26.4解直角三角形的应用 同步练习2020-2021学年冀教版数学九年级上册（Word版 含答案）

解直角三角形的应用
一、单选题
1．如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（　　）米
A．atanα B． C． D．
2．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．20海里 D．40海里
3．如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（ ）米
A． B． C． D．
4．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在处看路灯顶端的仰角为35°，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为65°，则路灯顶端到地而的距离为（已知，，，，，）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
5．重庆移动为了提升网络信号，修建了多个5G信号塔，如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处．某测量员从山脚点出发沿水平方向前行78米 到点（点，，在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到点（点，，，，在同一平面内），在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
6．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（　　）
A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米
7．如图所示，有一山坡在水平方向每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米
9．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）
A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.4
10．如图，某航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡上的景点C，此时的俯角为，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为．已知无人机与斜坡的坡底D的水平距离为400米，则斜坡的长度约为（精确到0.1米，参考数据：）（ ）
A．91.1米 B．91.3米 C．58.2米 D．58.4米
11．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝4m，则坡面AB的长度是_____m．
14．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为_________．
15．如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．
16．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC， CD．测得BC=9m，CD=6m，斜坡CD的坡度i=1:，在D处哵得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为______．（结果保留根号）
17．一颗珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点，测得，米，，则这棵树的高约为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
三、解答题
18．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“7”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB段垂直，长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
19．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（结果保留小数点后一位，cos50°＝0.6428）？
20．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
21．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB＝120mm，支撑板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB与支撑板顶端C连接，CB＝40mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）
22．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若，．
①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；
②若，则熨烫台的高度h=__________；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．
（参考数据：，，，
参考答案
1．C
解：由题意得，∠B＝α，
在Rt△ABC中，sinB，
则AB，
故选：C．
2．D
解：如图，RA⊥PQ于A，PQ=20（1+）海里，∠RQP=45°，∠RPA=30°，
设AR=x海里，
在Rt△RAQ中，RA=AQ=x，
在Rt△RPA中，PR=2x，PA=x，
∵PA+QA=PQ，
∴x+x=20（1+），解得x=20，
∴PR=2x=40．
答：船R到岛P的距离为40海里．
故选：D．
3．C
解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°=，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50 tan44°米．
故选：C．
4．C
解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，则BF＝3＋x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°≈2.1x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），
∴2.1x＝0.7（3＋x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15＋1.55=4.7米，
故选：C．
5．D
解：过E作EF∥CD交AC于F，作EG⊥CD交CD延长线于G，
则CD=78米，DE=78米，
在Rt△EGD中，，设EG=x米，GD=2.4x米，
根据勾股定理，即
解得x=30，2.4x=72，
∵EG⊥CD，AC⊥CD，EF∥CD，
∴EG⊥EF，AC⊥EF，
∴∠EGC=∠FCG=∠GEF=90°，
∴四边形EGCF为矩形，
∴CF=EG=30米，EF=GC=GD+CD=72+78=150米，
在Rt△EFA中，∠AEF=43°，
∴AF=EFtan43°≈150×0.93=139.5，
∴AB=AC-BC==AF+FC-BC=139.5+30-144.5=25米．
故选择D．
6．C
解：过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：
则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，
∵斜坡DE的坡度为1：0.75，
∴＝＝，
设PD＝3x，则PE＝4x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴CH＝BG＝PE＝8，
∵∠CFH＝45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴FH＝CH＝8，
∴FG＝FH+GH＝12，
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，
∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），
即“览星塔”AB的高度约为31.5米，
故选：C．
7．A
解：铅直高度为，水平宽度为，
山坡的坡度，
故选．
8．B
解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，
∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，
∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，
∴设BH＝12x，CH＝5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，
解得，x＝4，
则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，
则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，
则AF＝EF tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），
∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），
故选：B．
9．B
解：过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，
则BG=EF，EG=BF，
∵∠CDE=150°，
∴∠EDF=30°，
∵DE=8，
∴EF=DE=4，DF=4，
∴CF=CD+DF=4+4，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴GE=BF=AB+4+4，AG=AB-4，
∵∠AED=60°，∠GED=∠EDF=30°，
∴∠AEG=30°，
∴，
解得：AB=14+6≈24.4，
故选：B．
10．B
解：如图，过点C作于点P，于点Q，
由题意知，，
设，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∵斜坡的坡比为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
即斜坡的长度约91.3米．
故选B．
11．C
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
12．D
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝，
∴BC＝2DC＝，
故选：D．
13．
解：在Rt△ABC中，BC＝4米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝，
，
故答案为：．
14．3
解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，
∴根据勾股定理得．
又∵，∴．
在Rt△AEF中，，
∴．
故答案为：3．
15．．
解：过P作PC⊥AB于C，
∵新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，
∴∠A=45°
∴∠CPA=90°-∠A=45°，
∴PC=AC，
设AC=PC=x，
∵PA=60米
∴AC=PC=PAcos45°=60，
∵综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，
∴∠B=30°，
∴PB=2PC=，
在Rt△BCP中，BC=PBcos30°，
∴AB=BC+AC米．
故答案为：．
16．6+3
解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，
∵∠ADE=30°，
∴∠AFB=30°，
∵CD=6m，斜坡CD的坡度i=1：，
∴tan∠DCG=，
∴∠DCG=30°，
∴DG=3m，CG=3m，
∴∠DFC=∠DCF=30°，
∴DF=DC，
∵DG⊥BF，
∴FG=CG=3（m），
∴FC=6m，
∴FB=FC+BC=（6+9）m，
∴AB=BF×tan∠AFB=（6+9）×=（6+3）m．
故答案为：6+3．
17．
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，
设 米，
∵，∠BHC=90°，
∴ ，
∵，
∴∠ABH=45°，
∴∠ABH=∠BAC，
∴AH=BH=x，
∵米，
∴ ，解得： ，
∴AH=BH=12
∴ （米）．
故答案为： ．
18．两高速公路间的距离为（10+15）千米
解：如图，过B作MN⊥l1于M，交l2于N，
∵l1l2，
∴MN⊥l2，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴在中，，
∵∠BAM＝30°，AB＝20，
∴，
∴BM＝20×＝10（千米），
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBN＝90°﹣60°＝30°，
∵在中，，
又∵BC＝30，
∴，
∴BN＝30×＝15，
∴AB和CD之间的距离＝BM+BN＝10+15（千米），
答：两高速公路间的距离为（10+15）千米．
19．334.3米
解：∵∠ABD＝140°，
∴∠DBE＝180°﹣140°＝40°，
又∵∠D＝50°，
∴∠E＝180°﹣∠DBE﹣∠D
＝180°﹣40°﹣50°
＝90°，
∴RtBED中， cosD＝，
∴cos50°＝＝0.6428，
解得：DE＝334.3m．
答：另一边开挖点E离D334.3米正好使A，C，E三点在一直线上．
20．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
21．（1）；（2）33.4°
解：（1）如图2，作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N
得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°
由题意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
∴AC＝80，
在Rt△CDN中，CN＝CD sin∠CDE＝＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC sin40°≈80×0.643≈51.44，
∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°
在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，
∴tan∠D，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度为：60°－26.6°≈33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
22．（1）①40，80；②50；（2）支撑杆AB长160cm．
解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE=∠AOC=×120°=60°，AC=2AE．
在Rt△AEO中，OE=OA=40（cm），
AE=AO sin∠AOE=80×=40（cm），
∴AC=2AE=80．
答：AC的长为80cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，
∴OF=OB=×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，
∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
在Rt△ABF中，AB===160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．