25.5相似三角形的性质 选择专题训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》选择题专题训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，连接EF交对角线AC于点M，连接BM．若∠BAD＝120°，AE＝2，则BM的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．3
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
3．如图，正方形ABCD的边AB＝3，对角线AC和BD交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连接PA，PB，分别交BD，AC于点M，N，连接MN．有下列结论：①OM＝MD；②；③MN＝；④S△MDP＝，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边AB向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段DO交AC于点E（2，），若AB＝5，则点D的坐标为（　　）
A．（3，3） B．（4，4） C．（3，） D．（3，4）
7．《几何原本》有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（　　）
A．9 B．18 C．27 D．54
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
9．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（　　）
A． B． C．1 D．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO DF；④＝．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图正方形ABCD，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3、BC＝4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP＝BQ＝1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　）
A．12 B．4+ C．6+ D．8+
14．如图正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，则△APD与△APB的面积之和是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，CE⊥BD于E，AG⊥BD于G，AF平分∠BAD交BC于点N，交EC延长线于点F，则下列说法中正确的有（　　）个
①BE＝DG
②BN＝AD
③MN＝
④BD＝CF
⑤AG2＝BG DG
A．2 B．3 C．4 D．5
16．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH PC．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，EF⊥AE交BC于点F，AE的延长线交CD于点P，AF交BD于点G，连接PF，则下列结论中；①EA＝EF；②∠DPF＝2∠BGF；③CF+2BF＝BE；④BG2+DG2＝2DG GE；⑤若DP＝PC，则PC：CF：FP＝3：4：5；⑥若BD＝BE，则PF＝2DP，GE2＝2GB2．其中正确的结论有（　　）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
20．如图在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，当BN＝BC，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
21．如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知∠BAD+∠BCA＝180°，AB＝5，AC＝4，AD＝3，＝，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝DAC＝∠BAD＝60°，
∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴AE＝EB，AF＝FD，AM＝MO，
∵AE＝2，
∴AB＝2AE＝4，
在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝2，
∴BO＝＝2，
∴MO＝AM＝AO＝1，
在Rt△BOM中，BM＝＝．
故选：A．
2．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD BD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，
∵△AEG面积＝S1＝AE EG，△CBD面积＝S2＝BD CD，且EG＝BD，
∴S1+S2＝AE EG+BD CD＝BD （AE+CD）＝BD （AE+ED）＝BD AD＝CD2＝16，
∴CD2＝32，
∴CD＝4．
∴DE＝CD＝4．
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，且正方形的边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，AB∥CD，AC＝BD＝3，OA＝OB＝OC＝OD＝，
∵P是边CD上靠近点D的三等分点，
∴DP＝1，PC＝2，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△PMD，
∴，
∴，
∴MB＝3DM，且DM+MB＝BD＝3，
∴DM＝，
∴OM＝OD﹣DM＝，
∴OM＝MD，故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∴AN＝CN，
∴AN＝，CN＝，
∴ON＝，
∴S△OMA＝××＝，S△ONB＝×＝，
∴，故②正确；
在Rt△MON中，MN＝＝＝，故③正确；
∵AB∥CD，
∴＝3，
∴AM＝3MP，
∵S△ADP＝×1×3＝，且AM＝3MP，
∴S△MDP＝S△ADP，
∴S△MDP＝，故④正确；
综上所述：正确的说法有①②③④．
故选：D．
4．解：连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中，
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM，
∴①正确；
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴②正确；
∵四边形EBFD是菱形，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误；
④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形，
∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴S△AOE＝S△COF，
∵S△COF＝2S△CMF，
∵∠FCO＝30°，
∴FM＝CM，BM＝CM，
∴，
∴S△FOM：S△BOF＝1：4，
∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF，
∴△GEO≌△MFO（AAS），
∴S△GEO＝S△MFO，
∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF，
设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BOF＝4x，
S四边形DGOF＝S△DEF﹣S△EGO＝S△EFB﹣S△EGO＝8x﹣x，
∴S△AOE：S四边形DGOF＝2x：（8x﹣x）＝2：7，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个，
故选：C．
5．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．
∴AC＝＝＝6，
∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF，又∠ABD＝∠FBD，
∴∠FBD＝∠BDF，
∴FB＝FD，
∴EF＝2FB，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得，BF＝，
∴AE＝．
故选：B．
6．解：如图，分别作DF⊥BC垂足为F，EG⊥BC，垂足为G，
∴∠OFE＝∠OFD＝90°，
∵E（2，），
∴OG＝2，GE＝，
∵△EOG和△DOF有公共角∠DOF，
∴△EOG∽△DOF，
∴＝＝＝，
根据平移的性质可知OD＝AB＝5，
设OF＝3x，则DF＝4x，
在Rt△ODF中：OD2＝DF2+OF2，
即52＝（4x）2+（3x）2，
∴x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴OF＝3x＝3，DF＝4x＝4．
故D点的坐标为（3，4）．
故选：D．
7．解：如图，连接GF，
∵AD＝BE，DG∥AC，EF∥BC，
∴＝＝＝，
∵∠DHE＝∠GHF，
∴△DHE∽△GHF，
∴＝（）2，
∵S2＝18，S3＝6，
∴＝，S△HGF＝S3，
∴S△DHE＝（）2×3＝27，
则S4的值为27．
故选：C．
8．解：∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴EC∥AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴＝＝，
∴AF＝AC＝．
故选：D．
9．解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴＝＝＝，
故选：A．
10．解：①∵E为BC中点，
∴BE＝BC＝AB，
∴＝＝，
∵∠ABE＝∠DAB，
∴△ABE∽△DAB，
∴∠BEA＝∠ABD，
∵∠ABD+∠FBE＝90°，
∴∠BEA+∠FBE＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴AE⊥BD，故①正确；
②过点F作FG⊥BC于点G，如图，
设AB＝2a，则BC＝2a，BE＝a，
∵∠BEA＝∠ABD，∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴△FAB∽△BFE，
∴，
设BF＝x，则AF＝x，
在Rt△ABF中，BF2+AF2＝AB2，
即x2+（x）2＝（2a）2，
解得：x＝a，
∴BF＝a，
在Rt△BFE中，由勾股定理得FE＝＝，
∵S△BFE＝＝，
即＝ FG，
∴FG＝a，
∴S△CEF＝ CE FG＝＝，
S矩形ABCD＝2a×2a＝4a，
故S矩形ABCD＝12S△CEF，故②错误；
③∵AB＝2a，BC＝2a，
∴BD＝2a，
∴DO＝×2a＝，
∵BF＝a，
∴DF＝，
∵BC2＝（2a）2＝8a2，2DO DF＝2××＝8a2，
∴BC2＝2DO DF，故③正确；
④如图，
在Rt△ABE，由勾股定理得AE＝a，
∵BF＝a，FG＝a，
在Rt△BFG，由勾股定理得BG＝＝a，
∴CG＝，
在Rt△FGC，由勾股定理得CF＝＝2a，
∴＝＝，故④正确；
故选：C．
11．解：∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC＝∠DCA＝90°，EA∥DC，
∴∠MAB＝∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB＝BG，∠ABG＝90°，
∴∠ACB＝∠ABM＝90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM＝a，
∴AB＝BG＝2a，AM＝a，
∴AC＝＝＝，BC＝，
∴IA＝，
又AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴，，
∴CO＝AM＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣＝，
∴．
故选：A．
12．解：∵正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴BE＝EF＝FC＝BC，BF＝BC，CG＝CD＝BC，
∴BF＝CG，
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（SAS），
∴∠AFB＝∠BGC，
∵∠BGC+∠CBG＝90°，
∴∠AFB+∠CBG＝90°，
∴∠BNF＝90°，
∴AF⊥BG；
故结论①正确．
∵∠BNF＝∠C，∠FBN＝∠GBC，
∴△BFN∽△BGC，
∴＝＝＝，
∴BN＝NF，
故结论②错误；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF＝S△BCG，
即：S△ABN+S△BNF＝S△BNF+S四边形CGNF，
∴S四边形CGNF＝S△ABN，
故结论③正确；
延长AD、BG交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CG＝2GD，BE＝BC，
∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，
∴＝＝＝，＝，
∴HG＝BH，AH＝AD＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴BM＝BH，
∴MG＝BH﹣BM﹣HG＝BH﹣BH﹣BH＝BH，
∴＝＝．
故结论④正确．
故选：D．
13．解：由勾股定定理得：AB＝5，则AQ＝4；
过点Q作QN⊥AC，垂足为N，则QN∥BC，
则AN：NC＝AQ：QB＝4，
则AN＝，
∴PN＝﹣2＝，
由NQ：BC＝AQ：AB，得NQ＝，
再由勾股定理得：PQ＝；
如图1：周长＝2（PA+PQ）＝4+；
如图2：周长＝2（PA+PM）＝12；
如图3：周长＝2（AQ+PQ）＝8+为最长．
故选：D．
14．解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∴△APD≌△AEB（SAS），
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
∵AE＝AP＝1，∠EAP＝90°，
∴PE＝PA＝，
又∵BE＝＝＝
∴BF＝EF＝BE＝，
连接BD，在Rt△AEP中，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
∵EF＝BF＝，AE＝1，
∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，
∴S正方形ABCD＝AB2＝4+，
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+，
故选：D．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CDE，
∵CE⊥BD于E，AG⊥BD于G，
∴∠AGB＝∠CED＝90°，
∴△AGB≌△CED（AAS），
∴BG＝DE，
∴BE＝DG，故①正确，
∵∠BAD＝90°，FA平分∠BAD，
∴∠BAN＝45°，
∵∠ABN＝90°，
∴∠ANB＝45°，
∴AB＝BN，
∵AB＝3，AD＝BC＝6，
∴BC＝2AB，
∴BN＝AD，故②正确，
∵AB＝NB＝3，
∴AN＝3，
∵BN∥AD，
∴＝＝，
∴MN＝AN＝，故③正确，
连接AC，易证∠ECB＝∠BAC，
∵∠ECB＝45°+∠F，∠BAC＝45°+∠CAF，
∴∠F＝∠CAF，
∴CA＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵BD＝CF，故④正确，
∵∠BAD＝90°，AG⊥BD，
∴△AGB∽△DGA，可得AG2＝BG DG，故⑤正确，
故选：D．
16．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH PC，故④正确，
故选：C．
18．解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故选：D．
19．证明：①∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠EAF＝∠DBC＝45°，
∴AE＝EF．
故①正确；
②由①知，∠EAF＝45°＝∠BDC，
∴A、G、P、D四点共圆．
∴∠AGD＝∠APD．
∵∠BGF＝∠AGD，
∴∠APD＝∠AGD＝∠BGF．
延长CD，截DM＝BF，连接AM，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADM＝90°，
∴△ADM≌△ABF（SAS）．
∴AM＝AF，∠BAF＝∠DAM．
∵∠FAP＝45°，
∴∠BAF+∠DAP＝45°．
∴∠DAM+∠DAP＝45°＝∠PAM．
∵AP＝AP，
∴△AFP≌△AMP（SAS）．
∴∠APD＝∠APF，PF＝PM．
∴∠DPF＝2∠APM．
∴∠DPF＝2∠BGF．
故②正确；
③作EH⊥BE交BC延长线于H，连CE，如图，
由对称性可知：CE＝AE．
∵AE＝EF，
∴EF＝CE．
∴∠EFC＝∠ECF．
∴∠BFE＝∠ECH．
∵∠CBD＝45°，EH⊥BE，
∴∠EBF＝∠H＝45°．
∴△BEF≌△HEC（AAS）．
∴BF＝CH，
∵BH＝BE，
∴BF+CF+CH＝CF+2BF＝BE，
故③正确；
④作DN⊥BD，截DN＝BG，连接NG，如图，
则∠ADN＝45°＝∠ABG，
∵AD＝AB，
∴△ABG≌△ADN（SAS）．
∴AG＝AN，∠BAF＝∠DAN．
∵DN⊥BD，
∴DG2+DN2＝NG2．
∴BG2+DG2＝NG2．
∵∠BAF+∠FAD＝90°，
∴∠DAN+∠FAD＝90°．
即∠NAF＝90°．
∴AG2+AN2＝NG2．
∴2AG2＝BG2+DG2．
∵∠GAE＝∠ADG＝45°，∠AGE＝∠AGD，
∴△AGE∽△DGA．
∴．
∴AG2＝DG EG．
∴BG2+DG2＝2DG EG．
故④正确；
⑤由②知：PF＝PM＝PD+DM，如图，
∴PF＝PD+BF．
设CD＝BC＝6，
∵DP＝PC，
∴PC＝CD＝3．
∴PF＝3+BF，CF＝6﹣BF．
∵∠C＝90°，
∴PF2＝CF2+PC2．
∴（3+BF）2＝32+（6﹣BF）2．
∴BF＝2．
∴CF＝4，PF＝5．
∴PC：CF：FP＝3：4：5．
故⑤正确；
⑥∵BD＝BE，BD＝AB，
∴BE＝AB．
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．
∴∠DAP＝22.5°．
∴∠BAF＝67.5°﹣45°＝22.5°．
∴∠BAF＝∠DAP．
∵∠ABF＝∠ADP＝90°，
∴△BAF≌△DAP（ASA）．
∴BF＝DP．
由②知：PF＝BF+DP，
∴PF＝2DP．
在△ABG和△ADE中，
．
∴△ABG≌△ADE（ASA）．
∴BG＝DE．
作DN⊥BD，截DN＝BG，连接NE，AN，如图，
则∠ADN＝45°＝∠ABG，
∵AD＝AB，
∴△ABG≌△ADN（SAS）．
∴AG＝AN，∠BAF＝∠DAN．
在△AGE和△ANE中，
．
∴△AGE≌△ANE（SAS）．
∴GE＝EN．
∵DN⊥NE，
∴NE2＝DE2+NE2．
∴GE2＝DE2+BG2．
∴GE2＝2BG2．
故⑥正确．
综上所述，①②③④⑤⑥均正确．
故选：A．
20．解：∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，
∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，
∴MP＝NP＝BC，
故①正确；
∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，
∴∠AMB＝∠ANC＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ANC，
∴＝，
故②错误；
∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，
∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，
∴MP＝NP＝BP＝CP＝BC，
∴点M，N，B，C共圆，
∴∠NPM＝2∠ABM，
在Rt△ABM中，∠A＝60°，
∴∠ABM＝30°，
∴∠NPM＝60°，
∵PN＝PM，
∴△PMN是等边三角形，
故③正确；
当∠ABC＝45°时，△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴BN＝BC，
故④正确；
故选：C．
21．解：如图，过D点作AO的平行线，交BA延长线于E点．
∵AO∥ED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝，
∵AO∥ED，
∴∠BAC＝∠AED，
∵∠BAD+∠BCA＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠BCA＝∠EAD，
∴△EAD∽△ACB，
∴＝，
∴BC＝．
故选：A．