26.3解直角三角形 同步达标测评 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《26.3解直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．1
4．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于（　　）
A．1 B． C． D．
6．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　）
A． B．+1 C． D．+1
7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）
A． B．2 C．5 D．
8．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则tan∠AEP＝　 　．
12．在△ABC中，AD是△ABC的高线，若tan∠CAD＝，AB＝5，AD＝3，则BC长为 　 　．
13．在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 　 　．
14．在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　 　．
15．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，△ABC的面积为12，则∠A＝　 　．
16．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为 　 　．
17．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．如图所示，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝56°，∠ACB＝44°，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线，你能求出∠DAE的度数吗？请试一试！
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
22．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连接AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为　 　．
【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AC＝＝3．
故选：A．
2．解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC BD＝×3 BD＝×1×3，
∴BD＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
故选：B．
3．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，
在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝6，解得x＝，
∴AD＝×＝2．
故选：A．
4．解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
5．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，AC＝，
∴CD＝AC＝．
在Rt△BCD中，
∵sin45°＝＝，
∴BC＝1．
∴故选：A．
6．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD+CD＝BC，
∴AD+AD＝1+．
即AD＝1．
S△ABC＝×BC×AD
＝（1+）．
故选：C．
7．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
8．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
9．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
10．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：方法一：连接BP，
由题意得AP∥BQ，AP＝BQ，
∴∠PAE＝∠QBE，∠APE＝∠BQE，
∴△PAE≌△QBE（ASA），
∴PE＝QE，
设BQ＝a，则PQ＝a，EQ＝a，
∴，，
∴，
∵∠EQB＝∠BQP，
∴△EQB∽△BQP，
∴∠QEB＝∠QBP，
∴tan∠QEB＝tan∠QBP＝，
∵∠AEP＝∠QEB，
∴tan∠AEP＝．
故答案为．
方法二：如图，延长QP交格点于D，连接AC交QD于O，则∠AOP＝90°，AO＝OP＝DP＝PQ，
由题意得AP∥BQ，AP＝BQ，
∴∠PAE＝∠QBE，∠APE＝∠BQE，
∴△PAE≌△QBE（ASA），
∴PE＝QE＝PQ，
∴OE＝2AO，
∴tan∠AEP＝＝．
故答案为．
12．解：如图，分两种情况：
当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝＝，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝4+1＝5；
当高AD在△ABC′外部时，易知DC′＝DC＝1，
∴BC′＝BD﹣DC′＝4﹣1＝3．
故答案为：5或3．
13．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
由勾股定理得AB＝13x，
∵AB＝13，
∴x＝1，
∴AD＝12，BD＝5，
∴CD＝，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9，
故答案为：9．
14．解：如图，
∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，
∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，
∵tanA＝，tanB＝，+＝，
∴+＝，
即＝，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
在Rt△BDF中，BF＝＝，
∴AC BC＝（2+）（2+）
＝4（1+++1）
＝4（2+）
＝18，
∴＝
∴AB2＝45，
即AB＝3，
故答案为：3．
15．解：如图1中，当∠A是锐角时，过点B作BH⊥AC于H．
∵S△ABC＝ AC BH，
∴BH＝＝3，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
如图2中，当∠A是锐角时，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于H．
同法可得sin∠BAH＝，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：60°或120°．
16．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
17．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
18．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．解：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝45°，AC＝2，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝，
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AD＝，
∴AB＝2，BD＝＝＝，
∴BC＝BD+CD＝，
即AB＝，BC＝．
20．解：∵∠BAC＝180°﹣56°﹣44°＝80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝40°，
∵∠ABC＝56°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣34°＝6°．
21．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
22．解：【问题背景】如图1，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CPB，
∴tan∠ABE＝tan∠CPB，
∵∠AEB＝90°，
∴tan∠CPB＝tan∠ABE＝＝＝3，
故答案为3．
【探索延伸】如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．
∵BC∥AE，BC＝AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠APD＝∠ECD．
∵△ECD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×3＝，
∴CE DM＝，
∵CE＝，
∴DM＝，
∴sin∠APD＝sin∠ECD＝＝÷＝．