苏科版九年级数学上册 小结与思考教案

《圆中的相似三角形》教案
一．教学目标：
根据圆的性质，了解圆中找相等角的方法，能在圆中运用三种方法判断三角形相似.
掌握圆中相似三角形四种基本模型，并能够加以应用解决相关问题.
通过变式探究，让学生经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式，提升解决问题的能力和培养学生探索精神.
二．教学重点：根据圆的性质，在圆中寻找三角形相似的条件；掌握圆中相似三角形四种基本模型.
三．教学难点：在圆中寻找三角形相似的条件.
四．教学过程：
（一）复习回顾，激发兴趣
如图1，在ΔABC中，点D是AB上的一点，连接CD，请添加一个条件，使ΔBCD∽ ΔBAC. 你添加的条件是______________.
图1
师生行为：①教师依次请多名学生添加条件并说出添加依据，引导学生回顾三角形相似的判定方法. ②教师总结判断两个三角形相似的三种方法.
设计意图：通过一道条件开放式填空题，不仅能激活学生已有经验，更便于营造出多样化的开放式课堂、激发学生思维的火花、提高学生积极参与的兴趣.
（二）变式探究，拓展提升
问题1：如图2，ΔABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AG⊥BC于点G，求证：.
图2 图3
变式：如图3，△ABC内接于⊙O，请利用直尺和圆规在线段BC上找一点G,连接AG. 使得.
师生行为：①教师出示问题1，学生很快由直角三角形相似得到结果. 接着教师将直角三角形改为一般三角形，要求学生先独立作出点G，然后小组交流，每一组选一位代表展示作图痕迹并说明作图依据. 下面四幅图形中，前三幅是三位学生代表在实物投影上展示的图形，第四幅是学生课后和教师分享的图形.
学生1：作等弧找等角 学生2：构造圆内接四边形找等角
学生3：利用垂径定理找等角 学生4：构造直径配垂直找等角
②教师学法指导：此类问题可以从结论出发，将乘积式转化为比例式，推出需要证明的相似三角形，最后再根据题目条件寻找判断三角形相似的条件.变式题采用同样的方法进行转换，然后通过寻找等角构造三角形相似，引导学生思考在圆中会产生等角的情况.
设计意图：（1）问题1及其变式旨在引导学生利用圆的性质从多角度、多方位寻找“等角”并归纳方法，体会转化思想：“角等”意味“弧等”意味“弦等”;（2）通过问题1及其变式，归纳出圆中相似三角形的第一种基本模型“”;（3）教师在学生熟知的“双垂图”基础上，通过改变三角形的形状引导学生探究相同的数量关系，旨在让学生体会一般与特殊的关系.交流环节能让学生大胆展示思维活动，将知识问题化，问题之间关联化，这对激发学生的学习兴趣、培养发散思维具有十分重要的意义.
问题2：如图4，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E.
图中有哪些相似三角形？
若延长BA和CD交于点F. 你还能找到其它相似三角形吗？
（3）若BD平分线段AC， 求证：△ABE ∽△ACB.
图4
师生行为：①教师依次出示问题2当中的三个小题，学生独立思考并回答问题. ②教师学法指导：判断两个三角形相似可以利用圆的性质找等角，也可以根据题目中已给的线段关系通过两边对应成比例且夹角相等来证明两个三角形相似.
设计意图：问题2中的（1）和（2），引导学生利用圆的性质寻找判断三角形相似的条件，并归纳出另两种圆中的相似基本模型“”﹑“”;问题2的（3），旨在考察学生在特定条件下，利用“两边对应成比例且夹角相等”判断两三角形相似.
问题3：如图5，AB为⊙O的直径，AD、BC是⊙O的两条切线，图中有哪些相似三角形？
图5 图6
变式：如图6，⊙O的直径AB = 4，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=1，BC =4，
图中有哪些相似的三角形？
想一想：CD是⊙O的切线吗？
师生行为：①对于问题3，学生提供了两种不同的方法证明了△DOC∽△OBC.
学生1：利用旋转，构造全等三角形 学生2：利用△ADO∽△BOC得到边的对应关系
对于变式题，有一位同学利用边的关系证明了△ADO∽△BOC，进而得
转换成问题3. 课下又有一位同学发现△ADO和△ODC三边对应成比例，可以直接证明这两个三角形相似.
②教师学法指导：引导学生从不等角度寻找三角形相似的条件，可以利用旋转构造等腰三角形寻找等角，也可以在已有的两个相似三角形基础上，根据对应边成比例，巧妙地找到与它们相似的三角形.
设计意图：(1)通过问题3归纳出第四种相似基本型“ ”，考察了学生判断三角形相似的能力，很多同学能容易地找到△ADO∽△BOC，却忽视了△DOC也与它们相似;（2）变式题中没有了有关角度的条件，需要学生通过已给边长寻找相似的三角形，难度有所加大，同样容易出现遗漏的情况，考察了学生利用“两边对应成比例且夹角相等”﹑“三边对应成比例”判断两个三角形相似；（3）想一想环节旨在培养学生利用相似三角形的性质解决简单问题的能力.
（三）巩固练习，深化认知
如图7，在⊙O中，弦AB、CE交于点D，点C是弧AB的中点.
（1）若CD·CE =16，则CB = ______.
（2）若移动点E，使BE为⊙O的直径，CD = 2，BC = 4，则BE = ______.
图7
如图8，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP．求证：
（1）∠D =∠CBP；
（2）
图8
3．如图9，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：
（2）若 PA = 6，PC =
图9
设计意图：三道练习题由浅入深，极具代表性，旨在加深和强化学生课堂所学的内容.第一题考察学生对相似基本型“”的运用以及圆中寻找等角的方法;第二题考察学生对圆中相似基本型“”和“”的运用和圆内接四边形的性质;第三题考察学生对圆中相似基本型“”的用运用﹑圆中寻找等角的方法以及利用相似三角形性质解决问题.
（四）反思总结，归理评价
谈谈本节课你的收获和困惑.
师生行为：请多位学生总结本堂课的收获，教师适时补充，提升高度.
设计意图：本环节是师生对课堂教学中所涉及的知识、技能、方法、思想的盘点.教师要给学生一个充分展示自我的平台，让学生自己总结解题方法、分享探索经验、表达独特见解、感悟数学思想,以形成自己的知识体系,同时提高其归纳概括能力和语言表达能力.
五．作业
完成《圆中的相似三角形》练习卷.
六．板书设计
圆中找等角方法：等弧、同弧、圆内接四边形 、直径配垂直
圆中相似基本型： 、 、 、
基本思路：圆的性质 三角形相似 解决相关问题
（判定） （性质）
数学思想：特殊到一般、转化、数形结合
问题2： 问题3：
七．教学反思
圆与相似三角形的综合问题有一定的难度，部分学生并没有把圆和相似三角形的知识有机的结合在一起. 为此，“圆中的相似三角形”这节课较好的解决了上述问题. 本节课通过三个探究问题，由浅入深，总结了圆中寻找等角的方法,并归纳出圆中相似三角形的四种基本模型，为接下来解决圆与相似三角形的综合题做好铺垫.美中不足，倘若三个探究问题之间存在某些联系，能够串联在一起，可能会更具整体感和连贯性.