苏科版九年级数学上册 2.7 弧长及扇形的面积（教案）

课题 2.7弧长及扇形的面积 课型 新授课 总第 课时
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学习 目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．理解记忆弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题； 3．渗透转化、类比思想，借助图形面积的和或差计算阴影部分的面积和周长.
学习 重难点 重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用. 难点：弧长与扇形的计算公式的应用，求阴影部分面积和周长.
知识 链接 圆的周长和面积公式，圆中相关的概念.
齐心合力，快乐学习；取长补短，共同进步
教学活动过程 教师点拨、修订
一、知识准备 1．圆周长计算公式_______，圆面积计算公式_______. 2．如果一条弧所对的圆心角是120°，那么这条弧长等于这个圆周长的_______. 设计意图：回顾圆中两个计算公式为本节课的学习做好知识准备，同时引入弧长问题，渗透整体思想. 二、问题导学 活动1：扇形的概念——自学课本第83页 问题： （1）什么样的图形叫做扇形？ （2）扇形的构成要素有哪些？ （3）扇形的周长如何表示？ 设计意图：通过学生自学，明确扇形究竟是怎样的一个图形，为后面公式的探究做好铺垫，同时添加了扇形周长公式，将线段长和弧长融合到一起，自然而然引入下一个活动——弧长公式的探究. 活动2：探索弧长计算公式——自学课本第83页 （一）独立思考：如下图，扇形的弧长与那些因素有关？它与所在圆的周长之间存在怎样的关系？ （二）合作完成： 如图，圆的半径为r （1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°所对的弧长. （2）计算n°的圆心角所对的弧长. （三）归纳总结： 如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l= 设计意图：考虑到学生的认知水平和接受能力，设置了从特殊到一般的情景，以问题串的形式，降低了探求知识的难度，容易激发学生的参与意识，主动探究意识. （四）举例示范： 例1　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长． 设计意图：（1）巩固弧长公式，需要知道弧所对圆心角的度数和半径，学会添加辅助线（连接OB、OC）——构造符合需要的图形. （2）教师示范，规范答题格式. （五）阶段检测1： （1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60 ，则圆心角所对的弧长是_____. （2）已知扇形的圆心角为120 ，弧长为20π，则扇形的半径为_____. （3）已知圆弧的半径为6，弧长是5π，则此圆弧所对的圆心角为____. 设计意图：巩固弧长公式，灵活运用弧长公式——求弧长、求半径、求圆心角度数. 活动3．探索扇形面积计算公式 （一）独立思考：如下图，扇形的面积与那些因素有关？它与所在圆的面积之间存在怎样的关系 （二）合作完成： 如图，圆的半径为r （1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°扇形的面积；. （2）计算n°的圆心角扇形的面积. 设计意图：仿照弧长公式的探究过程，采用类比的方法探究扇形面积公式，学生熟练，节省时间. （三）归纳总结： 在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=____ ___= . （四）阶段检测2： （1）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形面积为____ . （2）（17泰州）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则这个扇形的面积为______. （3）已知扇形面积为6π，半径为4，求扇形的弧长. 设计意图：及时巩固计算扇形面积的两个公式，恰当选择面积计算公式. 三、典型例题——阴影面积的计算 例2　如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S． 设计意图：求阴影图形的面积是中考常考查的的知识点.本节课渗透阴影面积的求法指向性明确：让学生明确阴影部分的构成，阴影部分的转化——转化成熟悉的图形（本例题是转化成两个扇形面积的差）. 变式：试求阴影图形的周长. 设计意图：让学生明确图形的构成——线段和弧，然后分别求它们的长度，进一步巩固弧长公式. 拓展提升 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积 变式1：阴影图形的周长. 变式2：若P为AB上一动点，链接PC、PD，则阴影PCD的面积是否变化？周长是否变化，若变化，求出周长的最值. 设计意图： （1）使学生学会将不规则的图形转化为规则、熟悉的图形，再计算面积（本题将阴影转化为扇形OCD）； （2）将动点问题渗透在圆中，从中寻找不变量和变量，培养学生分析问题综合运用知识的能力. 四、课堂小结 知识内容——数学思想、方法——收获与不足 1．弧长公式、扇形面积公式、周长公式； 2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示； 3．数学思想方法的应用： 　　①转化思想；②整体思想； ③类比思想；④数形结合思想 ． 设计意图：回顾本节流程，整理本节知识、方法、数学思想，形成简单知识树，感悟收获，明确不足. 五、课堂检测 1．扇形的圆心角是45°，扇形半径为8，则扇形弧长为______，面积为____________. 2．已知扇形的圆心角是30°，弧长为π，则扇形的半径为______，面积为____________. 3. 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°，求这段铁轨的长度. 4．如图1，圆O的半径为5，A是圆O外一点，AB切圆O于点B，AO交圆O于点 C，点C为OA的中点 . （1）求弧BC的度数； （2）求阴影部分面积和周长 设计意图：检查学生对本节课所学内容的掌握情况，教师对于掌握不好的知识点及时进行评讲、补救，让学生明确注意的地方和努力的方向，考查学生综合运用直角三角形和等边三角形的判定和性质的能力. 指导学生画图，默写公式，解释公式中各个量的含义；明确弧不仅有度数还有长度，直观感受弧长与圆周长之间的关系. 引导学生带着问题自学，指导学生画扇形，体会扇形的构成. 合作、交流、总结： 指导学生合作，指出关键之处：弧的度数和整个圆的度数（360°）之间的关系. 建议：在探究时，再细化：将圆等分为360份，每一份弧的长度为多少？ 抽查学生对公式的理解记忆以及对公式中各个量含义的理解. 建议：分组合作完成对公式的变形，推导出n和r的计算公式.（不要求学生记忆） 学生思考并分析，小组内互讲，学生代表试讲.教师板书，规范答题格式. 总结辅助线的添加方法及运用的知识点： （1）连半径，构造圆心角；（2）圆心角与圆周角关系；（3）弧长公式. 学生板演，互查，互批，纠正. 结合弧长公式探究方法，学生分组完成，教师关注各组进度及完成情况，及时点拨. 小组展示，总结 建议：结合弧长及扇形面积公式的结构，探索二者之间的关系（类似于三角形的面积计算公式）. 抽查学生理解记忆公式情况，逐个落实. 总结：无论是哪个公式，都需要知道扇形半径. 调动学生去发现计算面积的方法.让学生讲解，教师板书. 建议：强化理解记忆扇形面积公式，注意与弧长公式的区别——分母及半径的指数. 从不同角度去认识阴影图形，渗透本节所学公式，并高于本节所学内容. 分组讨论，教师指导，组内互助，互讲. 小组展示、补充. 总结：利用“同底等高”将三角形ACD的面积转化为三角形OCD的面积，从而阴影面积转化为扇形OCD的面积. 指导学生完成作图，合作探求方法和结论，指出运用知识要点. 放手学生总结，相互补充（从不同角度总结）， 教师适时引导. 教师巡视，学生独立完成测试. 出示答案，教师根据巡视结果及学生答题情况进行点评. 学生互讲、总结.
板书设计： 2 .7 弧长及扇形的面 一、扇形的概念 二、弧长公式 三、扇形面积公式. 四、阴影面积 1.概念： 1.活动探究 ： 1.活动探究： 例2： 2.构成： 2.公式： 2.公式（两个）： 拓展提升： 3.扇形周长： 3.例1：
教后反思： 本节课是在小学已经学习过圆的周长、面积公式和初三已经学过圆的相关概念和性质基础上展开的，学生已经具备了一定的知识基础和学习能力.在编排本节课时，先从已学知识入手，为本节课的探究做好了知识准备，再通过学生自学的方式更深的了解了扇形的概念和构成，自然而然的总结得出了扇形的周长公式.紧接着安排了两个探究活动，以小组合作的方式进行，设计了问题串，由浅入深、逐层推进，并且采用了类比的方式进行，学生积极性较高，活动较为充分，效果良好.此外安排了两个例题，对学生的书写格式进行了规范，对例2及拓展提升进行了变式训练，提升了学生分析问题、解决问题的能力，还设计了两个阶段检测，及时对所学知识进行了巩固和检查.本节课也存在这一些瑕疵：（1）虽然安排了探究活动，但学生参与的不够深入，配合还需要优化；（2）对于变式训练，学生说的多做得少，没有落实到纸上；（3）课堂检测时间仓促，安排不够合理等.对策：深入教材，了解学生，优化课堂环节，详略得当，各个环节活动要合理，时间要充分，学生要投入、深入，教师点拨及时、准确、到位.