4.2.2指数函数图像和性质 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
4.2.2指数函数的图像和性质
人教A（2019）版
必修一
新知导入
1、指数函数的概念
一般地，形如的函数 ，叫做指数函数，
其中x是自变量,a是不等于1的正的常数．
(1)幂的形式；
2、指数函数y=ax的基本特征
(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；
(3)幂的指数是一个变量．
接下来，我们用研究幂函数的思路来探讨指数函数的性质
3、研究幂函数的性质方法：
从图像入手，研究函数的定义域、值域、单调性等性质。
温故知新
新知讲解
首先我们在同一坐标系中画出下列函数的图像
x -2 -1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2
1
2
4
4
2
1
1
9
9
3
1
3
列表
x
y
列表
新知讲解
一、指数函数的图像与性质：
（1）图象全在x轴上方，与x轴无限接近;
（2）无论a取什么值，图象过定点（0，1）
（3）a>1时，自左向右图象逐渐上升;
0（4）
观察这四个函数图像我们发现：
新知讲解
接下来，我们总结出指数函数的性质及图像特征
图 像
性 质
a>1
0（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0,1），即x=0时，y=1
（5）是R上的增函数
（5）是R上的减函数
（4）当x>0时，y>1
当x<0时，0（4）当x>0时，0当x<0时，y>1
1、与指数函数相关的定义域
二、指数函数性质的简单应用
求下列函数的定义域
(1)y=
(2)y=
(3)y=
解：(1)函数有意义当且仅当x2-x-6≠0，解得x≠-2且x≠3，
所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠-2且x≠3}.
(2)函数有意义当且仅当x2+2x-8≥0，解得x≤-4或x≥2，
所以函数的定义域为{x|x≤-4或x≥2}.
(3)函数有意义当且仅当2x-1-8≥0，即2x-1≥8，解得x≥4，
所以函数的定义域为[4，+∞).
合作探究
2、与指数函数相关的值域问题
（1）利用指数函数的单调性求值域：
例：y=2x，x∈(-1,4]
解：∵函数y=2x在R上单调递增，所以在x∈(-1,4]上单调递增，
∴ 2-1故函数y=2x，x∈(-1,4]的值域
合作探究
（2）形如y＝af(x)类型函数的值域
例：求函数
的值域
解：
所以t≤
而
是R上的减函数
所以
所以函数
合作探究
（3）利用换元构造二次函数求值域
提醒：在构造二次函数求最值时，注意t的范围
总结：对于y=f[g(x)]我们称为复合函数，由y=f(u)，u=g(x)复合而成
的函数，y=f(u)称为外函数，u=g(x)称为内函数，先求内函数的值域，再
利用外函数的图像和性质求值域．
合作探究
3、形如y＝af(x)类型函数的单调性
例：求函数
的单调区间。
提示：复合函数单调性判断法则：“同增异减”，即内外函数的单
调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数。
合作探究
4、比较大小
解：(1)考查指数函数y＝1.7x，
由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．
(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，
所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．
例1、利用单调性比较大小：
(1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；
合作探究
例2、利用中间值比较大小：
解：(1)由指数函数的性质得
1.70.3＞1.70＝1，
0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1．
(2)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的
或化为同指数的再作比较
合作探究
5、解与指数函数相关的不等式
例：求不等式 <2-2x的解集。
解：因为 <2-2x，
所以
因为y= 在R上单调递减，
所以x2-3>2x，解得x>3或x<-1，
所以不等式的解集是{x|x>3或x<-1}
合作探究
6、与指数函数图像相关的问题
例1.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1，2) B.(1，2) C.(-1，1) D.(0，2)
【解析】依题意，由x+1=0得，x=-1，
将x=-1代入f(x)=3-ax+1得，f(-1)=3-a0=2，
所以函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(-1，2).选A.
A
合作探究
例2、判断下列指数函数底数大小：
y= ，y= ，y= ，y= ，如图，
试判断底数大小。
方法指导：由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．
因此：上述函数底数的从小到大依次是：0合作探究




a4
a3
a2
a1
7、综合应用
例4 如图，某城市人口呈指数增长.（1）根据图象，估计该城市人口每
翻一番所需的时间 （倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
| | | | | | | |
10 20 30 40 50 60 70 80
| | | | | | | |
80 70 60 50 40 30 20 10
解：(1)观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年， 人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年， 该城市人口大约会增长到160万人
合作探究
课堂练习
1.解不等式：
解：（1）由2x≥4x+1得，2x≥22(x+1)
因为y=2x为增函数，所以x≥2(x+1)
解得：x≤-2
（2）当a>1时，y=ax是R上的增函数，所以3x-1≤2x-4
解得：x≤-3，所以当a>1时不等式的解集为：（-∞，-3]
当0解得：x≥-3,所以当02.求函数 的值域
解：令t=x2-2x-3=(x-1)2-4≥－4， 是R上的减函数，所以 ，所以函数 的值域是
课堂练习
3.求函数f(x)=3·4x－2x(x≥0)的最小值.
解：f(x)=3·(2x)2－2x
令t=2x因为0≤x，所以t=2x≥1,
所以f(x)=3·(2x)2－2x可化为y=3t2-t, t≥1,
由二次函数图像和性质得到，y的最小值为2，
所以f(x)的最小值是2
课堂练习
4．比较下列各题中两个值的大小．
解: (1)∵y＝0.3x为减函数，又x＜x＋1，∴0.3x＞0.3x＋1．
(2)化同底为： ，与 ，∵函数y＝2x为增函数，2＞ ．
∴22＞ ，即 ．
(1) 0.3x与0.3x+1
课堂练习
5.求函数
的单调递减区间。
解:令t ＝x2－2x＝(x－1)2－1，
则 单调递减，
利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)
函数 的减区间是[1，＋∞)；
所以由复合函数单调性的判断
课堂总结
指数函数的
图象和性质
指数函数的图象
指数函数的性质
定义域、值域
过定点
单调性
应用指导
利用单调性比较大小时，注意0、1的灵活运用
解决过定点问题的关键是令函数解析式中的指数为0
函数y=af(x)与f(x)的定义域相同
板书设计
指数函数图像
指数函数性质
简单应用
（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0,1），即x=0时，y=1
（4）a>1时，当x>0时，y>1
当x<0时，000时，0当x<0时，y>1
（5）a>1时，是R上的增函数
0作业布置
三.若 ，求实数a的取值范围。
一.填空题：
1.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),的图象经过点(1,2),则f(2)的值是 ,a= .
2.已知函数f(x)=a2x+b (a>0且a≠1,b∈R),的图象恒过点(1,1),则b= .
3.已知函数f(x)=(a－1)x ，在R上为增函数,则a的取值范围是 .
二.若函数 的定义域为(－∞,0],求a的取值范围.
四.课本P118练习1、2，P119综合运用6、7
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