3.2.1.1函数的单调性（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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3.2.1.1函数的单调性
知识点一　函数的单调性
1.增函数和减函数
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2)
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．区间D称为函数f(x)的单调递增区间 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
增函数 减函数
图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是_____的 函数f(x)在区间D上的图象是_____的
图示
2.单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【思考】
若函数f(x)是其定义域上的增函数且f(a)＞f(b)，则a，b满足什么关系，如果函数f(x)是减函数呢？
【提示】
若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)＞f(b)时，a＞b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)＞f(b)时，a＜b.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． (　　)
(2)因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增． (　　)
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)． (　　)
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）×
2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 (　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
【答案】C
【解析】由图可知，函数的单调递减区间为.
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是 (　　)
A．y＝－　　　　　　B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x
【答案】D
【解析】选项A、B、C中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项D满足条件．
4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
【答案】
5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为________，b的取值范围为________．
【答案】 R
题型一　判断（证明）函数的单调性
【学透用活】
用定义法判断函数的单调性的关键是变形，常用的变形技巧有：①因式分解：当原来的函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解；②通分：当原来的函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子、分母进行因式分解；③配方：当原来的函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；④分母有理化：当原来的函数是根式函数时，作差后往往考虑分母有理化．
【例1】已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
【解析】(1)由x2－1≠0得x≠±1，
故函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}．
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，理由如下：
x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x－1＞0，x－1＞0，x2＋x1＞0，x2－x1＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
【方法技巧】
利用定义证明函数单调性的4个步骤
【变式训练】
1．[函数单调性的判断]下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是 (　　)
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①②　　　　　　B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数
也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函
数．
2．[函数单调性的证明]证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上单调递增．
【解析】任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1于是<0，即f(x1)题型二　求函数的单调区间
【学透用活】
(1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
【例2】画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
【解析】y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是(－1,0 )和(1，＋∞)．
【深化探究】
(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，则函数f(x＋1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域？
【提示】由1≤x＋1≤2，得0≤x≤1，由此得函数f(x＋1)定义域是[0,1]．
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围．
(2)若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域？
【提示】[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的取值范围[2,3]．已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域．　　　
【方法技巧】
1．图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图象．
(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．　
2．常见函数的单调区间
(1)y＝ax＋b，a>0时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0时，单调递减区间为(－∞，＋∞)．
(2)y＝，a>0时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)y＝a(x－m)2＋n，a>0时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为(m，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．　　
【变式训练】
1．[由图象判断函数的单调区间]将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
【解析】函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；
单调递减区间为(－∞，－1)，(1,3)．
2．[定义法求函数的单调区间]求函数f(x)＝的单调递减区间．
【解析】函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设 x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
同理：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
题型三　函数单调性的应用
【探究发现】
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么关系？
【提示】 f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？
【提示】a的正负及－的大小．
【学透学活】
【例3】(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________．
(3)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)【解析】(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)函数f(x)的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调，则1＜－＜2，解得－4＜a＜－2.
(3)由题知解得0【方法技巧】
(1)区间D是函数f(x)的定义域的子集，x1，x2是区间D中的任意两个自变量，且x1＜x2，
①f(x)在区间D上单调递增，则x1＜x2 f(x1)＜f(x2)．
②f(x)在区间D上单调递减，则x1＜x2 f(x1)＞f(x2)．
（2）有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程如下：
【变式训练】
1．[函数值大小的比较]函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则 (　　)
A．a＞b＞0 B．a－b＞0 C．a＋b＞0 D．a＞0，b＞0
【答案】C
【解析】当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故选C.
2．[由函数的单调性求参数的取值范围]已知函数f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上单调递减，则a的取值
范围是 (　　 )
A. B． C．[2，＋∞) D．[0,4]
【答案】B
【解析】当a＝0时f(x)＝－x＋1满足条件，当a≠0时，由题可知a＞0且－＝≥2得0＜a≤，综上所述，a∈，故选B.
3．[利用单调性解不等式]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)【答案】(－2,0)
【解析】∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图．
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2,0)．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
【解析】(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.
任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，
所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1，
即0＜a≤1，所以a的取值范围为(0,1]．
二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面
的高度y随时间t变化的函数为y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是 (　　)
【答案】D
【解析】如图所示，腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB于点E，连接BD.
因为AB是⊙O的直径，C，D在圆上，所以∠ADB＝90°，所以△EDA∽△DBA，即AD2＝AE·AB，所以AE＝，所以CD＝AB－2AE＝2R－，所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y＝2R＋2x＋＝－＋2x＋4R. 因为四边形ABCD的各边长都为正数，所以AD＞0，CD＞0，即解得0＜x＜R，
所以所求函数的定义域为{x|0＜x＜R}．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．是否存在函数f(x)，其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存在，说明理由；如果存在，
举出实例．
【提示】存在，如：f(x)=c(c为常数)，在定义域R上既不是增函数，也不是减函数.（答案不唯
一.）
1．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1]　　 B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
【答案】C
【解析】分别作出f(x) 与g(x)的图象(图略)可得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
2．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上(　　)
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【解析】作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，
易知f(x)在[－3,0]上先减后增．
3．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
【答案】D
【解析】由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1A．(－3,0) B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】B
【解析】由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－15．若函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
即解得1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1,2]．故选C.
6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
【答案】 (－∞，1)
【解析】当x≥1时f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)【答案】
【解析】由题设得解得－1≤x<.
8．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】 (－∞，8]∪[40，＋∞)
【解析】由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．
9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
【解析】函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10，又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
【解析】f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)
11．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)【答案】A
【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.
12．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
【答案】D
【解析】依题意得实数a满足解得013．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
【答案】
【解析】由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，
又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，
即为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.　
14．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
【解析】在定义域内任取x1，x2，且使x1则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
∵a>b>0，x10.
只有当x1当x1∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．
15．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2.
【解析】(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，
所以f(x1)(2)因为f＝f(x)－f(y)，所以f(y)＋f＝f(x)．在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)，因为f(2)＝1，所以f(4)＝2.
于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数，所以解得－1≤x<3或3所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．
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