第25章图形的相似 同步达标测评 2021-2022学年 冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于（　　）
A．10 B．8 C．﹣8 D．±8
2．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
4．考虑下面4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线相等的梯形是等腰梯形．其中正确命题的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
5．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
6．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
7．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
8．如图，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，则这样的点P存在的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（﹣2，3），（﹣1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（　　）
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为（　　）
A． B． C．5×（）2020 D．5×（）4038
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为　 　cm．
12．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是　 　．
13．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝　 　cm．
14．已知，则a：b＝　 　．
15．如图，已知等腰△ABC的面积为4cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为　 　 cm2．
16．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
18．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
19．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB AF＝CB CD；
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是线段DE上的动点．设DP＝x cm，梯形BCDP的面积为ycm2．
①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故选：B．
2．解：可设x＝2k，y＝3k．通过代入计算，
进行约分，A，B，C都正确；
D不能实现约分，故错误．
故选：D．
3．解：由题意，
∴，
∵线段x没法先作出，
∴B选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．
故选：C．
4．解：①正确，因为已知一个角为100°和等腰三角形，没有指出该角是顶角还是底角，根据三角形内角和公式得，该角为顶角，又因为是等腰三角形则两腰对应成比例，所以这两个等腰三角形相似；
②正确，因为两个直角三角形的斜边相等，周长对应相等，由于均为直角三角形且周长相等，两直角边长的和及平方和均为定值，知道a+b及a平方+b平方，ab亦确定，而已知a+b，ab均为正的定值，就本题而言，a，b值具有对称性（如一三角形两直角边为3，4则另一三角形两直角边必定也为一个3，一个4），最终两三角形边均对应相等，必定全等；
③错误，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④正确，可以根据等腰梯形的判定得到．
故选：C．
5．解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE．
故选：B．
6．解：∵＝，
∴＝＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴9S△AEF＝S△ABC，
∵S四边形BCFE＝8，
∴9（S△ABC﹣8）＝S△ABC，
解得：S△ABC＝9．
故选：A．
7．解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
8．解：∵AD∥BC，∠D＝90°
∴∠C＝∠D＝90°
∵DC＝7，AD＝2，BC＝4
设PD＝x，则PC＝7﹣x；
①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC
∴，解得：PD＝
②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△BPC
∴，解得：PD＝，
∴这样的点P存在的个数有3个．
故选：C．
9．解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（﹣2，3），（﹣1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点A′，B′，C′的坐标分别为（2，4），（﹣4，6），（﹣2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y＝2x，y＝﹣x，y＝0
∴对应点的连线交于原点
∴△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
10．
解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝，
∴BA1＝AB＝，
∴CA1＝+＝×，
同理，得：C1A2＝××，
由正方形的面积公式，得：S1＝，
S2＝×，S3＝××，
由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2，
∴S2020＝5×（）2×2020﹣2，
＝5×（）4038．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
12．解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，
故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；
△ABC≌△BAP3，
此时P的坐标为（3，1）；
∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．
13．解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC＝12cm．
故答案为：12．
14．解：∵
∴5（a+2b）＝9（2a﹣b）
∴5a+10b＝18a﹣9b
∴19b＝13a
∴a：b＝．
15．解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∵等腰△ABC的面积为4cm2，
∴△ADE的面积是1cm2，
∴梯形DBCE的面积为4﹣1＝3（cm2），
故答案为：3．
16．解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第三个六角星形的面积为：＝，
第四个六角星形的面积为：＝，
故答案为：．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND，
∴，
∴，
∴MN＝9.6（米），
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，
∠EFB＝∠MFN，
∴△EFB∽△MFN，
∴，
∴
∴EB≈1.75（米），
∴小军身高约为1.75米．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）；
（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），
△A2BC2的面积：
6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝24﹣14
＝10．
19．证明：（1）∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴＝，即＝，
∴AB AF＝CB CD；
（2）解：连接PB，
①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝12，
∴CF＝AF＝6．
∴y＝（x+9）×6＝3x+27；
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．
AE＝BE＝AB＝，EF＝．
由∠EAD＝∠AFE＝90°，∠AEF＝∠DEA，得△AEF∽△DEA．
Rt△ADF中，AD＝CD＝＝10，AF＝6，
∴DF＝8．
∴DE＝DF+FE＝8+＝．
∵y＝3x+27（0≤x≤），函数值y随着x的增大而增大，
∴当x＝时，y有最大值，此时y＝．
20．解：（1）存在点P．
假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP＝10﹣x，
在Rt△APD中，DP2＝AD2+AP2，即DP2＝42+x2，
在Rt△PBC中，PC2＝BC2+PB2，即PC2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△PCD中，CD2＝DP2+PC2，即102＝42+x2+42+（10﹣x）2，
解得x＝2或8，
故当m＝10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP＝2或8；
（2）连接AC，设BP＝y，则AP＝m﹣y，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴＝，即＝①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°，
∴∠APD＝∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴＝，即＝②，
①②联立得，BQ＝；
（3）连接DQ，
由已知PQ⊥PD，所以只有当DP＝PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝m﹣4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：
S四边形PQCD＝S矩形ABCD﹣S△DAP﹣S△QBP＝4m﹣×4×（m﹣4）﹣×4×（m﹣4）＝16（4≤m＜8）
当Q在BC延长线上时，S＝m2﹣2m（m≥8）．
综上所述，S＝．