人教版 2021年八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步练习卷 （Word版 含解析）

人教版2021年八年级上册：13.3 等腰三角形 同步练习卷
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
2．有两条线段的长度分别是5cm和10cm，如果再选取一条线段与其构成等腰三角形，则选取的线段长为（　　）
A．5cm B．6cm C．10cm D．5cm或10cm
3．如图，△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上两点，且BD＝BE＝BC，连接DE．则∠BDE的度数为（　　）度．
A．45 B．52.5 C．67.5 D．75
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD＝4，则DC的长为（　　）
A．7 B．6 C．8 D．5
5．如图，AB∥CD，点E在AD上，且DC＝DE，∠C＝70°，则∠A的大小为（　　）
A．50° B．40° C．35° D．30°
6．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（　　）
A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
8．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，D为BC边上的中点，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F，则BM+DM的值为（　　）
A．2cm B．10cm C．6cm D．5cm
二．填空题
9．在△ABC中，∠B＝∠C，∠A+∠B＝115°，则∠B＝　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　 　cm．
11．等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 　 　．
12．如图，AC＝BC，∠B＝72°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是 　 　．
13．如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 　 　cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为 　 　．
三．解答题
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．
16．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
17．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于点D，点E是BC上一点，AE＝AB．求证：
（1）BD＝ED；
（2）CD＝AB+BD．
18．已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
2．解：∵有两条线段长度分别为：5cm，10cm，
∴设第三条边长为：a，
故10﹣5＜a＜10+5，
则5＜a＜15，
故如果再选取一条线段与其构成等腰三角形，则选取的线段长为10cm．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵BE＝BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝75°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．
故选：C．
4．解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD＝AD＝4，
设DF＝x，
∴BF＝4+x，
∵AF2＝AB2﹣BF2＝AD2﹣DF2，
即16﹣x2＝36﹣（4+x）2，
∴x＝0.5，
∴DF＝0.5，
∵AF⊥BC，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∴CD＝CF+DF＝BF+DF＝BD+2DF＝4+0.5×2＝5，
故选：D．
5．解：∵DC＝DE，∠C＝70°，
∴∠C＝∠DEC＝70°．
∴∠D＝180°﹣（∠C+∠DEC）＝180°﹣（70°+70°）＝40°．
又∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝40°．
故选：B．
6．解：设∠CAD＝x°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，
∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，
即∠ADB＝3∠EDA，
故选：C．
7．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故选：D．
8．解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，
解得：AD＝6（cm），
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+MD＝AM+DM＝AD＝6（cm），
故选：C．
二．填空题
9．解：∵△ABC中，∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+2∠B＝180°①，
∵∠A+∠B＝115°②，
∴①﹣②得：∠B＝65°，
故答案为：65°．
10．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝BC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
11．解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
12．解：由图可知，∵AC＝BC，∠B＝72°，
∴∠C＝36°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．
故答案为2．
13．解：∵AC＝BC＝8cm，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×8＝4（cm）．
故答案为：4．
14．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
当∠BAD＝90°时，
∠DAC＝110°﹣90°＝20°；
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAD＝55°．
故答案为：20°或55°．
三．解答题
15．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴E为AB的中点．
16．（1）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：DE＝2DF．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
17．证明：（1）∵AB＝AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴DE＝BD．
（2）在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE＝∠B，
又∵∠B＝2∠C，
∴2∠C＝∠C+∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，
∴CE＝AE＝AB，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD．
18．证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF．
19．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
20．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．