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1.2 一元二次方程的解法
本课重点 明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
（3）体会不同解法的相互的联系；
本课难点 值得注意的几个问题： ① 开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解；
② 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解；
③ 公式法：一元二次方程的根；
④ 因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
（5）选用适当方法解一元二次方程：
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程①含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；②对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
一、单选题（共10小题）
1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ）
A．9x2＝25 B．4x2﹣4x﹣3＝0 C．x2﹣3x＝0 D．x2﹣2x﹣1＝9
【答案】A
【解答】解：A、∵9x2＝25，
∴x2＝，
∴x＝±，故A可用直接开平方法．
故选：A．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
2.有下列方程：
①x2﹣2x＝0；②9x2﹣25＝0；③（2x﹣1）2＝1；④．
其中能用直接开平方法做的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：①x2﹣2x＝0，因式分解法；
②9x2﹣25＝0，直接开平方法；
③（2x﹣1）2＝1，直接开平方法；
④（x+3）2＝27，直接开平方法，
则能用直接开平方法做的是②③④．
故选：C．
【知识点】解一元二次方程-公式法
3.将一元二次方程x2﹣6x＝2化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．﹣7 B．9 C．11 D．5
【答案】C
【解答】解：方程x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11，
则k等于11，
故选：C．
【知识点】解一元二次方程-配方法
4.方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】C
【解答】解：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣5）＝0，
所以x1＝3，x2＝．
故选：C．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
5.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（ ）
A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或3
【答案】C
【解答】解：由y=x2+3x，
则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，
分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，
解得，y1=﹣3，y2=1，
当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数
当x2+3x=1时，经检验，符合题意．
故选：C．
【知识点】换元法解一元二次方程
6.已知a，b为实数，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则代数式a2+b2的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．3或﹣2
【答案】B
【解答】解：设a2+b2＝x，
原方程变形为，x2﹣x﹣6＝0，
解得x＝3或﹣2，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：B．
【知识点】换元法解一元二次方程
7.用配方法解方程x2+10x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+10）2＝9 B．（x+10）2＝16 C．（x+5）2＝9 D．（x+5）2＝16
【答案】D
【解答】解：∵x2+10x+9＝0，
∴x2+10x＝﹣9，
∴x2+10x+25＝16，
∴（x+5）2＝16．
故选：D．
【知识点】解一元二次方程-配方法
8.一元二次方程x2+6x+3＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+3）2＝6
C．（x﹣3）2＝12 D．（x﹣）2＝
【答案】B
【解答】解：∵x2+6x+3＝0，
∴x2+6x＝﹣3，
则x2+6x+9＝﹣3+9，即（x+3）2＝6，
故选：B．
【知识点】解一元二次方程-配方法
9.若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
10.《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）21教育网
A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣
【答案】B
【解答】解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
4x＝6，
x＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-公式法
二、填空题（共6小题）
11.方程x2+2x﹣2=0配方得到（x+m）2=3，则m= ．
【答案】1
【解答】解：x2+2x=2，
x2+2x+1=3，
（x+1）2=3．
所以m=1，
故答案为1．
【知识点】解一元二次方程-配方法
12.已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x＝ ．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9＝0，
这里的：x2﹣2x﹣9＝0，
这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣9，
∵△＝4+36＝40，
∴x＝＝1±．
故答案为：1±
【知识点】解一元二次方程-公式法
13.因式分解法：一元二次方程a（x﹣m）（x﹣n）＝0的根是x1＝ ，x2＝ ．
【答案】【第1空】m
【第2空】n
【解答】解：∵a（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x1＝m，x2＝n．
故答案为m，n．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
14.方程8（x+1）2＝27的解为 ﹣ ﹣﹣ ．
【解答】解：8（x+1）2＝27，
（x+1）2＝，
x+1＝，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
故答案为：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
15.一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ﹣ ．
【答案】x=-1或x=2
【解答】解：∵x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
则x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝2．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
16.若方程7（x+h）2=5（h为常数）的根是x1=﹣6，x2=1，则方程7（x+h﹣8）2=5的根是 ．
【答案】x1=2，x2=9
【解答】解：∵7（x+h）2=5（h为常数）的根是x1=﹣6，x2=1，
∴把x=1代入方程得：7（1+h）2）
解方程7（x+h）2=5得：x=﹣h±，
∵方程7（x+h）2=5（h为常数）的根是x1=﹣6，x2=1
∴﹣6=﹣h﹣，1=﹣h+，
∴方程7（x+h﹣8）2=5的解为x=8﹣h±，
所以x1=8+（﹣6）=2，x2=8+1=9，
故答案为：x1=2，x2=9．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
三、解答题（共7小题）
17.解方程：x（x+5）＝x﹣4．
【解答】解：x（x+5）＝x﹣4，
x2+5x＝x﹣4，
x2+4x+4＝0，
（x+2）2＝0，
x+2＝0，
x1＝x2＝﹣2．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
18.解方程
（1）x2﹣3x＝0
（2）2x2﹣4x﹣5＝0
（3）x（x﹣1）＝0
（4）（x﹣1）2＝3x﹣3
【解答】解：（1）x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1；
（4）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
x＝1或x﹣4＝0，
所以x1＝1，x2＝4．
【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-因式分解法
19.按要求解下列一元二次方程：
（1）2x2+3x﹣5＝0（公式法）
（2）x2﹣8x﹣1＝0（配方法）
【解答】解：（1）△＝32﹣4×2×（﹣5）＝49，
x＝，
所以x1＝1，x2＝﹣；
（2）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4＝±
所以x1＝4+，x2＝4﹣．
【知识点】解一元二次方程-公式法、解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-因式分解法
20.按要求解下列方程．
（1）2x2﹣6x+1＝0（用配方法解）
（2）9（x﹣2）2＝4（2x﹣5）2（用你喜欢的方法解）．
【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
所以，x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝，；
（2）移项得：9（x﹣2）2﹣4（2x﹣5）2＝0，
分解因式得：[3（x﹣2）+2（2x﹣5）][3（x﹣2）﹣2（2x﹣5）]＝0，
可得7x﹣16＝0或﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝4．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法
21.阅读材料，解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，①21世纪教育网版权所有
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2即x＝±．
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5即x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
解答问题：
（1）在原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的；
（2）在上面的解答过程中体现了 的数学思想．
（3）解方程x4﹣x2﹣6＝0．
【答案】【第1空】换元
【第2空】转化
【解答】解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的；
故答案是：换元；
（2）利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：转化．
（2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣2（不合题意，舍去）．
由x2＝3可得解是：x1＝，x2＝﹣，
故方程x4﹣x2﹣6＝0的解是x1＝，x2＝﹣．
【知识点】换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法
22.阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【解答】解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2，
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝12﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根，
所以原方程有两个根：x1＝﹣3，x2＝2．
【知识点】换元法解一元二次方程
23.解方程
阅读下列材料，回答所提问题后再模仿解方程：
解方程x4﹣5x2+4＝0，
这是个一元四次方程，通常通过换元，从而降次．
设x2＝y，则x4＝y2，
代入原方程化为一元二次方程：y2﹣5y+4＝0…①，
得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，得x1＝1，x2＝﹣1；
当y＝4时，x2＝4，得x3＝2，x4＝﹣2；
所以原方程的根为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
在由原方程得到方程①的过程，利用 法，达到 目的，体现了数学的换化思想．
请以上述题为例试解下列方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】【第1空】换元
【第2空】降次
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案是：换元；降次；
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法、换元法解一元二次方程
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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姓名： 班级
1.2 一元二次方程的解法
本课重点 明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
（3）体会不同解法的相互的联系；
本课难点 值得注意的几个问题： ① 开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解；
② 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解；
③ 公式法：一元二次方程的根；
④ 因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
（5）选用适当方法解一元二次方程：
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程①含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；②对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
一、单选题（共10小题）
1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ）
A．9x2＝25 B．4x2﹣4x﹣3＝0 C．x2﹣3x＝0 D．x2﹣2x﹣1＝9
2.有下列方程：
①x2﹣2x＝0；②9x2﹣25＝0；③（2x﹣1）2＝1；④．
其中能用直接开平方法做的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
3.将一元二次方程x2﹣6x＝2化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．﹣7 B．9 C．11 D．5
4.方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A． B．3
C． D．
5.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（ ）
A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或3
6.已知a，b为实数，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则代数式a2+b2的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．3或﹣2
7.用配方法解方程x2+10x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+10）2＝9 B．（x+10）2＝16 C．（x+5）2＝9 D．（x+5）2＝16
8.一元二次方程x2+6x+3＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+3）2＝6
C．（x﹣3）2＝12 D．（x﹣）2＝
9.若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
10.《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）21教育网
A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣
二、填空题（共6小题）
11.方程x2+2x﹣2=0配方得到（x+m）2=3，则m= ．
12.已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x＝ ．
13.因式分解法：一元二次方程a（x﹣m）（x﹣n）＝0的根是x1＝ ，x2＝ ．
14.方程8（x+1）2＝27的解为 ﹣ ﹣﹣ ．
15.一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ﹣ ．
16.若方程7（x+h）2=5（h为常数）的根是x1=﹣6，x2=1，则方程7（x+h﹣8）2=5的根是 ．
三、解答题（共7小题）
17.解方程：x（x+5）＝x﹣4．
18.解方程
（1）x2﹣3x＝0
（2）2x2﹣4x﹣5＝0
（3）x（x﹣1）＝0
（4）（x﹣1）2＝3x﹣3
19.按要求解下列一元二次方程：
（1）2x2+3x﹣5＝0（公式法）
（2）x2﹣8x﹣1＝0（配方法）
20.按要求解下列方程．
（1）2x2﹣6x+1＝0（用配方法解）
（2）9（x﹣2）2＝4（2x﹣5）2（用你喜欢的方法解）．
21.阅读材料，解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，①21世纪教育网版权所有
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2即x＝±．
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5即x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
解答问题：
（1）在原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的；
（2）在上面的解答过程中体现了 的数学思想．
（3）解方程x4﹣x2﹣6＝0．
22.阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
23.解方程
阅读下列材料，回答所提问题后再模仿解方程：
解方程x4﹣5x2+4＝0，
这是个一元四次方程，通常通过换元，从而降次．
设x2＝y，则x4＝y2，
代入原方程化为一元二次方程：y2﹣5y+4＝0…①，
得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，得x1＝1，x2＝﹣1；
当y＝4时，x2＝4，得x3＝2，x4＝﹣2；
所以原方程的根为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
在由原方程得到方程①的过程，利用 法，达到 目的，体现了数学的换化思想．
请以上述题为例试解下列方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
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