25.4相似三角形的判定 解答题专题训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？
4．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
6．如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF．
7．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
8．如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
（1）求证：△DAE≌△DCF；
（2）求证：△ABG∽△CFG．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上
（1）已知：AC＝4，BC＝2，∠CBD＝∠A，求BD的长；
（2）取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD．
10．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间．
请解答下列问题：
（1）当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？
11．如图， ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
12．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
13．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
14．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对．
15．平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE．F为线段DE上一点，且∠1＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
16．如图，在△ABC中，BA＝BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE上的一点，且∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD∽△ACE．
17．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△BPQ和△BAC相似？
18．如图，三个全等的等腰三角形按如图的形式（B、C、E、G在同一直线上）摆放，连接BF，已知腰长AB＝，底边BC＝1．
（1）△ABC与△BFG是否相似？试说明理由！
（2）请提出一个与P点有关的问题，并进行解答！
19．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA＝4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP＝x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE＝4，AB＝6，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG与GF的比．
21．如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE，求证：△ABC∽△ADE．
22．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C，求证：△ABF∽△EAD．
23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连接DQ．设P、Q的运动时间为t．
（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
（2）求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
25．如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
26．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
27．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
28．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
29．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．求证：△ABD∽△CED．
30．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．
参考答案
1．证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵CE＝AC，
∴CE＝2，
∵CD＝5，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
2．解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
3．解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝t，AP＝10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝秒时，△APQ与△AOB相似；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，
则PC＝AP sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），
△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，
整理，得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣；
故当t＝5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．
4．（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
＝，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF．
5．解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，
∵S△PBQ＝BP BQ，即（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，解得t1＝2，t2＝4．
∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，
①若△BPQ∽△BAC，则＝，即＝，解得x＝3；
②若△BPQ∽△BCA，则＝，即＝，解得x＝1.2．
综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
6．证明：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，
即＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
8．证明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
（2）延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
9．（1）解：∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝1，
∴BD＝＝．
（2）证明：∵E、F分别是Rt△ABC、Rt△BCD斜边上的中点，
∴CF＝BD，CE＝AB．
又∵E、F分别为是AB、BD的中点，
∴EF＝AD，
∴＝＝＝，
∴△CEF∽△BAD．
10．解：（1）当CE＝CF时，△CEF是等腰三角形，
∴4t＝12﹣2t，
∴t＝2．
（2）①当＝时，△ECF∽△ADC，
∴＝，
∴t＝3．
②当＝时，△FCE∽△ADC，
∴＝，
∴t＝，
综上所述，当t＝s或3s时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°，
∴∠BED＝∠OEB+∠OED＝90°，
∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
（2）解：△BDE与△DCE相似．
∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵∠OBE＝∠OEB，
∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠DEC＝90°，
∴△BDE∽△DCE．
12．解：（1）∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵＝＝，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似．
∵＝，
∴＝．
在△ABE与△ACD中，
∵＝，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
13．证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，
∴＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
14．解：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
①∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D
又∠B＝∠A＝∠DME＝α
∴∠AMF＝∠BGM，
∴△AMF∽△BGM；
②∵∠EAM＝∠EMF、∠AEM＝∠MEF，
∴△EMF∽△EAM；
③∵∠DBM＝∠DMG，∠BDM＝∠MDG，
∴△DMG∽△DBM．
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B＝180°．
∵∠1＝∠B，∠1+∠AFD＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC．
16．解：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
又∵CE⊥BC，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
17．解：设经t秒钟△BPQ和△BAC相似，
当△BPQ∽△BAC时，＝，
即＝，
解得，t＝2，
当△BPQ∽△BCA时，＝，
即＝，
解得，t＝，
答：经2秒或秒钟△BPQ和△BAC相似．
18．解：
（1）相似，理由如下：
∵△ABC≌△DCE≌△FEG
∴BC＝CE＝EG＝1，
∴BG＝2BC＝3，FG＝AB＝
∴＝＝，＝，即＝，
又∠ACB＝∠FGB，
∴△ABC∽△BFG；
（2）A层问题（较浅显的，仅用到了1个知识点）．
例如：①求证：∠PCB＝∠REB．（或问∠PCB与∠REB是否相等）等；
②求证：PC∥RE，（或问线段PC与RE是否平行）等．
B层问题（有一定思考的，用到了2～3个知识点）．
例如：①求证：∠BPC＝∠BFG等，求证：BP＝PR等；
②求证：△ABP∽△CQP等，求证：△BPC∽△BRE等；
③求证：△ABP∽△DQR等；④求BP：PF的值等．
A层解答举例：求证：PC∥RE
证明：△ABC≌△DCE
∴∠PCB＝∠REB
∴PC∥RE
B层解答举例：求证：BP＝PR
证明：∠ACB＝∠REB，
∴AC∥DE．
又BC＝CE，∴BP＝PR．
19．解：（1）CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP，
∴QB＝BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴＝＝，
∴CD＝2AB＝2×4＝8，
即CD＝8；
（2）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC＝∠BPA，∠CPD＝∠BPA，
∴∠BPA＝∠BPC＝∠CPD＝60°，
∴AP＝＝＝，
即x＝；
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB＝∠BPA，∠PCD＝∠BPA，
∴3∠BPA＝90°，
∴∠BPA＝30°，
∴AP＝＝＝4，
即x＝4；
即当x＝或4时，△ABP和△CDP相似．
20．解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵＝＝，＝，
∴＝，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG＝∠C，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG＝∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴＝＝，
∴＝2．
21．证明：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴∠D＝∠E＝，∠B＝∠C＝，
∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
22．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠C+∠D＝180°，∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
23．解：（1）BD＝t．
（2）∵PD∥BC，AB＝AC＝15，
∴，
∴AD＝AP＝15﹣t，
∴BD＝CP＝t，
∵AC＝15，BC＝10，CP＝t，
∴PD＝10﹣t，
∵△ADP和△BDQ相似，
∴或，
∴或，
解得：t1＝4，t2＝15（舍去），t3＝15＞10（舍去），t4＝6
答：t＝4或6时，△ADP与△BDQ相似．
24．证明：∵BF∥DE，
∴＝，
∵AD＝BD，
∴AC＝CG．
（2）解：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似；
在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB＝BG
∴∠DBC＝∠CBP，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴CD＝5，
∵∠DBC＝∠CBP，
第一种情况：若∠DCB＝∠BCP，如图1：
在△BCP与△BCD中
∠DCB＝∠BCP，
BC＝BC，
∠DBC＝∠CBP，
∴△BCP≌△BCD（ASA），
∴BP＝CD＝5；
第二种情况：若∠PCB＝∠DCB，如图2：
∵∠CBD＝∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∴，
∴BP＝，
综上所述：当PB＝5或时，△BCP与△BCD相似．
25．解：（1）∵AO＝3CO＝6，
∴CO＝2，
∴C（2，0），A（0，6）．
设BO＝x，且x＞0；则BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；
又∵BC＝AB，
∴（2+x）2＝36+x2，解得x＝8，
∴B（﹣8，0）；
（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，
可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，
则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；∴AT＝6﹣3t，
又∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，
则：＝，∴＝即EF＝10﹣5t，
故S△EFO＝EF×TO＝（10﹣5t）×3t，
即S△EFO＝﹣（t﹣2）t，
∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；
此时BF＝FA，EF恰好为△ABC的中位线．
则：＝，
又有AO⊥BC于O，
则：＝＝，
∴＝＝，
∴△EFO∽△CBA．
26．证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C是公共角，
∴△CDA∽△CEB，
∴CD：CE＝CA：CB，
∴CD：CA＝CE：CB，
∴△DCE∽△ACB．
27．解：乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE＝∠ABC，
又∵∠E＝∠C，
∴△GFE∽△ABC．
28．解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB．
∵∠ADC＝∠CAD＝∠ACD＝∠CBE＝60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB＝∠DBE，
∴∠CAE＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
29．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
30．证明：如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．