2012届高三第一次调研考试数学试题(文科）

2012届高三第一次调研考试
数学试题(文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：
锥体的体积公式： （是锥体的底面积，是锥体的高）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．已知全集，集合，则图中阴影 部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．复数的值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知向量，，若向量，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
5．设是等差数列，且，则这个数列的前5项和（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，
则该组合体的侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
8．设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线所围成的
三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值为（ ）
A． B. C． D．
9．“成等差数列”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．规定记号“”表示一种运算，即，若，
则=（ ）
A． B．1 C． 或1 D．2
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都 必须作答。）
11．已知函数 ，则_______．
12．如果执行右面的程序框图，那么输出的______．
13．圆心在轴上，且与直线相切于点
的圆的方程为____________________．
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分。）
14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为________．
15.(几何证明选讲选做题) 已知是圆的切线，切点为，
直线交圆于两点，,，
则圆的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
设三角形的内角的对边分别为 ,．
（1）求边的长；
（2）求角的大小。
17．（本小题满分12分）
甲、乙二名射击运动员参加今年深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）：21世纪教育网
甲 5 6 9 10
乙 6 7 8 9
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．
18．(本小题满分14分)
如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面。
19．(本小题满分14分)
已知数列的前项和满足，等差数列满足，。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少
20．(本小题满分14分)
如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.
21．(本小题满分14分)
已知函数在处有极小值。
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在只有一个零点，求的取值范围。
2012届高三第一次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D C B D A B
1．【解析】由韦恩图知：，故选
2．【解析】.故选D
3．【解析】.，故选D.
4．【解析】由频率分布直方图知; ,∴身高在[120，130]内的学生人数为
,故选
5.【解析】由下标和性质知，∴∴故选D
6．【解析】该组合体的侧视图是上面边长为的正三角形，下面是边长为的正方形
∴组合体的侧视图的面积为，故选
7．【解析】
故选.
8．【解析】双曲线的两条渐近线为，
抛物线的准线为，
当直线过点时，，故选D.
9．【解析】提示：当x,z都取负数时. 无意义。选A.
10．【解析】提示：根据运算有.选B.
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11. ； 12. 720； 13. ； 14. ； 15.。
11．【解析】∴
12．【解析】由程序框图知：
13．【解析】设圆的方程为，则圆心为
依题意有，得，所以圆的方程为。
14．【解析】点的直角坐标为，∴过点平行于轴的直线方程为
即极坐标方程为
15.【解析】由已知条件可求得圆的半径，∴圆的面积为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）依正弦定理有…………………………3分
又，∴ …………………………6分
（2）依余弦定理有……………………9分
又＜＜，∴ …………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件
从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有
。16种结果…2分
记{甲的成绩比乙高}
则包含有7种结果 …………4分
∴ …………………………………………6分
(2) 甲的成绩平均数
乙的成绩平均数
甲的成绩方差
乙的成绩方差………10分
∵，
∴选派乙运动员参加决赛比较合适 …………………………………………12分
18．(本小题满分14分)
（1）证明：取的中点，连结．
∵为的中点，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴．
又，∴． …………3分
∴四边形为平行四边形，则．……………5分
∵平面，平面， ∴平面．…………7分
（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴…………9分
∵平面，，∴．……………10分
又，∴平面．……………………………12分
∵，∴平面．…………………………………13分
∵平面， ∴平面平面．………………14分
19. (本小题满分14分)
解：（1）当时，，∴ …………1分
当时，，
即 …………………………………………………………………3分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴…5分
设的公差为，，∴
∴ …………………………………………………8分
（2）…………………………10分
∴……12分
由>，得>，解得>
∴>的最小正整数是 …………………………………………14分
20. (本小题满分14分)
解：（1）∵∴
………2分
∴∴……4分
依椭圆的定义有：
∴，…………………………………………………………………………6分
又，∴………………………………………………………7分
∴椭圆的标准方程为……………………………………………8分
（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，
也可以给满分。）
椭圆的右顶点，圆圆心为，半径。
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，
则，圆心到直线的距离………………10分
当直线斜率不存在时，的方程为，
此时圆心到直线的距离（符合）……………………………11分
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
∴圆心到直线的距离，无解……………………………13分
综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为…14分。
21．（本小题满分14分）
解：（1）…………………………………………………………………1分
依题意有，………………………………………………3分
解得，……………………………………………………………………4分
此时，
满足在处取极小值
∴……………………………………………………………5分
（2）
∴…………6分
当时，，∴在上有一个零点（符合），……8分
当时，
①若方程在上有2个相等实根，即函数在上有一个零点。
则，得……………………………………10分
②若有2个零点，1个在内，另1个在外，
则，即，解得，或…………12分
经检验有2个零点，不满足题意。
综上：的取值范围是，或，或……………………14分
0.035
0.020
0.010
0.005
频率/组距
身高
100
110
120
130
150
140
开始
是
否
输出
结束
P
A
B
O
C
B
A
E
D
C
F
y
P
A
B
C
O
x
X
Y
A(1,2)
B
A
E
D
C
F
G
y
P
A
B
C
O
x