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姓名： 班级
1.4 一元二次方程的根与系数的关系
本课重点 1.根与系数的关系：如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
本课难点 2.韦达定理（根与系数的关系）：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)3. 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．4. 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．5.其他：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．若，则方程必有实数根．若，方程不一定有实数根．若，则必有一根．若，则必有一根．
一、单选题（共10小题）
1.方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（ ）
A．﹣6 B．5 C．﹣5 D．1
2.下列方程中，两个实数根的和为0的是（ ）
A．x2﹣x＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3.已知α，β满足α+β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+6x+8＝0 B．x2﹣6x+8＝0 C．x2﹣6x﹣8＝0 D．x2+6x﹣8＝0
4.关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（ ）
A．﹣6 B．2 C．4 D．1
5.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
6.若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．﹣2020 D．4040
7.已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
8.已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个．21世纪教育网版权所有
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
10.已知a，b，c是实数常数，关于x的二次方程ax2+bx+c＝0的两个非零实根为x1，x2，则下列关于x的二次方程中，以，为实根的是（ ）21·cn·jy·com
A．c2x2﹣（b2﹣2ac）x+a2＝0 B．c2x2+（b2﹣2ac）x+a2＝0
C．c2x2﹣（b2﹣2ac）x﹣a2＝0 D．c2x2+（b2﹣2ac）x﹣a2＝0
二、填空题（共6小题）
11.已知x2+2x+1＝0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为 ．
12.若x1与x2一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ﹣ ．
13.已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是 ．
14.阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2008＝ ．www.21-cn-jy.com
15.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是 ．
16.已知x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2=3，，则m= n= ﹣1 ．2·1·c·n·j·y
三、解答题（共7小题）
17.已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣1=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．
18.已知sina、cosa是方程4x2﹣2（1+）x+＝0的两根，求sin2a+cos2a的值．【来源：21·世纪·教育·网】
19.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
（1）x12+x22；
（2）+．
20.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．21教育网
21.阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1 x2＝．www-2-1-cnjy-com
应用：
（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1 x2＝ ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
22.韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝，阅读下面应用韦达定理的过程：21cnjy.com
若一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×1＝24＞0
由韦达定理可得，x1+x2＝﹣＝﹣＝2，x1 x2＝＝＝﹣
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣）
＝5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2＝0的两根分别为α，β，且α2+β2＝4，求k的值．2-1-c-n-j-y
23.如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，那么就有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．21·世纪*教育网
如：2x2+2x﹣5＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣．
（1）如果方程2x2﹣mx+n＝0的两根为x1、x2，且满足x1+x2＝2，x1 x2＝﹣，则m＝ ，n＝ ﹣ ；
（2）已知a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根，求a2+b2的最大值．
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姓名： 班级
1.4 一元二次方程的根与系数的关系
本课重点 1.根与系数的关系：如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
本课难点 2.韦达定理（根与系数的关系）：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)3. 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．4. 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．5.其他：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．若，则方程必有实数根．若，方程不一定有实数根．若，则必有一根．若，则必有一根．
一、单选题（共10小题）
1.方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（ ）
A．﹣6 B．5 C．﹣5 D．1
【答案】B
【解答】解：设方程的两根是x1、x2，那么有
x1+x2＝﹣＝﹣（﹣5）＝5．
故选：B．
【知识点】根与系数的关系
2.下列方程中，两个实数根的和为0的是（ ）
A．x2﹣x＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】C
【解答】解：x2﹣x＝0的两个实数根的和为1；
x2+2x＝0的两个实数根的和为﹣2；
x2﹣1＝0的两个实数根的和为0；
x2﹣2x+1＝0的两个实数根的和为2．
故选：C．
【知识点】根与系数的关系
3.已知α，β满足α+β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+6x+8＝0 B．x2﹣6x+8＝0 C．x2﹣6x﹣8＝0 D．x2+6x﹣8＝0
【答案】B
【解答】解：∵α+β＝6，且αβ＝8，
∴以α，β为两根的一元二次方程可为：x2﹣6x+8＝0，
故选：B．
【知识点】根与系数的关系
4.关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（ ）
A．﹣6 B．2 C．4 D．1
【答案】C
【解答】解：设方程的另外一个根为x2，
根据题意，得：1+x2＝5，
解得x2＝4，
∴方程的另外一根为4，
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解、根与系数的关系
5.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
【答案】C
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵△＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
【知识点】根的判别式、根与系数的关系
6.若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．﹣2020 D．4040
【答案】A
【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2020＝0的根，
∴α2+2α﹣2020＝0，
即α2＝﹣2α+2020，
∴α2+3α+β＝﹣2α+2020+3α+β
＝α+β+2020，
∵α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，
∴α2+3α+β＝﹣2+2020＝2018．
故选：A．
【知识点】根与系数的关系、一元二次方程的定义
7.已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【答案】B
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、根与系数的关系、换元法解一元二次方程
8.已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，21世纪教育网版权所有
∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．
∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，
∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴x1+x1＝﹣，
整理得：d＝a（x2﹣x1）．
故选：B．
【知识点】根与系数的关系
9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个．21教育网
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴，x2＝﹣q，
∴，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，
若x1＝2x2，则，
即，
∴，
∴，
∴，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，
则，
∴，
∴，
∴，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解、根与系数的关系、根的判别式
10.已知a，b，c是实数常数，关于x的二次方程ax2+bx+c＝0的两个非零实根为x1，x2，则下列关于x的二次方程中，以，为实根的是（ ）21·cn·jy·com
A．c2x2﹣（b2﹣2ac）x+a2＝0 B．c2x2+（b2﹣2ac）x+a2＝0
C．c2x2﹣（b2﹣2ac）x﹣a2＝0 D．c2x2+（b2﹣2ac）x﹣a2＝0
【答案】A
【解答】解：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，则+＝＝， ＝，
从而该方程为x2﹣x+＝0，化简得c2x2﹣（b2﹣2ac）x+a2＝0．
故选：A．
【知识点】根与系数的关系
二、填空题（共6小题）
11.已知x2+2x+1＝0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为 ．
【答案】1
【解答】解：根据题意得x1 x2＝1．
故答案为1．
【知识点】根与系数的关系
12.若x1与x2一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ﹣ ．
【答案】【第1空】6
【第2空】-15
【解答】解：根据题意得：
x1+x2＝6，
x1x2＝﹣15，
故答案为：6，﹣15．
【知识点】根与系数的关系
13.已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是 ．
【解答】解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣6，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣．
故答案为x1＝﹣1，x2＝﹣．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、根与系数的关系、换元法解一元二次方程
14.阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0；创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2008＝ ．www.21-cn-jy.com
【答案】2019
【解答】解：∵m，n满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，且m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，n2＝n+3，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴2n2﹣mn+2m+2008＝2（n+3）﹣mn+2m+2008＝2（m+n）﹣mn+2014＝2×1﹣（﹣3）+2014＝2019．2·1·c·n·j·y
故答案为：2019．
【知识点】根与系数的关系
15.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是 ．
【答案】0
【解答】解：∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣，
∴＝﹣1或＝﹣4，
∴m+n＝0，4m+n＝0，
∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，
故答案是：0．
【知识点】根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程-因式分解法
16.已知x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2=3，，则m= n= ﹣1 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=n，b2﹣4ac=m﹣4n≥0，即m≥4n，
化简得：x12+x22+（x1+x2）2=2（x1+x2）2﹣2x1x2=2m﹣2n=3①，+===5②，21·世纪*教育网
由①得：2m=2n+3③，
③代入②整理得：（5n﹣3）（n+1）=0，解得：n=或﹣1，
当n=时，m=（不合题意，舍去）；当n=﹣1时，m=，
则m=，n=﹣1．
故答案为：；﹣1
【知识点】根与系数的关系
三、解答题（共7小题）
17.已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣1=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：，
解得：，
所以m的值为﹣，方程的另一个根为﹣．
【知识点】根与系数的关系、一元二次方程的解
18.已知sina、cosa是方程4x2﹣2（1+）x+＝0的两根，求sin2a+cos2a的值．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵sina、cosa是方程4x2﹣2（1+）x+＝0的两根，
∴sina+cosa＝，sina cosa＝，
∴sin2a+cos2a＝（sina+cosa）2﹣2sina cosa＝（）2﹣2×＝1．
【知识点】根与系数的关系
19.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
（1）x12+x22；
（2）+．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1．
∴（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11；
（2）+＝＝＝﹣3．
【知识点】根与系数的关系
20.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
【解答】解：（1）把x＝1代入方程得1+2m﹣1+m2＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
∵α、β是方程的两个实数根，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∴m≤；
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
【知识点】根的判别式、根与系数的关系
21.阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1 x2＝．21*cnjy*com
应用：
（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1 x2＝ ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【答案】【第1空】2
【第2空】1
【解答】解：（1）x1+x2＝2，x1 x2＝1；
故答案为：2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的解、根与系数的关系
22.韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝，阅读下面应用韦达定理的过程：【来源：21cnj*y.co*m】
若一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×1＝24＞0
由韦达定理可得，x1+x2＝﹣＝﹣＝2，x1 x2＝＝＝﹣
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣）
＝5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2＝0的两根分别为α，β，且α2+β2＝4，求k的值．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）∵一元二次方程的△＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝＝；
（2）由根与系数的关系知：＝﹣k﹣1，αβ＝＝k﹣1，
α2+β2＝（（α+β）2﹣2αβ＝（k+1）2﹣2（k﹣1）＝k2+3
∴k2+3＝4，
∴k＝±1，
∵k﹣1≠0
∴k≠1，
∴k＝﹣1，
将k＝﹣1代入原方程：﹣2x2+4＝0，
△＝32＞0，
∴k＝﹣1成立，
∴k的值为﹣1．
【知识点】根与系数的关系
23.如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，那么就有：x1+x2＝﹣，x1 x2＝；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．21cnjy.com
如：2x2+2x﹣5＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣．
（1）如果方程2x2﹣mx+n＝0的两根为x1、x2，且满足x1+x2＝2，x1 x2＝﹣，则m＝ ，n＝ ﹣ ；
（2）已知a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根，求a2+b2的最大值．
【答案】【第1空】4
【第2空】-1
【解答】解：（1）∵x1+x2＝2，x1 x2＝﹣，
∴＝2，＝﹣，
解得m＝4，n＝﹣1；
故答案是：4；﹣1；
（2）∵a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根，
∴a+b＝k﹣2，ab＝k2+3k+5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（k﹣2）2﹣2k2﹣6k+10，
＝﹣（k+5）2+39≤39．
又△＝[﹣（k﹣2）]2﹣4（k2+3k+5）≥0，
∴﹣4≤k≤﹣，
∴当k＝﹣4时，
∴a2+b2的最大值是18．
【知识点】根的判别式、根与系数的关系
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