正方形复习导学案
图片预览
文档简介
正方形 复习
学习目标：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法。
学习重点：
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
学习流程：
问题指向，预习先行
正方形的定义；
正方形的性质；
正方形的判定方法；
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
互动探究，合作求解
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
强化训练，当堂达标
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
4.如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．
5．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
6.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 7.已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
交流展示，适度拓展
1.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
2.已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
小结
求线段的长度或大小关系；
求线段的位置关系；
求角度的大小或倍数关系；
与正方形面积有关的问题；
正方形的判定。
布置作业
板书设计
1.定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
2.性质：
边的性质：对边平行，四边都相等；
角的性质：四角都是直角；
对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°,；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。
3.判定方法：
（1）是矩形，并且有一组邻边相等；
（2）是菱形，并且有一个角是直角；
（3）还可以先判定它是平行四边形，再用1或2进行判定。
课后反思
A
B
C
D
E
F
学习目标：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法。
学习重点：
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
学习流程：
问题指向，预习先行
正方形的定义；
正方形的性质；
正方形的判定方法；
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
互动探究，合作求解
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
强化训练，当堂达标
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
4.如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．
5．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
6.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 7.已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
交流展示，适度拓展
1.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
2.已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
小结
求线段的长度或大小关系；
求线段的位置关系；
求角度的大小或倍数关系；
与正方形面积有关的问题；
正方形的判定。
布置作业
板书设计
1.定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
2.性质：
边的性质：对边平行，四边都相等；
角的性质：四角都是直角；
对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°,；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。
3.判定方法：
（1）是矩形，并且有一组邻边相等；
（2）是菱形，并且有一个角是直角；
（3）还可以先判定它是平行四边形，再用1或2进行判定。
课后反思
A
B
C
D
E
F