2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1 双曲线及其标准方程同步练习（Word含答案解析）

3.2.1双曲线及标准方程
一、单选题
1．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线E：的左 右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是双曲线右支上一点，分别为左右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（ ）
A．m－s B．(m－s) C．m2－s2 D．－
9．是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．双曲线过，右焦点到渐近线的距离为2，的顶点，恰好是双曲线的两焦点，顶点在双曲线上，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
11．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为双曲线
B．若且，则为焦点在轴上的椭圆
C．若，，则不可能表示圆
D．若，，则为两条直线
12．已知曲线的方程为，给定下列两个命题：若，则曲线为双曲线；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则.其中是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
13．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
14．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D．过给定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
三、填空题
15．若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
16．在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于5，则点到另一个焦点的距离为______.
17．设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______
18．方程表示的曲线为函数的图象.对于函数，现有如下结论：①函数的值域是R；②在R上单调递减；③的图象不经过第三象限；④直线与曲线没有交点.其中正确的结论是___________.
四、解答题
19．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
20．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
21．已知双曲线：（，）的离心率，其焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
22．已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
2．D
【分析】
根据椭圆的焦点和双曲线的焦点性质进行求解即可.
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
3．C
【分析】
根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1故选：C
4．B
【分析】
根据双曲线的方程求出a，c，结合，判断点P在双曲线的左支或右支上，再利用双曲线的定义求解.
【详解】
因为双曲线方程为：，
所以，
则，
又，
所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，
解得，
故选：B
5．A
【分析】
利用双曲线的定义求出，进而得出，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
因为，所以，，
∴.
故选：A
6．B
【分析】
根据双曲线的定义和圆的切线长定理，把，转化为，即可求得答案.
【详解】
如图所示，双曲线的焦点坐标分别为，
设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，
由双曲线的定义可得,
又由圆的切线长定理知：，所以，即,
设内切圆的圆心的横坐标为，可得点的横坐标为，
所以，解得，
即内切圆的圆心的横坐标为.
故选：B.
7．C
【分析】
根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
由双曲线：可得
，，所以，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，
所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，
即的最小值为，
故选：C.
8．A
【分析】
利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．
【详解】
解：不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝＝m－s．
故选：A．
9．D
【分析】
先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求的最大值.
【详解】
则
故双曲线的两个焦点为,
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
则的最大值为
故选：D
10．C
【分析】
根据已知条件求得，结合正弦定理以及双曲线的定义求得正确结论.
【详解】
依题意，且双曲线焦点在轴上，
焦点坐标，渐近线方程，
焦点到渐近线的距离为，
所以.
由于，所以在双曲线的右支，
结合正弦定理和双曲线的定义得
.
故选：C
11．AB
【分析】
由，的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．
【详解】
若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确；
若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以B正确；
若，，当，时，是单位圆，所以C不正确；
若，，则为双曲线，所以D不正确．
故选：AB．
12．ACD
【分析】
先判断的真假，再由复合命题的真值表得结论．
【详解】
时，，，曲线是双曲线，是真命题；
若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，，命题是假命题．
因此四个选项中只有B选项是真命题，其他都是假命题．
故选：ACD．
13．AD
【分析】
就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】
一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
14．AC
【分析】
解方程组判断，根据双曲线定义极限状态判断，根据双曲线定义判断，求出动点轨迹方程，用反证法判断．
【详解】
解：对于，解方程组，得唯一解，所以曲线与直线有且只有一个公共点，所以对；
对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错；
对于，若方程表示焦点在轴上的双曲线，且，所以对；
对于，举反例，不妨设圆的方程为，定点，动点，则在圆上，
在，，点轨迹是圆，而不是椭圆，所以错．
故选：．
15．3
【分析】
根据双曲线方程即可得解.
【详解】
双曲线的一个焦点为，
所以且，
所以.
故答案为：3
16．
【分析】
根据双曲线的定义可得，根据定义 可以求解.
【详解】
由双曲线方程可知，，由双曲线定义得：或，由题得：到它的一个焦点的距离等于5，假设,则点到另一个焦点的距离（舍）或，则点到另一个焦点的距离为
故答案为：
17．
【分析】
题意可得，，，，由余弦定理可得，由，求得的面积即为所求．
【详解】
由题意可得双曲线，，，，
得，，，，
又，，
由余弦定理可得：
，
的面积，
故答案为：．
18．①②③④
【分析】
根据方程，分别讨论、、和四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案.
【详解】
当时，方程为，表示椭圆在第一象限的部分，
当时，方程为，表示双曲线在第四象限的部分，
当时，方程为，表示双曲线在第二象限的部分，
当时，方程为，无意义，
所以图象如下所示：
所以函数的值域是R；故①正确；
在R上单调递减，故②正确；
的图象不经过第三象限，故③正确；
直线为双曲线的渐近线，所以曲线没有交点，故④正确.
故答案为：①②③④
【点睛】
解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用焦点在x轴上的双曲线标准方程，将点(－5,2)代入即可求解.
（2）根据焦点位置，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
20．（1）；（2）1．
【分析】
（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】
（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．
21．（1）；（2）
【分析】
（1）首先表示出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，最后利用离心率与，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设直线，，，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，依题意，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：（1）双曲线：（，）的焦点，渐近线方程为，即，因为到渐近线的距离等于，所以，所以，又因为离心率，即，因为，所以，，所以双曲线方程为
（2）由已知可得，直线的斜率存在，设直线，，
，消去得，
所以即，又，所以，，所以以为直径的圆过坐标原点，所以，即，所以，解得，所以直线方程为
22．（1）；（2）24.
【分析】
（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示
【详解】
因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件