2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2椭圆的几何性质同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2椭圆的几何性质同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 745.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-26 09:43:38 | ||
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文档简介
3.2椭圆的几何性质
一、单选题
1．椭圆的焦距等于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
4．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
5．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．椭圆的离心率为，则的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
三、填空题
15．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为_________.
17．已知直线与椭圆交于，两点，若点的坐标为，则的取值范围是______．
18．已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.
四．简答题
19．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）离心率是，长轴长是6.
（2）过点和.
20．已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于两点，求.
21．已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点.
22．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.
参考答案
1．C
【分析】
分焦点在x轴和y轴，求出c，利用2c=1 即可求解.
【详解】
椭圆的焦点在x轴时，有.
由题意得：，解得：m=6.
椭圆的焦点在y轴时，有.
由题意得：，解得：m=4.
故选：C
2．B
【分析】
由题意分析出b=c，直接求出离心率.
【详解】
由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，
所以b=c.
则，
所以离心率.
故选：B
3．D
【分析】
将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值.
【详解】
将椭圆的方程化为标准形式为
，
显然，即，
，解得.
故选：D
4．D
【分析】
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】
解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
5．A
【分析】
判断出，利用求得离心率.
【详解】
由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，
在中，，，
所以.
故选：A
6．C
【分析】
分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
7．A
【分析】
根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
【详解】
直线与轴的交点为，即．又椭圆的离心率为，
∴，故，则，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
8．C
【分析】
设，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据是钝角可得，代入点的坐标可求得的不等式关系，求得的范围
【详解】
设，由题意可得,
因为是钝角，所以，
所以，
所以，
所以，得，
所以，
故选：C
9．B
【分析】
根据题意，得到，得到，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，
可得，所以，整理得，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选B．
10．D
【分析】
先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
【详解】
设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
11．BD
【分析】
讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论．
【详解】
①，，则，则，即，解得，
②，，则，则，即，解得，
故选：BD．
12．CD
【分析】
由椭圆定义，可得，，分类讨论，，，不共线时由不等关系得出离心率范围，，，共线时，求离心率，综合得离心率取值范围，判断各选项可得．
【详解】
由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
13．ABC
【分析】
根据题意，结合椭圆的图象性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
14．AD
【分析】
由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，因为，所以轴，
对于A：，当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故选项A正确；
对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故选项B不正确；
对于C：因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，故选项D正确；
故选：AD.
15．
【分析】
由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】
∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
16．.
【分析】
依题意可得且，再由即可得解.
【详解】
根据椭圆的定义，
根据的周长为8可得，
所以，
再由离心率为，即，
所以，可得，
所以椭圆方程为，
故答案为：.
17．
【分析】
设，，计算，然后由椭圆性质可得范围．
【详解】
由题可设，，
则．∵，
∴，∴．
故答案为：．
18．
【分析】
利用点差法，代入为线段的中点，可求得，进而得，即可求得离心率．
【详解】
设，，，在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
又为线段的中点，所以
，即，即，所以.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题考查求椭圆的离心率，用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：
①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．
19．（1）；；（2）
【分析】
（1）计算，然后根据焦点的位置可得椭圆的标准方程.
（2）假设椭圆的一般方程，代值计算，可得结果.
【详解】
（1）由题可知：
所以可知，又
所以
当焦点在轴上时，椭圆方程为
当焦点在轴上时，椭圆方程为
（2）设椭圆的方程为
由椭圆过点和
所以
所以椭圆的方程为：
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，第（2）问中，难点在于假设椭圆的一般方程，把握细节，审清题干，细心计算，属基础题.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）先由离心率得到，再根据短轴一个端点到右焦点的距离为，得到，结合，即可求出椭圆的方程；
（2）写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出．
【详解】
解：（1）由题意：，
即
短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为
即，
而，
所以，，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1），左焦点，直线的方程：，
设，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：
所以，
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率及椭圆过点可求出，得到椭圆标准方程；
（2）先检验直线斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系及化简可得m,即可求解.
【详解】
（1）由于，故，
所以.
又椭圆过点，故，
从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则.
又由得：
，
所以，
化简得，
解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
22．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由离心率、过点和椭圆关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）当直线斜率不存在时，表示出两点坐标，由两点连线斜率公式表示出，整理可得直线为；当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入中整理可得，由此可得直线所过定点；综合两种情况可得直线过定点.
【详解】
（1）椭圆过点，即，；
，又，，
椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，，解得：，
直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组得：，
设，则，（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得：，
代入直线方程得：，
即，联立方程组，解得：，，
直线恒过定点；
综上所述：直线恒过定点.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
一、单选题
1．椭圆的焦距等于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
4．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
5．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．椭圆的离心率为，则的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
三、填空题
15．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为_________.
17．已知直线与椭圆交于，两点，若点的坐标为，则的取值范围是______．
18．已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.
四．简答题
19．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）离心率是，长轴长是6.
（2）过点和.
20．已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于两点，求.
21．已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点.
22．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.
参考答案
1．C
【分析】
分焦点在x轴和y轴，求出c，利用2c=1 即可求解.
【详解】
椭圆的焦点在x轴时，有.
由题意得：，解得：m=6.
椭圆的焦点在y轴时，有.
由题意得：，解得：m=4.
故选：C
2．B
【分析】
由题意分析出b=c，直接求出离心率.
【详解】
由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，
所以b=c.
则，
所以离心率.
故选：B
3．D
【分析】
将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值.
【详解】
将椭圆的方程化为标准形式为
，
显然，即，
，解得.
故选：D
4．D
【分析】
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】
解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
5．A
【分析】
判断出，利用求得离心率.
【详解】
由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，
在中，，，
所以.
故选：A
6．C
【分析】
分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
7．A
【分析】
根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
【详解】
直线与轴的交点为，即．又椭圆的离心率为，
∴，故，则，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
8．C
【分析】
设，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据是钝角可得，代入点的坐标可求得的不等式关系，求得的范围
【详解】
设，由题意可得,
因为是钝角，所以，
所以，
所以，
所以，得，
所以，
故选：C
9．B
【分析】
根据题意，得到，得到，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，
可得，所以，整理得，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选B．
10．D
【分析】
先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
【详解】
设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
11．BD
【分析】
讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论．
【详解】
①，，则，则，即，解得，
②，，则，则，即，解得，
故选：BD．
12．CD
【分析】
由椭圆定义，可得，，分类讨论，，，不共线时由不等关系得出离心率范围，，，共线时，求离心率，综合得离心率取值范围，判断各选项可得．
【详解】
由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
13．ABC
【分析】
根据题意，结合椭圆的图象性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
14．AD
【分析】
由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，因为，所以轴，
对于A：，当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故选项A正确；
对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故选项B不正确；
对于C：因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，故选项D正确；
故选：AD.
15．
【分析】
由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】
∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
16．.
【分析】
依题意可得且，再由即可得解.
【详解】
根据椭圆的定义，
根据的周长为8可得，
所以，
再由离心率为，即，
所以，可得，
所以椭圆方程为，
故答案为：.
17．
【分析】
设，，计算，然后由椭圆性质可得范围．
【详解】
由题可设，，
则．∵，
∴，∴．
故答案为：．
18．
【分析】
利用点差法，代入为线段的中点，可求得，进而得，即可求得离心率．
【详解】
设，，，在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
又为线段的中点，所以
，即，即，所以.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题考查求椭圆的离心率，用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：
①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．
19．（1）；；（2）
【分析】
（1）计算，然后根据焦点的位置可得椭圆的标准方程.
（2）假设椭圆的一般方程，代值计算，可得结果.
【详解】
（1）由题可知：
所以可知，又
所以
当焦点在轴上时，椭圆方程为
当焦点在轴上时，椭圆方程为
（2）设椭圆的方程为
由椭圆过点和
所以
所以椭圆的方程为：
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，第（2）问中，难点在于假设椭圆的一般方程，把握细节，审清题干，细心计算，属基础题.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）先由离心率得到，再根据短轴一个端点到右焦点的距离为，得到，结合，即可求出椭圆的方程；
（2）写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出．
【详解】
解：（1）由题意：，
即
短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为
即，
而，
所以，，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1），左焦点，直线的方程：，
设，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：
所以，
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率及椭圆过点可求出，得到椭圆标准方程；
（2）先检验直线斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系及化简可得m,即可求解.
【详解】
（1）由于，故，
所以.
又椭圆过点，故，
从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则.
又由得：
，
所以，
化简得，
解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
22．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由离心率、过点和椭圆关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）当直线斜率不存在时，表示出两点坐标，由两点连线斜率公式表示出，整理可得直线为；当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入中整理可得，由此可得直线所过定点；综合两种情况可得直线过定点.
【详解】
（1）椭圆过点，即，；
，又，，
椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，，解得：，
直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组得：，
设，则，（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得：，
代入直线方程得：，
即，联立方程组，解得：，，
直线恒过定点；
综上所述：直线恒过定点.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.