苏科版2021—2022学年数学八年级上册3.2 勾股定理的逆定理（共32张）

(共32张PPT)
数学（苏科版）
八年级 上册
第三章 勾股定理
3.2 勾股定理的逆定理
课前回顾
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a +b =c 。
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为： a +b =c
b
a
c
A
B
C
勾股定理的内容：
AC 3 2.5 1
BC 4 6 1
AB
练一练（已知Rt△ABC，求AB）：
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
重点
勾股定理逆定理的理解。
难点
勾股定理逆定理的证明。
　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学
生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮
湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干
了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就
是在这些建筑中发现这些泥板的．
背景介绍
泥板摹真图
泥板上的神秘符号
实际上是一些数组．
　　经过专家的潜心研究,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长,只要再添加一列数(如图左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．
　　那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？
画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）．
A．3，4，3； B．3，4，5；
C．3，4，6； D．5，12，13．
判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．
A． 　　 ； B．__________ ；　　
C． 　　 ； D．_________． 　　　
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
32＋32＞42
32＋42＝52
32＋42＜62
52＋122＝132
　　猜想：三角形的三边之间满足怎样数量
关系时，此三角形是直角三角形？
　 如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
　　∵a2＋b2＝c2 ，
　　∴△ABC为直角三角形．
A
C
B
探索与思考
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠C=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
b
a
c
A’
B’
C’
AC=A’C’,BC=B’C’, AB=A’B’
探索与证明
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
证明：
作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，C′B′=a，
则A′B′2 = A′C′2 + B′C′2 = b2 +a2
∵ a2+b2=c2 ∴ A′B′2 =c2 则A′B′=c
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C= ∠C ′=90°
∴ △ABC是直角三角形
b
a
c
A
B
C
b
a
c
A’
B’
C’
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a +b =c
∴△ABC是直角三角形
b
a
c
A
B
C
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
这个结论与勾股定理有什么关系？
　像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）
等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，
请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 　60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 　41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从前2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
利用勾股数可以构造直角三角形.
练一练
1、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
2. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的
是（　 ）．
A．3，4，5；　　　
B．10，6，8；
C．4，5，6；　　
D．12，13，5．
C
3．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直
角三角形的第三边的平方是（　　）
A．161；　　 B．289；　　
C．17；　　 D．161或289．
D
勾股数
勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。
练一练
下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9
【答案】C
【详解】解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；
B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；
C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；
D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
故选C．
小结
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边。
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
判断三角形是直角三角形的方法
用角判断：
1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a +b =c ）
进行判断.
练一练


练一练
一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______．

知识运用
例1　很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
例2　已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m， 若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
变式： 要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗 ？　
　设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且
a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是
直角三角形吗？
拓展延伸：
　　若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
思考：
课后回顾
理解勾股定理逆定理
01
课后回顾
理解勾股定理逆定理
02
理解勾股数的概念
03
谢谢~