3.4函数的应用（一）（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.4函数的应用（一）
题型一　一次函数模型
【学透用活】
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：
(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；
(2)一次函数的图象是一条直线．
【例1】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
【解析】设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1< y2，故应选择第2个方案处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元．
因为y1> y2，故应选择第1个方案处理污水．
【方法技巧】
建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．　　
【变式训练】
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
【解析】(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2
100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．
题型二　二次函数模型
【学透用活】
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．
【例2】牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
【解析】(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－2＋，即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0所以0<＋0，所以0故k的取值范围为(0,2)．
【方法技巧】
解决二次函数模型应用题的4个步骤
【变式训练】
某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝x(x
＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．
(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式；
(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？
(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)
＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x[35－2(x－1)]
＝x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]
＝x(72－6x)＝x(12－x)．
∴g(x)＝x(12－x)(x∈N且x≤12)．
(2)g(x)＝(12－x)＝－(x2－12x＋36－36)＝－(x－6)2＋，∴当x＝6时，g(x)有最大值.
即第六个月需求量最大，为万件．
题型三　幂函数模型的应用
【学透用活】
能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
【例3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
【答案】125
【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝ xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
【方法技巧】
解决幂函数模型的4步骤
(1)认真阅读，理解题意；
(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式；
(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果；
(4)转化成具体问题，给出解答．　　
【变式训练】
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的
函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
【解析】(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，
∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s).
题型四　分段函数模型的应用
【探究发现】
什么是分段函数？分段函数的最值怎样求解？
【提示】分段函数是自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系的函数．求最值时应求出每个范围内的最值再比较取最大最小．　　　
【学透用活】
【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
【解析】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得 解得
故函数v(x)的表达式为：v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得：f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
【方法技巧】
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 　　
【变式训练】
某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000
元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人
的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元．已
知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机
构的利润为Q元．
(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．
(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．
【解析】 (1)由题知参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，
当1≤x≤30且x∈N时，y＝850，
当30＜x≤60且x∈N时，y＝850－10(x－30)＝1 150－10x，
所以y＝
(2)当1≤x≤30且x∈N时，Q＝850x－12 000，ymax＝850×30－12 000＝13 500(元)，
当30＜x≤60且x∈N时，Q＝－10x2＋1 150x－12 000，其对称轴为x＝＝57.5，
故当x＝57或58时，ymax＝21 060(元)，
所以当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润21 060元．
【课堂思维激活】
一、应用性——强调学以致用
1．氟利昂是一种重要的化工产品，它在空调制造业有着巨大的市场价值．已知它的市场需求量y1(吨)、市
场供应量y2(吨)与市场价格x(万元/吨)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.当y1＝y2时的市
场价格称为市场平衡价格．此时的需求量称为平衡需求量．
(1)求平衡价格和平衡需求量；
(2)科学研究表明，氟利昂是地球大气层产生臭氧空洞的罪魁祸首，《京都议定书》要求缔约国逐年减少其使
用量．某政府从宏观调控出发，决定对每吨征税3万元，求新的市场平衡价格和平衡需求量．
【解析】(1)由y1＝y2得－x＋70＝2x－20，
∴x＝30，此时y1＝y2＝40，平衡价格为30万元/吨，平衡需求量为40吨．
(2)设新的平衡价格为t万元/吨，
则y1＝－t＋70，y2＝2(t－3)－20＝2t－26，
由y1＝y2得－t＋70＝2t－26，
∴t＝32，此时y1＝y2＝38，
即新的平衡价格为32万元/吨，平衡需求量为38吨．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；
乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某
公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的
收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
【解析】(1)f(x)＝5x,15≤x≤40；g(x)＝
(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18g(x)．
②当30g(x)，∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；当181．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元　　　　　　　 B．840元
C．860元 D．880元
【答案】C
【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
2．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
【答案】D
【解析】设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知03．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
【答案】C
【解析】设该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.12＋0.1×＋32.因为x∈ [0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，利润最大，最大利润为43万元．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．130
【答案】C
【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.
5．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
【答案】A
【解析】由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝
由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m，解得x＝13.故选A.
6．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．
【答案】360
【解析】由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．
7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
8．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度 1 2 3 4
每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
【答案】20
【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝＝20时，y取最小值．
9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
【解析】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；
当x>96时，y110．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：
f(t)＝
(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
【解析】(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min.
(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，
所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中．
(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，
当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
又28.57－4＝24.57＞24，
所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.
11．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有(　　)
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
【答案】BC
【解析】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
12．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　)
A．5 m B．3.5 m
C．5.5 m D．7.5 m
【答案】D
【解析】根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.
13．(一题两空)某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t 每t收费标准/元
不超过2 t部分 m
超过2 t不超过4 t部分 3
超过4 t部分 n
已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为________元；
(2)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水________ t.
【答案】(1)7.5　(2)6.5
【解析】(1)由题设可得
y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为
y＝
当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.
故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(2)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5 t水．
14．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获得的利润．
【解析】(1)设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．
由题中函数图象过点D(1，－1.5)，C(2，－2)，A(5,2.5)，得解得
∴所求函数关系式为S＝0.5t2－2t(t≥0)．
(2)把S＝30代入，得30＝0.5t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．
(3)第八个月公司所获得的利润为
0．5×82－2×8－0.5×72＋2×7＝5.5(万元)，
∴第八个月公司所获得的利润为5.5万元．
15．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)分别满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
【解析】(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得 20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝∈[2，6]，则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282，
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)