25.4相似三角形的判定 同步达标测评 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC CD D．∠DAC＝∠ABC
3．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
4．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，且AE AC＝AP AF，则下列不正确的是（　　）
A．△AEP∽△AFC B．△ABF∽△BCE C．△ABP∽△PAE D．△PBF∽△CBE
7．如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：
①∠APB＝∠EPC；②AB PC＝EC BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE CD＝CA CB D．＝
9．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（　　）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，EF⊥AE，BH⊥AC于点H，EF与AC交于点M，BH与AE交于点N．则下列结论错误的是（　　）
A．△EFC∽△AEB B．△ECM∽△ABN C．△CFM∽△BEN D．△ANH∽△EFC
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　 　时，△BPQ与△BAC相似．
12．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有　 　条．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，∠AEF＝90°，有以下结论：①△ADE∽△AEF；②△ECF∽△AEF；③△ADE∽△ECF；④△AEF∽△ABF；⑤△ADE∽△ABF，其中正确的是 　 　（把你认为正确的序号都填上）．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A1、B1处，得四边形A1B1NM，点B1在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB1，则下列结论：
①∠MNB1＝∠ABB1；
②△MEN∽△BCB1；
③；
④若点B1是CD的中点，则AM＝，
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）
17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过P作PF⊥AE于F，当以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似时，AP的长为　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过　 　秒时，△PBQ与△ABC相似．
19．如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP＝∠　 　时，△ACP∽△ABC；当AC、AP、AB满足　 　时，△ACP∽△ABC．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C，EF，C，F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为　 　．
三．解答题（共11小题，满分60分）
21．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
23．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
24．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
25．△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，点E是BD上一点．
（1）如图（1），若点D在AB的垂直平分线上，求CD的长．
（2）如图（2），连接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求点E到AC的距离．
（3）若点E到三角形两边的距离均为1.5，求CD的长．（直接写出答案）．
26．如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上的一点，连接EB、ED．
（1）求证：EB＝ED．
（2）如图2，延长BE交CD于F，点G在AB上，连接FG交DE于点O，如果FB＝FG，请求证：△FDO∽△FBC．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，点E是AC边中点，过点A作AD⊥AB，交BE的延长线于点D，作CH⊥AB交BE于点G，F是AB边上一动点，连接CF．
（1）若∠ACF＝∠BCG．①求证：AD＝CG；②求
（2）设AC＝2，若以B、F、C为顶点的三角形与△ADE相似，求BF的长．
28．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．
（2）AF与DF相等吗？为什么？
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
30．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EC⊥AB，垂足为E，连接DE．试说明△BDE∽△BAC．
31．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点，
（1）求证：AM＝CN；
（2）求∠MBN的大小；
（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．
2．解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
3．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
4．解：①在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，则△ABE∽△ACB；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝∠2，∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ACD；
③∵ABE∽△ACB，
∴∠BEA＝∠ABD，
又∵∠1＝∠2，
∴△AEF∽△ABD，
综合①②③知，共有3对相似三角形，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
6．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵AE AC＝AP AF，
∴＝，
∵∠PAE＝∠CAF，
∴△PAE∽△CAF，
∴∠APE＝∠C＝60°，
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠CAF＝60°，
∴∠CAF＝∠ABE，
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△BCE，
∵∠BPF＝∠APE＝∠C，∠PBF＝∠CBE，
∴△PBF∽△CBE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠APB＝∠EPC，
∴△ABP和△ECP相似，故①正确；
∵AB PC＝EC BP，
∴＝，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△ECP，故②正确，
∵P为BC的中点，E为DC的中点，
∴BP＝CP＝BC，CE＝CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∴BP＝CP＝CE，
∴＝＝2，＝1，
即≠，
即△ABP和△ECP不相似，故③错误；
设PB＝2x，BC＝3x，
则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE＝BC＝x，
∴＝＝，＝＝，
即＝，
∴＝，
∵∠B＝∠C＝90°，
即△ABP和△ECP相似，故④正确；
所以正确的为①②④，
故选：C．
8．解：∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意，
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意，
∵CE CD＝CA CB，
∴＝，
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意．
由＝，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意，
故选：D．
9．解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵＝＝＝，
∴＝，＝，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
10．解：∵矩形ABCD，
∴∠ABE＝∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△EFC∽△AEB，故A正确；
∵∠ANH+∠NAH＝90°，∠NAH+∠AME＝90°，
∴∠ANH＝∠AME，
∴∠ANB＝∠EMC，
∴△ABN∽△EMC，故B正确
∴∠BNE＝∠FMC，
∵∠AEB＝∠EFC，
∴△BNE∽△MFC，故C正确；
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或8．
12．解：如图所示，
①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
13．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CBP＝∠OBA，
∴Rt△BPC∽Rt△BAO，
∴＝，
∵点B（8，0）和点A（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴BC＝5，
∴＝，
∴BP＝，
∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．
14．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
15．解：在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF，
其余都不符合相似的条件．
故答案为：③．
16．解：由折叠可知：∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，
∴∠BNM+∠B1BN＝90°，
∵∠ABB1+∠B1BN＝90°，
∴∠BNM＝∠ABB1，
∴∠MNB1＝∠ABB1，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME＝90°，
由折叠的性质可得：MN⊥BB1，
∴∠MNE+∠B1BN＝90°，
∴∠NME＝∠BB1N，
∴△MEN∽△BCB1，故②正确；
由②可知：＝，
∵ME＝AB＝2，BC＝4，
∴＝＝，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB1，
∴＝＝，
∴NE＝B1C，
若点B1是CD的中点，则B1C＝DC，
∴NE＝DC＝×2＝，
设BN＝x，则NC＝4﹣x，B1N＝x，
在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2＝（4﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AM＝BE＝BN﹣NE＝﹣＝，故④不正确．
故答案为：①②③．
17．解：分两种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝3，
②若△PFE∽△ABE，如图2中，则∠PEF＝∠AEB，
∵AD∥BC
∴∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴EF＝AE＝，
∵△PFE∽△ABE，
∴＝，
∴PE＝，PA＝．
∴满足条件的PA的值为3或．
故答案为3或．
18．解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝4t：20，
解得t＝2.5（s）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，
解得t＝1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有，即，解得t＝2.5s
（2）当BP与BC对应时，有，即，解得t＝1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：1或2.5
19．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC；
故答案为：B；．
20．解：由勾股定理得：AC＝10，
①当FG⊥BC时，
∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，
∴∠C′＝∠C，C′E＝CE＝4，
∴sin∠C＝sin∠C′，
∴＝，
∴EG＝2.4，
∵FG∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝8；
②当GF⊥AC时，如图，
∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴HF＝HE，
∵sin∠C＝sin∠C′＝＝，
∴EH＝4×＝，
∴C′H＝＝3.2，
∴CF＝C′F＝C′H+HF＝3.2+2.4＝5.6．
综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为8或5.6．
故答案为：8或5.6．
三．解答题（共11小题，满分60分）
21．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得 CP：BE＝PF：PE，
而CP＝BP，
因此 PB：BE＝PF：PE．
又因为∠EBP＝∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
22．解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝＝8（cm）．
由运动可知：BQ＝x（cm），PA＝2x（cm），
∴PB＝（8﹣2x）cm．
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x＝．
∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．
当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：8＝x：6，解得x＝，
当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：6＝x：8，解得x＝，
综上所述，满足条件的x的值为或．
23．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，
∴BD＝2．
24．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
25．解：∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10．
（1）如图1所示，
∵点D在AB的垂直平分线上，
设AB的垂直平分线为DF，垂足为F，
∴AD＝BD，AF＝BF＝AB＝5，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得
62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴点D在AB的垂直平分线上时，CD的长为；
（2）如图2所示，过点E作EF⊥AC于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EM⊥AB，
∴EF＝EM，
∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EM⊥AB，
∴EN＝EM，
∴EF＝EM＝EN，
设EF＝EM＝EN＝x，则：
S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，
即AC BC＝AC EF+AB EM+BC EN，
∴6×8＝8x+10x+6x，
解得x＝2，
∴点E到AC的距离为2；
（3）根据题意可分三种情况：
①如图3所示，当点E到AB和BC的距离为1.5时，此时点E在∠CBA的角平分线上，
即BD平分∠ABC，过点D作DF⊥AB于点F，
则CD＝DF，
∵∠C＝∠BFD＝90°，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF＝BC＝6，
∴AF＝4，
设CD＝x，则DF＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△AFD中，根据勾股定理，得
42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴当点E到AB和BC的距离为1.5时，CD＝3；
②方法一：
如图4所示，当点E到AC和BC的距离为1.5时，此时点E在∠BCA的角平分线上，
即CE平分∠BCA，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥BC于点N，
此时EM＝EN＝1.5，EM∥BC，
∵∠NCM＝90°，EM⊥AC，EN⊥BC，
∴四边形ENCM是矩形，
∵EM＝EN，
∴矩形ENCM是正方形，
∴CM＝1.5，
设CD＝x，则DM＝x﹣1.5，
∵EM∥BC，
∴△DEM∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得x＝2，
方法二：
∵S△BCD＝S△BEC+S△CED，
∴BC CD＝1.5BC+1.5CD，
即6x＝9+1.5x，
解得x＝2，
∴CD＝2．
∴当点E到AC和BC的距离为1.5时，CD＝2；
③方法一：
如图5所示，当点E到AC和AB的距离为1.5时，此时点E在∠BAC的角平分线上，
即AE平分∠BAC，过点E作EM⊥A于B点M，EN⊥AC于点N，
此时EM＝EN＝1.5，作EF⊥BC于点F，
得矩形EFCN，
∵S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，
即AC BC＝AC EN+AB EM+BC EF，
∴6×8＝8×1.5+10×1.5+6EF，
解得EF＝，
∴CN＝EF＝，
设CD＝x，则DN＝x﹣，
∵EN∥BC，
∴△DEN∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
方法二：
设CD＝x，则AD＝8﹣x，EM＝EN＝1.5，AB＝10，BC＝6，
∵S△BEA+S△DEA＝S△BDA，
∴AB EM+AD EN＝AD BC，
即10×1.5+1.5（8﹣x）＝6（8﹣x），
解得x＝．
∴当点E到AC和AB的距离为1.5时，CD＝．
综上所述，点E到三角形两边的距离均为1.5，CD的长为3或2或．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCA＝45°，
在△DCE和△BCE中
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴BE＝ED；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠DFO＝∠FGB，∠CFB＝∠FBG，
∵FB＝FG，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴∠DFO＝∠CFB，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDG＝∠CBF，
∴△FDO∽△FBC．
27．解：（1）①∵AD⊥AB，CH⊥AB，
∴AD∥CH，
∴∠DAC＝∠ECG，
∵点E是AC边中点，
∴AE＝CE，
在△ADE与△CGF中，，
∴△ADE≌△CGF，（ASA），
∴AD＝CG；
②∵∠ACB＝∠AHC＝∠CHB＝90°，
∴△ACH∽△BCH∽△ACB，
∴＝，
∴BH＝4AH，
∴AB＝5AH，
∵HG∥AD，
∴△BHG∽△BAD，
∴＝，
连接HE，
∴S△HEC＝S△ACH，
∵＝，
∴＝，
∴CG＝CH，
∴S△CGE＝S△CHE，
∴S△ADE＝S△CEH，
∴S△ADE＝S△ACH，
∵∠ACF＝∠BCG，
∴∠ACH＝∠BCF，
∵∠ACH＝∠ABC，
∴∠FCB＝∠BCF，
∴CF＝BF，
过F作FM⊥BC于M，
∴CM＝BM＝AC，
∴S△BCF＝2S△CMF，
∵∠ACH＝∠ABC＝∠FCB，
∴＝2°，
∴AH2+CH2＝AC2，
∴AH2+4AH2＝4，
∴AH＝，CH＝，
∴FM＝CM＝1，
∴S△ACH＝，S△CFB＝2，
∴S△ACH＝S△BCF，
∴＝；
（2）∵AC＝2，
∴BC＝4，AE＝1，
∴AB＝＝2，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CH，
∴CH＝＝，
∴AH＝，
∵AD⊥AB，CH⊥AB，
∴AD∥HG，
∴＝，∠DAE＝∠GCE，
∵∠AED＝∠CEG，AE＝CE，
∴△ADE≌△CGE（ASA），
∴AD＝CG，
∴＝，
∴CG＝，
∴AD＝CG＝，
∵∠DAE＝∠ACH＝∠BCF，
∴以B、F、C为顶点的三角形与△ADE相似，
∴或，
∴＝或＝，
∴BF＝或．
28．解：（1）∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF．
29．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
∵AD＝5t，CE＝3t，
∴当AD＝AB时，5t＝5，即t＝1；
∴AE＝AC+CE＝3+3t＝6，DE＝6﹣5＝1．
（2）∵EF＝BC＝4，G是EF的中点，
∴GE＝2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE＝AE﹣AD＝3+3t﹣5t＝3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴或 ，
∴t＝或t＝；
当AD＞AE（即t＞）时，DE＝AD﹣AE＝5t﹣（3+3t）＝2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴或 ，
解得t＝或t＝；
综上所述，当t＝或 或 或 时，△DEG与△ACB相似．
30．证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB＝90°
∵EC⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴点D和点E在以AC为直径的圆上，
∴∠BDE＝∠BAC，
而∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC．
31．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE＝DC，
∵M、N分别为AE、CD的中点，
∴AM＝AE，CN＝DC
∴AM＝CN；
（2）解：∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB＝∠CDB，
在△AMB和△DNB中
∴△AMB≌△DNB（SAS），
∴∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABC＝∠ABM+∠MBD＝60°，
∴∠DBN+∠MBD＝60°，
即∠MBN＝60°；
（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；
相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．