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1.3 根的判别式
本课重点 （1）了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
本课难点 （2）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（3）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（4）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
一、单选题（共10小题）
1.关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．π
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，
∴△＜0，即（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1，
∴c的值不能为﹣1．
故选：A．
【知识点】根的判别式
2.下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0 B．4x2﹣5x+2=0 C．3x2﹣4x+2=0 D．x2﹣4x﹣7=0
【答案】D
【解答】解：A、∵△=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
B、∵△=25﹣4×4×2=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
C、∵△=16﹣4×3×2=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
D、∵△=16﹣4×1×（﹣7）=44＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【知识点】根的判别式
3.若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
【答案】C
【解答】解：因为方程是一元二次方程，
所以m≠0，
因为方程有实数根，
所以△=16﹣12m≥0，
所以m≤
所以m≤且m≠0．
故选：C．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
4.一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
【知识点】根的判别式
5.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2且m≠1 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＜2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×1＝8﹣4m＞0，
解得：m＜2，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．
故选：A．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
6.下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】A
【解答】解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【知识点】根的判别式
7.关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【知识点】根的判别式
8.关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值花围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞1且m≠3．
故选：D．
【知识点】一元二次方程的定义、根的判别式
9.关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解答】解：m2x2﹣8mx+12＝0，
△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解、根的判别式
10.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．ac≠0
【答案】B
【解答】解：A、方程M有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；21cnjy.com
B、因为方程M和方程N有一个相同的根，则（a﹣c）x2＝a﹣c，解得x＝±1，故本选项符合题意；
C、因为5是方程M的一个根，则25a+5b+c＝0，即c+b+a＝0，所以是方程N的一个根，故本选项不符合题意；2·1·c·n·j·y
D、根据一元二次方程的定义得到a≠0，c≠0，则ac≠0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【知识点】根的判别式
二、填空题（共6小题）
11.如果方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
【答案】m＞9
【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＜0，
解得m＞9．
故选B．
【知识点】根的判别式
12.如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k＝0，
解得k＝．
故答案为．
【知识点】根的判别式
13.若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根，则k的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4k2＞0，
解得k＜．
故答案为k＜．
【知识点】根的判别式
14.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】k＜2且k≠1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
15.关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则满足条件的k的代数和为 ．
【答案】-1
【解答】解：①当k＝0时，原方程化为：﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣，故k＝0符合题意；
②当k≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＝4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵k为非正整数，k≠0，
∴k＝﹣1．
∴满足条件的k的代数和为﹣1．
故答案为：﹣1．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
16.已知关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个的实数根，则k的取值范围是 ﹣ ．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个的实数根，
∴k≠0且△＝（﹣）2﹣4k×1≥0且3k+1≥0，
解得：﹣≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣k≤1且k≠0．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
三、解答题（共7小题）
17.关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+m＝﹣1，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．
【解答】解：原方程化为：mx2﹣（m﹣1）x+m+1＝0，
由题意可知：△＝（m﹣1）2﹣4m×（m+1）＝1，
∴m＝0（舍去）或m＝﹣2，
∴原方程为：﹣2x2+3x﹣1＝0，
∴x＝或x＝1．
【知识点】一元二次方程的定义、解一元二次方程-公式法、根的判别式
18.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴，
解得：m≥且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
19.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根为负数，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵△＝m2﹣4×（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x＝﹣1或x＝﹣m+1，
若方程只有一个根为负数，则﹣m+1≥0，解得m≤1．
故m的取值范围为m≤1．
【知识点】根的判别式
20.判断关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根的情况，并直接写出关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根及相应的m的取值范围．21·世纪*教育网
【解答】解：当m＝0时，方程化为﹣x+3＝0，解得x＝3；
当m≠0时，当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＞0，解得m＜，方程的解为x1＝，x2＝；www-2-1-cnjy-com
当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＝0，解得m＝，方程的解为x1＝x2＝7；
当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＜0，解得m＞，方程没有实数解．
综上所述，当m＝0时，x＝3；当m＜且m≠0，x1＝，x2＝；当m＝，x1＝x2＝7；当m＞，方程没有实数解．2-1-c-n-j-y
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义、根的判别式
21.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．21*cnjy*com
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x+1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
【解答】解：（1）2x2﹣2x+1＝0，
解得x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
【知识点】解一元二次方程-公式法、解一元二次方程-因式分解法、根的判别式
22.已知关于x的一元二次方程．
（1）若x＝1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b＝a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得a+b+＝0；
（2）△＝b2﹣4a×＝b2﹣2a，
∵b＝a+1，
∴△＝（a+1）2﹣2a
＝a2+2a+1﹣2a
＝a2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（3）∵方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣2a＝0，即b2＝2a，
取a＝2，b＝2，
则方程为2x2+2x+＝0，
解得x1＝x2＝﹣．
【知识点】根的判别式
23.已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．21教育网
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根a．求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．
【解答】解：（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+≠0且△1＝0，即（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）＝0，则（k+2）（k+4）＝0，解此方程得k1＝﹣2，k2＝﹣4，21·cn·jy·com
而k+2≠0，
∴k＝﹣4，
当k＝﹣4时，方程②变形为：x2﹣7x+5＝0，解得x1＝，x2＝；
（2）∵△2＝（2k+1）2+4（2k+3）＝4k2+12k+13＝（2k+3）2+4＞0，
∴无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，
∴（1+）a2+（k+2）a﹣1＝0 ③，
a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0④，
由（③﹣④）×2得ka2＝2（k﹣1）a﹣4k﹣4⑤，
由④得：a2＝﹣（2k+1）a+2k+3⑥，
将⑤、⑥代入，原式＝ka2+4ak﹣2k+3a2+5a＝2（k﹣1）a﹣4k﹣4+4ak﹣2k﹣3（2k+1）a+6k+9+5a＝5．www.21-cn-jy.com
【知识点】根的判别式
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1.3 根的判别式
本课重点 （1）了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
本课难点 （2）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（3）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（4）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
一、单选题（共10小题）
1.关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．π
2.下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0 B．4x2﹣5x+2=0 C．3x2﹣4x+2=0 D．x2﹣4x﹣7=0
3.若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
4.一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2且m≠1 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＜2
6.下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7.关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8.关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值花围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
9.关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．ac≠0
二、填空题（共6小题）
11.如果方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
12.如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
13.若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根，则k的取值范围是 ．
14.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
15.关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则满足条件的k的代数和为 ．
16.已知关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个的实数根，则k的取值范围是 ﹣ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共7小题）
17.关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+m＝﹣1，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．
18.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．21cnjy.com
19.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根为负数，求m的取值范围．
20.判断关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根的情况，并直接写出关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根及相应的m的取值范围．21教育网
21.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．21·cn·jy·com
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x+1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
22.已知关于x的一元二次方程．
（1）若x＝1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b＝a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．
23.已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．www.21-cn-jy.com
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根a．求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．
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