人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课后培优(word版含答案)

垂直于弦的直径
一、单选题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
2．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
3．如图，的半径为3，弦，于点，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
4．如图，的直径为10，弦的长为6，为弦上的动点，则线段长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，中，，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，则长为（ ）
A．10 B．9 C． D．8
8．如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．3
9．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为数学语言：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，直径的长是（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
11．如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一段公路转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，且，则这段弯路所在圆的半径为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为________．
14．如图，半径为的中有弦，以为折痕对折，劣弧恰好经过圆心，则弦的长度为__________．
15．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____．
16．如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，那么__________．
17．△ABC内接于⊙O，且满足AB＞AC，连结AO，D，E分别是BC，AO的中点，且OD=OE，若∠ODE等于10°，则∠B等于________．
三、解答题
18．如图，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
19．如图，已知为的弦，且，求证：是等腰三角形．
20．赵州桥如图是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
参考答案
1．D
解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
2．C
解：连接OA，
∵为的直径，弦，
∴AE=AB=3，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
∴，解得：x=5，
∴的半径为5．
故选C．
3．B
解：∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵，
∴BC=2
在Rt△BOC中，∵OB=3，BC=2，
∴OC=，
故选：B．
4．C
解：如图，连接OA，作OP⊥AB于P，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OP⊥AB于P，
∴AP=BP，
∵AB=6，
∴AP=3，
在Rt△AOP中，OP=；
此时OP最短，
所以OP长的取值范围是4≤OP≤5．
故选：C．
5．C
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
6．C
解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝AB，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝，
∴AB＝2AM＝，
则≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
7．B
解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD=AB=10，
根据垂径定理，得DE=BE，
∴CE=BE-BC=DE-4，
根据勾股定理，得AD2-DE2=AC2-CE2，
102-DE2=82-（DE-4）2，
解得DE=，
∴CD=DE+CE=2DE-4=9，
故选：B．
8．D
解：如图，作于，于，连接，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
故选：．
9．A
解：如图所示：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，
∵AB = 0.8m，OD⊥AB，AD ==0.4m，
又CD =0.2m，
∴OD=R-CD=R-0.2，
在Rt△OAD中，OD2+ AD2=OA2，
即(R-0.2)2+0.42=R2，
解得R=0.5m，
∴2R=2×0.5=1米，
故答案为A.
10．B
解：如图，连接OA．
设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x 1）寸，
∵，
∵AB=10，且
∴AE=AB=5
则，
解得：x＝13．
则CD＝2×13＝26（寸）．
故选：B．
11．B
解：连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形，
∵AB=CD，OP⊥AB，OF⊥CD，
∴OP=OF，
∴矩形PEFO为正方形，
∴OP=PC，
在Rt△OPB中，OP==3，
∴OE==3，
故选：B．
12．A
解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选择：A．
13．16
解：如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，
∵，，
∴，
∵直径为52cm，
∴，
，
，
故答案为：16．
14．
解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的于C，
∵的半径为，
又∵折叠后劣弧恰好经过圆心O，
∴OA=OC=2，
∴OD＝CD＝1，
在Rt△OAD中，
∵OA＝2，OD＝1，
∴AD=，
AB＝2AD＝．
故答案为：．
15．（，2）
解：过M作MN⊥BC于N，连接CM，
∵，，
∴OB=，OC=，
∴BC=，
∵MN⊥BC，
∴CN=AB=，
∴ON=，
∴M（，2），
故答案为：（，2）．
16．3
解：过O作OM⊥EF于M点，连OE，如图，
则EM=MF，OM=AD，
∵EF=8，
∴EM=4，
又∵圆心O在AB，
∴GB为⊙O的直径，
∴OE= GB=5，
在Rt△OEM中，OM= ，
∴AD=3．
故答案为3．
17．
解：连接OB、OC，
为BC的中点，OB=OC
为OA的中点，
故答案为：．
18．最少用2次，见解析
解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
19．见解析
解：证明：从O向AB引垂线，交点为E，
则根据垂径定理可知AE＝BE
∵AC＝BD，
∴CE＝DE．
∴OE是CD的垂直平分线．
所以OC＝OD．
∴△OCD为等腰三角形．
20．27.3m
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦的垂线为垂足，与相交于点C，连接，根据垂径定理，D是的中点，C是的中点，就是拱高，
由题设可知，
所以，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为．
21．（1）5；（2）
解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4，
在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2＋42＝r2
∴r＝5．
（2）∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，
∴BC＝＝4（cm）
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝BC OF＝OC BE
∴4×OF＝5×4，
∴OF＝．