安徽省合肥市瑶海区第三十八中学 2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(word解析版)

2021-2022学年度九年级第一学期期中考试数学试卷
一．选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣2x2 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝（x+4）（x﹣3） D．y＝（x﹣3）2﹣x2
2．二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1的图象顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
3．已知抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2021 B．y＝5（x﹣1） 2+2021
C．y＝5（x+1） 2+2021 D．y＝5（x+1）2+2021
4．把二次函数y＝x2+4x﹣3化为y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7
C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
5．反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥3 C．k＜3 D．k≤3
6．下面四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6 B．a＝3，b＝6，c＝9，d＝18
C．a＝1，b＝，c＝2，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
7．已知点（﹣1，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
8．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＜0 B．＞0 C．a-b+c＜0 D．3a+c＞0
10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
二．填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为　 　．
12．已知不重合的两点C、D均是线段AB的黄金分割点，若AB＝10，则CD＝　 ．
13．已知A（﹣2，﹣3），B（3，﹣2），C（1，6）三点，其中有两点在反比例函数y＝的图象上，另一点在正比例函数y＝nx的图象上，则mn的值为 　 　．
14．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
三．（本题共2小题，每题8分，满分16分）
15．已知点A（3，m）在反比例函数y＝的图象上．
（1）求m的值；
（2）当3＜x＜6时，求y的取值范围．
16．已知＝＝，a+b+c＝54，求a的值．
4．（本题共2小题，每题8分，满分16分）
17．已知抛物线y＝x2﹣x﹣6的图象如图所示．
（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？
18．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 …
y … m 0 0 ﹣3 …
（1）上表中m＝　 　；
（2）求此二次函数的解析式及顶点坐标．
5．（本题共2小题，每题10分，满分10分）
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a＝48米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
6．（本题满分12分）
21．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
7．（本题满分12分）
22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．
8．（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
2021-2022学年度九年级第一学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣2x2 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝（x+4）（x﹣3） D．y＝（x﹣3）2﹣x2
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．
【解答】解：A、y＝1﹣2x2是二次函数；
B、y＝2（x﹣1）2+3＝2x2﹣4x+5，是二次函数；
C、y＝（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣6，是二次函数；
D、y＝（x﹣3）2﹣x2＝﹣6x+9，是一次函数；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．
2．二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1的图象顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．已知抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2021 B．y＝5（x﹣1） 2+2021
C．y＝5（x+1） 2+2021 D．y＝5（x+1）2+2021
【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+2021，然后根据二次函数的性质确定a的值．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝5x2的图象开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
4．把二次函数y＝x2+4x﹣3化为y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7
C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
【分析】利用配方法把将二次函数y＝x2+4x﹣3的解析式化为y＝a（x+h）2+k的形式．
【解答】解：y＝x2+4x﹣3＝y＝x2+4x+4﹣7＝（x+2）2﹣7，即y＝（x+2）2﹣7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了的二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
5．反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥3 C．k＜3 D．k≤3
【分析】根据反比例函数的性质解题．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：C．
【点评】对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
6．下面四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6 B．a＝3，b＝6，c＝9，d＝18
C．a＝1，b＝，c＝2，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【解答】解：A、由于2×4≠1×6，所以不成比例，不符合题意．
B、由于6×9＝3×18，所以成比例，符合题意；
C、由于2×≠1×，所以不成比例，不符合题意；
D、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
7．已知点（﹣1，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解答】解：∵k＞0，
∴函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例可得出的值，此题得解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＜0 B．＞0 C．a-b+c＜0 D．3a+c＞0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为直线x＝﹣＝1，得2a＝﹣b，
∴a、b异号，即b＞0，即abc＜0，b＝﹣2a，A选项结论正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，与x轴有两个交点，
∴＞0，故B选项结论正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故C选项结论正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故选项结论D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x＝1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．
10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
【分析】首先判断出：mx2﹣2x﹣2＝m（x﹣）2-﹣2，然后根据偶次方的非负性质，可得：mx2﹣2x﹣2≤﹣2，再根据无论x为何值，mx2﹣2x﹣2＜0，推得-﹣2＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【解答】解：mx2﹣2x﹣2＝m（x﹣）2+﹣2
∵mx2﹣2x﹣2＜0，
∴mx2﹣2x﹣2≤-﹣2，
∵无论x为何值，mx2﹣2x﹣2＜0，
∴-﹣2＜0，
解得m＜﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
二．填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为　 　．
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），
∴m+n＝﹣＝2．
故答案是：2．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根与系数的关系求得答案．
12．已知不重合的两点C、D均是线段AB的黄金分割点，若AB＝10，则CD＝　 ．
【分析】设AC＞BC，AD＜BD，根据黄金分割的定义先计算出AC＝BD＝5﹣5，再计算出AD，然后利用CD＝AC﹣AD进行计算．
【解答】解：设AC＞BC，AD＜BD，
根据题意得AC＝AB＝ 10＝5﹣5，
BD＝AB＝5﹣5，
则AD＝AB﹣BD＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5，
所以CD＝AC﹣AD＝5﹣5﹣（15﹣5）＝（10﹣20）．
故答案为（10﹣20）．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
13．已知A（﹣2，﹣3），B（3，﹣2），C（1，6）三点，其中有两点在反比例函数y＝的图象上，另一点在正比例函数y＝nx的图象上，则mn的值为 　 　．
【分析】先确定A、C点在反比例函数y＝的图象上，B点在正比例函数y＝bx的图象上，即可求得a＝6，b＝﹣，从而求得ab＝﹣4．
【解答】解：∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣2），C（1，6）三点，其中有两点在反比例函数y＝的图象上，且﹣2×（﹣3）＝1×6≠3×（﹣2），
∴A、C点在反比例函数y＝的图象上，B点在正比例函数y＝nx的图象上，
∴m＝6，n＝﹣，
∴mn＝﹣4，
故答案为﹣4．
14．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三．（本题共2小题，每题8分，满分16分）
15．已知点A（3，m）在反比例函数y＝的图象上．
（1）求m的值；
（2）当3＜x＜6时，求y的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得3m＝3，解得m＝1；
（2）先分别求出x＝3和6时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝得3m＝3，
解得m＝1．
（2）∵k＝3＞0，
∴图象在第一象限y随x的增大而减小，
∵x＝3时，y＝1；x＝6时y＝，
∴当3＜x＜6时，y＜1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是关键．
16．已知＝＝，a+b+c＝54，求a的值．
【分析】根据题意，设a＝2k，b＝3k，c＝4k．又因为a+b+c＝27，则可得k的值，从而求得a的值．
【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝54，
∴2k+3k+4k＝54，
∴k＝6，
∴a＝12．
【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
四．（本题共2小题，每题8分，满分16分）
17．已知抛物线y＝x2﹣x﹣6的图象如图所示．
（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？
【分析】（1）令y＝0得到关于x的方程，从而可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当y＞0时，抛物线位于x轴的上方，当y＜0时，抛物线位于x轴的下方，然后依据函数图象确定出自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）令y＝0，即x2﹣x﹣6＝0，得，（x+2）（x﹣3）＝0，
解此方程得：x1＝﹣2，x2＝3．
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣2，0），（3，0）．
令x＝0，得y＝﹣6，
抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣6）．
（2）观察图象得：当x＜﹣2或 x＞3时，y＞0；
当﹣2＜x＜3时，y＜0．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数与不等式，数形结合是解题的关键．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 …
y … m 0 0 ﹣3 …
（1）上表中m＝　 　；
（2）求此二次函数的解析式及顶点坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称性得到m的值；
（2）把点（﹣3，0），（﹣1，0），（0，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得，再解方程组求出a、b、c，从而得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣3，0），（﹣1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴点（﹣4，m）和点（0，﹣3）为抛物线上的对称点，
∴m＝﹣3；
故答案为﹣3；
（2）把点（﹣3，0），（﹣1，0），（0，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得，解得，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3．
∵y＝﹣（x+2）2+1，
∴顶点坐标为（﹣2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质．
五．（本题共2小题，每题10分，满分10分）
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【分析】（1）把B（2，﹣1）代入y＝可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b＞的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）把B（2，﹣1）代入y＝，得：m＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把A（﹣1，n）代入y＝﹣，得：n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）、B（2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；
（2）根据图象得：不等式kx+b＞的解集为x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）由y＝﹣x+1可知C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，﹣1），
∴CD＝2，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝+＝3．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a＝48米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；
（2）设BC＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：
x（100﹣2x）＝450
解得：x1＝5，x2＝45
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10＜20
答：AD的长为10m；
（2）设BC＝xm，则
S＝x（100﹣x）
＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）
∵x≤48，
∴S随x的增大而增大，
∴x＝48时，S的最大值是1248 ．
答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1248．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
六．（本题满分12分）
21．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）∵S△PBQ＝PB BQ，PB＝AB﹣AP＝18﹣2x，BQ＝x，
∴y＝（18﹣2x）x，
即y＝﹣x2+9x（0＜x≤4）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+9x，
∴y＝﹣（x﹣）2+，
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x＝4时，y最大值＝20，
即△PBQ的最大面积是20cm2．
【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键．
七．（本题满分12分）
22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．
【分析】（1）y2＝2x与y3＝﹣2x+4联立，组成方程组，解方程组即可求得；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）根据二次函数的性质，结合A、B的坐标即可求得．
【解答】解：（1）解得，
∴A（1，2）；
（2）在直线y3＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
代入B（0，4）得，4＝a+2，
解得a＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2（x﹣1）2+2＝2x2﹣4x+4；
（3）∵抛物线与直线y3＝﹣2x+4的交点为A（1，2），B（0，4），
∴当y1＞y3时x的取值范围是x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，两条直线的交点，二次函数与不等式的关系等，求得A、B的坐标是解题的关键．
八．（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．