26.3解直角三角形 同步练习2020-2021学年冀教版数学九年级上册（word版含答案）

解直角三角形
一、单选题
1．在Rt△ABC 中，∠Ｃ=90°，，AB=5cm，则AC的长度是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
2．如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，如图，梯形中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕，使．的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长度为（ ）．
A．3 B．6 C． D．
7．如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cos∠ADD'为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，，则的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
10．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m，，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交，于点，，交的延长线于点，若，，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF，直线EF与直线BC交于点M，若AB＝2，BD＝1，则CM的长为____．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是AD上一个动点，把△CDE沿CE向矩形内部折叠，当点D的对应点D′恰好落在矩形的内角平分线上时（∠DCD'为锐角），则cos∠DCD'＝__________________．
16．如图，点、、、在同一平面内，点、、在同一直线上，且，在点处测得点在北偏东方向上，在点处测得点在北偏东方向上，若千米，则，两点的距离为__千米．
17．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN=8cm，EM=10cm，则BC长为______cm．
三、解答题
18．如图，在中，．求的值．
19．在中，＝，、、的对边分别为、、．若＝，，求和．
20．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，求AC的长．
21．如图，在平行四边形中，点为中点，连接并延长交延长线于点，连接、，若，
（1）求证：四边形为矩形．
（2）在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，求．
22．如图，在中，，是边上的中线，于点，交于点，过点作交的延长线于点．
求证：；
求证：；
若，，求的长．
参考答案
1．B
解：∵，
∴设，，
又∵AB=5cm，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
2．B
解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为4，3，5，
所以sinB=，即3=5sinB，因此选项A不符合题意，选项B符合题意，
tanB=，即3=4tanB，因此选项C不符合题意，选项D不符合题意，
故选：B．
3．A
解：如图，分别作于点E，于点F．
则有，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故选A．
4．B
解：
故选B
5．A
解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3x，BC＝2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝AD＝＝x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB，
∴CF＝OE＝AB＝x．
∴tan∠EDC＝．
故选A．
6．C
解：根据题意，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6；
可得∠BAC=30°，故∠ABC=60°；
则以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，
故Rt△BCE中，∠CBE=∠ABE=30°，
则CE=3×tan30°=．
故选：C．
7．B
解：在中，
，，
，
是的平分线，
，
，
在中，
，
在中，，
，
故选：B．
8．C
解：过点作于点，
将矩形绕点逆时针旋转至恰好经过点，
，，
，
，
设，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
故选：．
9．A
解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，BC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∴AD=BD，
∵sinC==，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
10．B
解：如图所示，延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BE于点F，
∵，
∴，
又∵，
在中，
∴，，
根据题意及图形可得：，
∴，
∴，
∴，
即电线杆的高度为米．
故选：B．
11．D
解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中：，
∴，
设，则
在直角三角形ADE中：，
∴，
解得，
∴，
∵∠DEB=90°，
∴，
故选D.
12．B
解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DFBC，∠EDC=90°
∵交的延长线于点
∴∠DEB=90°
∵在Rt中，∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵，∠C＝90°，BC＝2，
∴AC＝．
∴BE＝CD＝．
∴四边形BCDE的面积为：2×＝．
故选：B．
13．
解：如图，过点作于．
∵ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ 到直线的距离为.
14．或
解：根据题意可知，分两种情况：
①D点在线段BC上，连接CF，过点A做AP垂直于BC，垂足为点P，如图1，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
AP＝AB×sin∠ABC＝2，BP＝AB×cos∠ABC＝2，
又∵BD＝1，BP＝BD＋DP，
∴DP＝1，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，∠DAC＋∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
∵，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF＝BD＝1，∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠MCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在直角△APD中，AP＝2，DP＝1，
∴tan∠ADP＝2，
∵EF∥AD，
∴∠FMC＝∠ADP，
∴tan∠FMC＝＝2，
∴MC＝；
②D点在线段CB延长线上，连接CF，过点A做AP垂直于BC，垂足为点P，如图2，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AP＝BP＝2，
又∵BD＝1，DP＝DB＋BP，
∴DP＝3，
同理可得：△ABD≌△ACF，
∴∠AFC＝∠ADB，∠ACF＝∠ABD，CF＝BD＝1，
∵∠ABC＝45°，∠ABD＋∠ABC＝180°，
∴∠AFC＝∠ADB＝135°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MCF＝∠PCF＝90°，
在直角△APD中，AP＝2，DP＝3，
∴tan∠ADP＝，
∵EF∥AD，
∴∠FMC＝∠ADP，
∴tan∠FMC＝=，
∴MC＝．
综合①②得知CM的长为或．
故答案为：或．
15．或或或
解：如图1，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；
当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'＝90°，不符合题意，舍去；
如图2，当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC＝45°，
连接BD'，作D'H⊥BC于H，
设D'H＝t，则BH＝t，CH＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
t2+（8﹣t）2＝62，
解得：t＝4±，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；
如图3，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG＝45°，
连接AD'，过D'作D'H⊥BC于H，延长HD'交AD于G，
设D'G＝t，则AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
（6﹣t）2+（8﹣t）2＝62，
解得t1＝7+（不合题意，舍去），t2＝7﹣，
∴D'H＝6﹣t＝﹣1，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，
综上所述：cos∠DCD'＝或或或．
故答案为：或或或．
16．
解：，在点A处测得点在北偏东方向上，
，，
千米，
千米，千米，
在点处测得点在北偏东方向上，，千米，
在Rt△BCP中，
，
千米，
（千米），
故答案为：千米．
17．
解：由折叠可得：∠EFB=∠EFI，∠CNM=∠INM，CN=NH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BFE=∠IEF，∠IMN=∠CNM，
∴∠EFI=∠IEF，∠IMN=∠INM，
∴EI=FI，IM=IN，
∵四边形GHIJ是正方形，
∴HI=JI，∠HIJ=90°，
∴BC=BF+FN+CN=FJ+FN+NH=FI+IJ+FN+IN+IH=2IJ+EM+FN，
∵∠FIN=∠HIJ=90°，
∴FI2+IN2=FN2，
∵FI+IN=IE+IM=EM，
∴FI2+（EM-FI）2=FN2,
由图可知：FI∴FI=，
∴IM=IN=EM-FI=，
∵AD//BC，
∴∠JIM=∠IFN，
∴IJ=IM×cos∠JIM=IM×cos∠IFN=IM×,
∴BC=10+8+=.
故答案为：.
18．sinA．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，BC=4，
∴tanB=，
∴AC=3，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB=5，
∴sinA=．
19．．
解：如图，
∵＝，，
∴，
则．
20．14
解：方法1如图所示，延长AD，BC交于点E，
∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴ ，
∴．
方法2 如图所示．过点D作于点E，过点C作于点F．
∵，，
∴，，四边形CFEB是矩形，
∴，．
在中，，
，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
21．（1）见解析（2）
解：（1）∵四边形BPCD是平行四边形，
∴CP＝BD，BPCD，BP＝CD，
∴∠OAB＝∠OCD，ABCD，
∵点O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∵ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝CP，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）由（1）得：四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，AC＝＝15，
∴OA＝，
作OG⊥AB于G，如图所示：
则AG＝BG＝=，
∴OG是△ABD的中位线，
∴GOAD，GO＝AD＝6，
∵AE＝3，
∴GE＝AE＋AG＝3＋＝，
∵GOAD
∴
∴=．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
解：（1），是边上的中线，
，，
，，
，
，
，
，
．
（2）连接，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）连接，如图，
，，
，，
，
，
，
，
，
由（2）得，
，
，
，
．