得解。
23．【答案】（1）证明：∵E，F是反比例函数 图像上的点，且 ， ，
∴点E坐标为 ，点F坐标为
（2）解：由题意知：
．
解得：
∵
∴反比例函数的解析式为
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）易得E的纵坐标为4，F点的横坐标为6，把他们分别代入反比例函数即可得到E和F的坐标；（2）利用列方程求得k的值。
24．【答案】（1）解： 根据题意可得，1-k=2×（-4）=-8
∴k=9
∵点B（m，-6）在反比例函数的图象上
∴-6m=-8
∴m=
（2）解： ∵点M和点N均在反比例函数图象上
∴函数在每个象限内，y随x的增大而增大
当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0时，y1＜y2
当x1＜0＜x2时，y2＜y1
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式，根据反比例函数的解析式求出k，将点B代入函数求出答案即可；
（2）根据题意进行分类讨论，求出答案即可。
25．【答案】（1）解：分类讨论
①当 同号（ ）时， 即 或 ，
由反比例函数 的图象性质知， ；
②当 异号（ ）时， 即 ，
由反比例函数 的图象性质知，
（2）解： 点 ， 和 ， 是反比例函数 图象上的两点，
， ，
，
，
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）分类讨论，利用函数图象进行求解即可；
（2）先求出
，再计算求解即可。
26．【答案】（1）解：∵A（1,2）在y= 的图象上，
k-1=2, k=3
（2）解：∵在每一象限内，y随x 值的增大而减小，
k-1>0, k>1
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接将点A的坐标代入反比例函数解析式中就可求出k的值；
（2）由反比例函数图象的性质可得k-1>0，求解即可得到k的范围.
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