3.3幂函数（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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3.3幂函数
知识点　幂函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2.五个幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
图象
定义域 R R R
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
值域 R R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点 (1,1)
【思考】
通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
【提示】
第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)． (　　)
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限． (　　)
(3)当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数． (　　)
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为(　　)
A．y＝x＋2　　　　　　B．y＝x2 C．y＝ D．y＝x3
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.
3．在下列四个图形中， 的大致图象是 (　　)
【答案】D
【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
4．已知f(x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝________.
【解析】2
【解析】∵函数f(x)＝(m－1)x是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2.
5．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
【答案】
【解析】∵幂函数f(x)＝xα的图象过点，∴2α＝，∴α＝－.即f(x)＝x，∴f(4)＝4＝.
题型一　幂函数的概念
【探究发现】
幂函数的解析式有什么特征
【提示】（1）指数为常数
（2）底数是自变量，自变量的系数为1，
（3）幂的系数为1
（4）只有1项
【学透用活】
【例1】　(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；
③y＝4x2；④y＝x5＋1；
⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．
其中幂函数的个数为 (　　)
A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由幂函数的概念可知，只有是幂函数
(2) 若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
【答案】5或-1
【解析】(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
【方法技巧】
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　
【变式训练】
1．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 (　　)
A．0　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3
【解析】因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1 的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)为增函数，则m的值为 (　　 ) A．1或3 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.
又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.
题型二　幂函数的图象及应用
【学透用活】
(1)幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：
①当α＞1时，图象过点(1,1)，下凸递增，如y＝x3；
②当0＜α＜1时，图象过点(1,1)，上凸递增，如y＝x；
③当α＜0时，图象过点(1,1)，下凸递减，且向两坐标轴无限地逼近，如y＝x－1.
(2)幂函数在第一象限内指数的变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【例2】若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．
【解析】设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
【方法技巧】
解决幂函数图象问题的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
【变式训练】
1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　　)
【答案】B
【解析】y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 (　　)
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
【答案】B
【解析】令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在
第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所
以a＞b＞c＞d.故选B.
题型三　利用幂函数的单调性比较大小
【探究发现】
幂函数的单调性如何判断？
【提示】(1)幂函数y＝xa 的单调性主要通过a的正负判断，并且在第一象限内单调性的规律体现的比较明显．
(2)a＞0时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递增；a＜0 时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递减．
【学透用活】
【例3】比较下列各组数中两个数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3) 与.
【解析】(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又＞1，∴＞1＝1.
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1，∴＜1＝1，∴＞.
【方法技巧】
1.比较幂的大小的三种基本方法
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点
比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小.
【变式训练】
1． (多选)下列不等式在a＜b＜0的条件下能成立的是(　　)
A．a－1＞b－1 B．a＜b C．b2＜a2 D．a＞b
【答案】ABC
【解析】分别构造函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，
故A、C成立．而y＝x，y＝x为(－∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立．
2．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)1.1，0.9；
(2)3，.
【解析】(1)因为y＝x为(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.1＜0.9.
(2)因为3＝，函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且＜，所以＜，即3＜.
题型四　幂函数性质的综合应用
【学透用活】
已知函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【解析】(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图象过点(2，)，∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
【方法技巧】
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．　　
【变式训练】
已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
【解析】(1)函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为幂函数，
∴m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3.
当m＝2时，f(x)＝x－3，不是偶函数，舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4，为偶函数，满足题意．
∴f(x)＝x－4，∴f＝－4＝＝16.
(2)由f(2a＋1)＝f(a)，可得(2a＋1)－4＝a－4，
即解得a＝－1或a＝－.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求实数m的值；
(2)请画出f(x)的大致图象；
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
【解析】(1)由函数f(x)是幂函数，
则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以m＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2，
则f(x)的大致图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，
则由f(2a－1)＞f(a)，得|2a－1|＜|a|，
即(2a－1)2＜a2，可得(a－1)(3a－1)＜0，解得＜a＜1，又a≠，
∴a的取值范围为∪.
二、应用性——强调学以致用
2．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，
接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接
到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？
【解析】由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以
要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解
得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.即解密后得到的明文是9.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知幂函数y＝xα的图象经过点A(0,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(4,2)中的三点，写出满足条件的一个α值．
【解析】当α＝2时，y＝x2经过A，B，C三点．
当α＝时，y＝x经过A，B，D三点，答案不唯一．
1．如图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
A．①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x－1
B．①y＝x3；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝x；④y＝x－1
D．①y＝x3；②y＝x2；③y＝x；④y＝x－1
【答案】D
【解析】y＝x3是奇函数，且在R上递增，对应题图①；y＝x2是偶函数，对应题图②；y＝x的定义域为[0，＋∞)，对应题图③；y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对应题图④.故选D.
2．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若f(x)在其定义域上为增函数，则n等于(　　)
A．1或－　　　　　 B．1
C．－ D．－1或
【答案】C
【解析】依题意得2n2－n＝1，即2n2－n－1＝0，解得n＝1或n＝－.
当n＝1时，f(x)＝x2，在R上不是增函数，不符合题意，舍去；
当n＝－时，f(x)＝x＝，在定义域[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故选C.
3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
【答案】A
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
4．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】B
【解析】①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上是增函数；④f(x)＝x只满足在(－∞，0)上是增函数，②f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y|y>0}．故选B.
5．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
【答案】C
【解析】由已知得2a＝，解得a＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C.
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x 1
f(x) 1
则f(x)的单调递增区间是________．
【答案】 [0，＋∞)
【解析】因为f ＝，所以α＝，即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
7．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
【答案】-1
【解析】因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
8．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f＝________.
【答案】
【解析】设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝22α，f(2)＝2α.
∵＝＝2α＝4＝22，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f ＝2＝.
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小：
(1)3－和3.2－；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
【解析】(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－＞3.2－.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，
所以4.1＞3.8.
11．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
【答案】A
【解析】由条件知，M，N，∴＝m，＝n，∴mn＝n＝n＝，∴mn＝1.故选A.
12．(多选)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1【答案】AC
【解析】画出y＝x与y＝x的图象(如图)，设a＝b＝m，作直线y＝m.
从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若01，则113．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
【答案】③
【解析】设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
14．已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【解析】(1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝，
∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(2)由题意可得＝2＝2，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x.
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<，故实数a的取值范围为.
15．已知幂函数f(x)＝x (m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性．
【解析】由f(x)＝x (m－2)(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，∴m＜2.
∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(x)是偶函数，∴只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x.
于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
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