2021—2022学年北师大版数学八年级上册4.2正比例函数和一次函数 同步练习(word解析版)

4.2正比例函数和一次函数
一、单选题
1．下列函数中是正比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．函数是正比例函数，则（ ）
A．2 B． C． D．0
3．，是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，
4．若y＝（k﹣2）|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0
5．无论m为什么实数时，直线总经过点（ ）．
A． B． C． D．
6．若点(m，n)在函数的图象上，则的值是( )
A．2 B．－2 C．6 D．－1
7．下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质的选项是（　　）
A．经过第一、三、四象限
B．y随x的增大而增大
C．函数图象必经过点（1，3）
D．与y轴交于点（0，﹣2）
8．直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4.8
9．若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是（ ）．
A． B． C． D．
10．某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
11．设点A(3，m)，B(﹣2，n)在同一正比例函数的图象上，则的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣6
12．在同一直角坐标系中，若直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+3平行，则（ ）
A．k＝﹣2，b≠3 B．k＝﹣2，b＝3 C．k≠﹣2，b≠3 D．k≠﹣2，b＝3
二、填空题
13．在y＝3x﹣a﹣2中，若y是x的正比例函数，则常数a＝_____．
14．已知是一次函数，那么k的值为_______．
15．已知点在直线上，则的值为__________．
16．对于正比例函数y=，若图像经过第一，三象限，则m=____．
17．如图是用程序计算函数值，若输入x的值为3，则输出的函数值y为_____．
三、解答题
18．已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
19．（1）已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知一根蜡烛长20厘米，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2厘米，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长y厘米，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知某种商品每件进价为100元，售出1件获利20%，若售出x件的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
20．已知点及在第一象限的动点，且，为坐标原点，设的面积为．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的取值范围；
（3）当时，求点坐标．
21．已知y与x－1成正比例，且x＝3时y＝4
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当y＝－6时，x的值为多少？
参考答案
1．A
【分析】
根据正比例函数的定义，符合形式，是正比例函数解答即可．
【详解】
A. ，比例系数是，是正比例函数，符合题意；
B. ，不是正比例函数，不符合题意；
C. ，不是正比例函数，不符合题意；
D. ，不是正比例函数，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】
正比例函数的一般式，，所以使，即可得解．
【详解】
解：根据题意得：；
解得：．
故选：B．
【点睛】
考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的一般式，．
3．D
【分析】
根据正比例函数的图象性质解题：正比例函数图象经过原点，当时，图象经过一、三象限，随增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随增大而减小．
【详解】
解：，，
图象经过二、四象限，随的增大而减小
当时，，
故选：D．
【点睛】
本题考查正比例函数的图象与性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．A
【分析】
依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．
【详解】
解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故选：A．
【点睛】
此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般．
5．C
【分析】
把解析式变形得到关于m的不定方程形式得到y＝（x+1）m -2，根据无论m为什么实数时，直线总过定点得出，x+1＝0，求出经过的点即可．
【详解】
解：∵y＝mx+m﹣2，
∴y＝（x+1）m -2，
∵无论m为什么实数时，直线总过定点，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1，代入解析式得，y＝﹣2，
∴直线y＝mx+m﹣2总经过点（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数过定点问题，解题关键是把解析式适当变形，根据所含参数系数为0求出点的坐标．
6．C
【分析】
将点（m，n）代入函数，得到m和n的关系式，整理可得2m-n的值．
【详解】
解：将点（m，n）代入函数得：
n=2m-6，
整理得：2m-n=6，
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则一次函数图象上的点的坐标符合函数解析式．
7．C
【分析】
A、由k=1＞0，b=-2＜0，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y=x-2经过第一、三、四象限，选项A不符合题意；B、由k=1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，选项B不符合题意；C、代入x=1求出y值，进而可得出函数图象必经过点（1，-1），选项C符合题意；D、代入x=0求出y值，进而可得出函数图象与y轴交于点（0，-2），选项D不符合题意．此题得解．
【详解】
解：A、∵k＝1＞0，b＝﹣2＜0，
∴直线y＝x﹣2经过第一、三、四象限，选项A不符合题意；
B、∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意；
C、∵当x＝1时，y＝x﹣2＝﹣1，
∴函数图象必经过点（1，﹣1），选项C符合题意；
D、∵当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
∴函数图象与y轴交于点（0，﹣2），选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
8．B
【详解】
解: 点（2，2）在直线y=-3x上, ∴a=-3,
又y=kx+b过点（2，2）, （1，-3）
∴，解得 ,
所以,直线为 y=5x-8,
令y=0 ,则5x-8=0 ,解得x= ,
所以,与x 轴的交点坐标为（），
∵直线y=-3x经过坐标原点,
两直线与x轴所围成的面积=×3=2.4.
故选B .
9．B
【分析】
设正比例函数为，根据题意求得，进而求得正比例函数解析式，再将代入解析式即可求得的值．
【详解】
设正比例函数为，
当时，，
,
解得,
,
当
即，
解得，
故选B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
10．B
【分析】
应付货款等于基本的100元，加上超出100再打折的部分，最后得到表达式．
【详解】
由题意得：
故选B
【点睛】
本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，把超出100元的部分打九折后再与100相加，想到这一点是本题解题关键．
11．C
【分析】
设函数的表达式为：y＝kx，当x＝﹣3时，m＝3k；当x＝﹣2时，n＝﹣2k，即可求解．
【详解】
设函数的表达式为：y＝kx，
把A(3，m)，B(﹣2，n)代入y＝kx，得，
故：＝﹣，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正比例函数的定义，将点代入解析式是解题关键．
12．A
【分析】
两直线平行k相等，b不等．
【详解】
∵直线y＝kx+b与y＝﹣2x+3平行，
∴k＝﹣2，b≠3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了两直线平行时k和b的关系，要注意此时平行不包含重合的情况，因此b≠0．
13．－2
【分析】
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得 ，解出即可．
【详解】
解：∵在y＝3x﹣a﹣2中， y是x的正比例函数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：－2．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1是解题的关键．
14．-3
【分析】
根据一次函数的定义可得k-3≠0，|k|-2=1，解答即可．
【详解】
解：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
所以|k|-2=1，
解得：k=±3，
因为k-3≠0，所以k≠3，
即k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
15．9
【分析】
由点A在直线y=-3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b=5，将其代入6a+2b-1=2（3a+b）-1中即可求出结论．
【详解】
解：∵点A（a，b）在直线y=-3x+5上，
∴b=-3a+5，
∴3a+b=5，
∴6a+2b-1=2（3a+b）-1=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
16．
【分析】
根据正比例函数自变量x的指数为1，且系数不为0即可求出m的值，再根据图像经过第一、三象限进而舍去不符合要求的m值即可．
【详解】
解：由题意可知：，解得：，
又图像经过第一、三象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，正比例函数要求自变量的指数为1，且自变量前面的系数不为0．
17．．
【分析】
当x=3时，应选择最后一种运算方法进行计算．
【详解】
当x＝3时，y＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查函数值，找出对应的函数关系式是解题的关键．
18．（1）时，是一次函数；（2）时，y的值为3.
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值；
（2）将y=3代入一次函数中，即可求出x的值．
【详解】
（1）由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数．
（2）由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【点睛】
此题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键．
19．（l）
（2）
（3）（，且x为整数）
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的周长为30列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可．
（2）根据剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以表示出剩下的长度y（厘米）与点燃时间x（分）之间的函数关系式，
（3）根据利润等于每件商品的利润乘以商品的件数列式整理即可．
【详解】
（1）∵2x+y=30，
∴y=30-2x，即x＜15，
∵两边之和大于第三边，即2x＞y，
∴2x＞（30-2x）.
∴x＞7.5，
综上可得；
（2）由题意，得y=20-0.2x．
∵，
∴20-0.2x≥0，
∴x≤100，
∴综上可得：．
（3）由题意得，每一件商品的利润为：，
所以，利润y=20x．
∴（，且x为整数）
【点睛】
本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.列一次函数关系式的步骤（1）寻找等量关系，可以直接将公式当作等量关系；（2）用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式；（3）将等式变形，写成函数的一般形式．注意，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义．本题表示出△ACD的面积，关键是要确定底和高．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据（1）中函数关系式及点在第一象限即可得出结论；
（3）把代入（1）中函数关系即可得出的值，进而得出的值．
【详解】
解：（1）过作轴于点则，
，点，
，，
，
；
（2）由（1）得，
解得：；
又点在第一象限，
，
综上可得的范围为：；
（3）当时，即，
解得，
把代入，解得，
点的坐标是．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】
（1）首先根据题意设出关系式：，再利用待定系数法将代入，可求得的值，再把的值代入所设的关系式中，即可得解；
（2）把代入（1）的结论中，即可求得答案．
【详解】
解：∵与成正比例
∴设与之间的函数关系式为
∵当时，
∴
∴
∴与之间的函数关系式为：．
（2）∵当时，有
∴
∴当时，的值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、利用解析式求自变量的值，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程来解决问题．