26.3解直角三角形 同步达标训练2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《26.3解直角三角形》同步达标训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）
A． B．2 C．5 D．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为a，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
5．已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．如图，AC垂直于AB，P为线段AC上的动点，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，则AP的长约为（　　）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2 B．1.3m C．1.5m D．2.0m
8．如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
13．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
二．填空题
14．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为56°，若AC＝2，BD＝3，则平行四边形ABCD的面积是　 　．（结果用含56°的三角函数值表示）
16．在等腰△ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝，点P是直线BC上一点，且PC：PB＝1：3，则tan∠APB＝　 　．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为　 　．
三．解答题
18．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B＝45°，tan∠ACB＝2，AC＝，求：
（1）△ABC面积；
（2）CD的长；
（3）sin∠ACD的值．
19．（1）计算：4sin60°+tan45°﹣
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝，CD⊥AB于点D，求CD的长．
20．如图，已知AC＝8，∠A＝30°，∠C＝105°，求AB和BC的长．
21．一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，BC∥DA，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，AC＝9
（1）求∠ABF的度数；
（2）若取＝1.73，试求AF的长（计算结果保留两位小数）
22．阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝，求AD的长．
小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：AD的长为　 　．
参考小红思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，tanA＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，求BC和AD的长．
参考答案
1．解：如图，根据网格可知：∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，tan∠BAC＝＝．
故选：A．
2．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
3．解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，
∴AB＝BD＝15，
由勾股定理得AD＝＝＝12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，
∵E为AC中点，
∴ED＝EC＝AC＝，
∴sin∠EDC＝sinC＝＝．
故选：C．
4．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意可得，
∵S长方形EFGC＝2a×3a＝6a2，S△AEC＝＝＝，S△AFB＝＝＝a2，
S△CBG＝＝＝a2，
∴S△ABC＝S长方形EFGC﹣S△AEC﹣S△AFB﹣S△BGC＝6a2﹣﹣a2﹣a2＝，
在Rt△AEC中，
AC＝＝＝，
∵S△ABC＝＝＝，
解得BD＝a，
在Rt△AFB中，
AB＝＝＝，
在Rt△ABD中，
sin∠BAC＝＝＝．
故选：C．
5．解：过点B作BH⊥AC于H，过点B作BH⊥AC于H．
设HC＝x，HA＝y，HB＝h，
∴x2+h2＝a2，y2+h2＝c2，x+y＝b．
解得：x＝（5a﹣3c），y＝（5c﹣3a），h＝（3c﹣a）（3a﹣c）．
∵CE＝CB，
∴∠E＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠CBE+∠E，
∴∠E＝∠BCA，
∴tan∠BAC tan∠BCA＝tan∠D tan∠E＝＝＝＝．
故选：B．
6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
7．解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PF＝PD＝1.2（m），
∴CF＝PF＝1.2（m），
∴CP＝2PG＝2×PF cos50°≈2×1.2×0.64≈1.53，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.53≈1.3（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.3米．
故选：B．
8．解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．
∵P（2，4），
∴OH＝2，PH＝4，
∴OP＝＝＝2，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
9．解：如图，作CE⊥AB于E，
设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝，AB＝＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝＝3﹣＝，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝＝＝．
∴tan∠BAC的值是，
故选：C．
10．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．
11．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
12．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
13．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
14．解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT＝90°，
∠OTB+∠MBT＝90°，
∴∠ABM＝∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴＝，即＝，即MB2＝2AM BT①
令DN＝1，CT＝MD＝K，则：AM＝2﹣K，BM＝，BT＝2+K，
代入①中得：4+（2﹣K）2＝2（2﹣K）（2+K），
解方程得：K1＝0（舍去），K2＝．
∴AM＝2﹣＝．
tan∠ABM＝＝＝．
故答案是：．
15．解：作AH⊥BD于H，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE＝CE＝AC＝1，△ABD≌△CDB，
在Rt△AEH中，∵sin∠AEH＝，
∴AH＝AEsin56°＝sin56°，
∴S△ABD＝ BD AH＝ 3 sin56°，
∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABD＝3sin56°．
故答案为3sin56°．
16．解：如图1，过D作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵cos∠ABC＝，
∴设BD＝4x，AB＝5x，
∴AD＝3x，
∴BC＝8x，
∵PC：PB＝1：3，
∴PB＝6x，
∴PD＝2x，
∴tan∠APB＝＝；
如图2，∵PC：PB＝1：3，
∴PB＝12x，
∴PD＝8x，
∴tan∠APB＝＝；
综上所述：tan∠APB＝或．
故答案为：或．
17．解：∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴设BD＝3x，CD＝2x，
过AE⊥CD于E，
∵AD＝AC，
∴DE＝CE＝x，
∴BE＝4x，
∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
∴32﹣（4x）2＝22﹣x2，
∴x＝，
∴BE＝，
∴cos∠ABC＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．解：（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB＝2，AC＝，
∴＝2，
设CH＝x，AH＝2x，
根据勾股定理得AC＝x＝，
∴x＝1，
∴CH＝1，AH＝2，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
∴BH＝AH＝2，
∴BC＝BH+CH＝2+1＝3，
∴S△ABC＝×3×2＝3；
（2）作DF⊥BC于F，
∴DF∥AH，
∵BD＝AD，
∴DF＝AH＝1，
∴BF＝1，
∴CF＝3﹣1＝2，
∴CD＝＝＝；
（3）作DE⊥AC于E，
∵S△ACD＝ AC DE＝，
∴× DE＝，
∴DE＝，
∴sin∠ACD＝＝＝．
19．解：（1）4sin60°+tan45°﹣＝4×+1﹣2＝2+1﹣2＝1；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝，
∴BC＝AB cosB＝10×＝8，
∴AC＝＝6，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝4.8．
20．解：过点C作CD⊥AB于D，
∵∠B＝30°，AC＝8，
∴CD＝AC＝4，
∵∠C＝105°，
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∠BCD＝45°，
由勾股定理得，AD＝＝＝4，
∵∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+4，
BC＝＝＝4．
21．解：（1）∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠E＝60°，∠ABC＝∠C＝45°，
∵BC∥DA，
∴∠CBF＝∠DFE＝60°，
∴∠ABF＝∠CBF﹣∠ABC＝15°；
（2）过点B作BM⊥FD于点M，
∵在△ACB中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，AC＝9，
∴AB＝AC＝9，
∵BC∥DA，
∴∠BAM＝∠ABC＝45°，
∴AM＝BM＝AB＝9．
∵在△BFM中，∠BMF＝90°，∠BFM＝60°，
∴FM＝＝3，
∴AF＝AM﹣FM＝9﹣3≈3.81．
22．解：（1）延长AB与DC相交于点E，
在△ADE中，∵∠A＝90°，∠D＝60°，
∴∠E＝30°．
在Rt△BEC中，∵∠BCE＝90°，∠E＝30°，BC＝，
∴BE＝2BC＝2，
∴AE＝AB+BE＝4+2＝6．
在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，∠E＝30°，AE＝6，
∴AD＝AE tan∠E＝6×＝6．
故答案为6；
（2）如图，延长AB与DC相交于点E．
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°．
设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝9+x，DE＝3+x．
在Rt△ADE中，∠E＝90°，
∵tanA＝，
∴＝，即＝，
∴x＝3．
经检验x＝3是所列方程的解，且符合题意，
∴BC＝3，AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝＝6．