25.5相似三角形的性质 解答题专题训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》解答题专题训练（附答案）
1．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；
（2）求FG的长．
2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于E．若AB＝15，BC＝9，DE＝3．
（1）求AE的长．
（2）求四边形BCDE的面积．
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
5．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝1，AB＝2，求的值．
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
9．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：△ACE∽△ABD；
（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．
10．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝3，EF＝5，求线段PC的长．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD．点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF＝∠CAD
（1）求证：∠D＝∠ACB：
（2）求证：△ADF∽△ACE：
（3）求证：AE＝EF．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于点G．
（1）求证：＝；
（2）连接DE，求证：DE＝CE；
（3）若CD⊥AB，AD＝2，BD＝3，求线段EG的长．
14．如图，AC是 ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）求证：BE2＝EF EG；
（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．
15．如图，在△EAD中，∠EAD＝90°，AC是高，B在DE延长线上，且∠BAE＝∠EAC．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）求证：BD EC＝AB AC．
16．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
17．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF．
（1）如图，若AD＝AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2＝DG DF．
（2）在第（1）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．
18．如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值；
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
19．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝3PC；
（3）若AB＝10，求PA的长．
参考答案
1．解：（1）∵EG∥AD，
∴△BAD∽△BEF，
∴＝，即＝，
∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EG＝，
∴FG＝EG﹣EF＝．
2．证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
3．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝12，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AE＝4；
（2）S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△AED
＝×12×9﹣×4×3＝48．
4．1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF BE；
（2）∵AE2＝EF BE，
∴BE＝＝4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴＝，即＝，解得AF＝，
∵△EAF∽△EBA，
∴＝，即＝，
∴AB＝．
5．1）证明：∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点G，
∴∠AEF＝∠AGC＝90°，
又∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG①，
∴∠AED＝∠ACG，
又∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC②．
（2）解：由①可得，
由②可得＝，
∴．
6．1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝∠C+∠CAD，
∠ADE＝∠C，
∴∠BDE＝∠CAD．
∴△BDE∽△CAD．
（2）解：由（1）得．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，CD＝2，
∴DB＝BC﹣CD＝6．
∴．
7．1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
8．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
9．1）证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，
∴∠B＝∠ADE，
∴△ADE∽△ABC；
（2）证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB＝90°﹣∠CAD，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴△ACE∽△ABD；
（3）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝8，AB＝＝＝4，
∵CE＝x，CD＝2CE，
∴CD＝2x，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝x，
∴BC＝CD+BD＝2x+x＝8，
解得：x＝16﹣8．
10．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，且DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP；
（2）∵CD∥AB，
∴∠DCP＝∠F，且∠DCP＝∠DAP，
∴∠F＝∠DAP，且∠APE＝∠APF，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴，
∴AP＝2，
∴PC＝2．
11．证明：（1）∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠D＝∠ACB；
（2）∵∠EAF＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAF，
∴△ADF∽△ACE：
（3）∵△ADF∽△ACE，
∴AD：AC＝AF：AE，
∴AD：AF＝AC：AE，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△EAF∽△CAD，
∴∠EFA＝∠D，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴EA＝EF．
12．1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝，
∴CH＝＝＝2，
由△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
由△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
13．证明：（1）∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠AED＝∠ACD+∠CDE，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
∴∠ACD+∠CDE＝∠ABE+∠CBE，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠CDE＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CDE＝∠ABE＝∠ACD，
∴DE＝CE；
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠CDE+∠ADE＝90°，
∵∠ABE＝∠ACD，∠CDE＝∠ACD，
∴∠A＝∠ADE，∠BEC＝∠ABE+∠A＝∠A+∠ACD＝90°，
∴AE＝DE，BE⊥AC，
∵DE＝CE，
∴AE＝DE＝CE，
∴AB＝BC，
∵AD＝2，BD＝3，
∴BC＝AB＝AD+BD＝5，
在Rt△BDC中，CD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2，
∴DE＝AE＝CE＝，
∵∠ADC＝∠GEC＝90°，∠ACD＝∠GCE，
∴△CGE∽△CAD，
∴，
∴GE＝＝＝．
14．1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝EF EG；
（2）解：∵DF∥BC，
∴＝＝＝，
∴FG＝BF，
设EF＝x，则BF＝6+x，FG＝（6+x），
∵BE2＝EF EG；
∴62＝x[x+（6+x）]，
整理得x2+2x﹣24＝0，解得x1＝﹣6（舍去），x2＝4，
即EF的长为4．
15．解：（1）∵∠EAD＝90°，AC⊥BD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠D＝90°，
∴∠EAC＝∠D，
∵∠BAE＝∠EAC，
∴∠BAE＝∠D，
∵∠B＝∠B，
∴△ABE∽△DBA；
（2）∵∠EAC＝∠D，∠ACE＝∠ACD＝90°，
∴△AEC∽△DAC，
∴，
由（1）知△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴BD EC＝AB AC．
16．1）证明：∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵AG⊥BD，BG＝GD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ABE＝∠DAC，
即∠ABE＝∠EAF．
（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∴AE2＝EF EB，
∵EB＝EC，
∴AE2＝EF EC．
（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB＝JD，
∴∠JBD＝∠JDG，
∵∠JBD＝∠C，
∴∠JDB＝∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF＝∠DJF，
∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF＝FJ，AE＝DJ，
∵AF＝DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB＝EC，
∴BD＝DC＝，
∴BG＝DG＝，
∴JG＝，
∵∠JGD＝90°，
∴DJ＝＝＝，
∴AE＝DJ＝．
17．1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AGD，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠AGD＝∠DAF，
又∵∠ADG＝∠FDA，
∴△GAD∽△AFD，
∴，
∴DA2＝DG DF，
∵AD＝AF，
∴AF2＝DG DF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△ABH∽△GDH，△AHD∽△EHB，
∴，，
∴，
∴AH2＝EH GH，
∵HE＝4，EG＝12，
∴GH＝EG+HE＝16，
∴AH2＝4×16，
解得AH＝8，
即AH的长是8．
18．解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，
∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°，
∴∠A＝∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
∴＝，即＝，
解得BP＝2或12；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，
由（1）可知△ABP∽△PDC，
∴＝，即＝，
∴x2﹣ax+24＝0，
设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1+x2＝a，x1 x2＝24，
∵P1P2＝2，
∴|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴a2﹣4×24＝4，
解得a＝±10（负数舍去），
∴a＝10；
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，
∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∵AB＝6，CD＝4，
∴BE＝AB＝2，DF＝CD＝，
∴AE＝2BE＝4，CF＝2DF＝
∵∠AEP＝∠CFP＝∠APC＝120°，
∴∠EAP＝∠CPF，
∴△EPA∽△FCP，
∴＝，
设EP＝x，则PF＝a﹣﹣x，
∴＝，
∴x2﹣（a﹣）x+32＝0，
∵Δ＝0，
∴（a﹣）2﹣4×1×32＝0，
∵a＞0，
∴a＝+8．
19．1）证明：∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠APB＝150°，
∴∠2+∠3＝30°，
∴∠3＝∠1，
∵∠APB＝∠CPB，
∴△PAB∽△PBC．
（2）证明：过点C作CD⊥AB于D．
∵△ABC中，AC＝BC，
∴BD＝AB，
在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝＝，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝ PC＝3PC．
（3）解：将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，
∴∠4＝∠7＝60°，PP′＝PB＝BP′＝PC，
∴∠5＝∠BPC﹣∠4＝150°﹣60°＝90°，
在Rt△PP′C中，∠5＝90°，PP′＝PC，
∴∠6＝30°，
∴∠6+∠7＝30°+60°＝90°，
∴P′C＝2PC，
∴在Rt△BCP′中，PPC，由（2）中＝，AB＝10，可得BC＝，
∴（2PC）2+（PC）2＝（）2，
∴PC＝，
∴PA＝．