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姓名： 班级
1.1 一元二次方程
本课重点 （1）理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式。
本课难点 （2）正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 ① 明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 ② 各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). ③ 熟练整理方程的过程。
（3）一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解。
一、单选题（共10小题）
1.下列各式计算正确的是（ ）
A．﹣2a+5b＝3ab B．6a+a＝6a2
C．4x2﹣2x2＝2 D．3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2
【答案】D
【解答】解：A、﹣2a+5b≠3ab，故错误；
B、6a+a＝7a，故错误；
C、4x2﹣2x2＝2x2，故错误；
D、3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2，故正确；
故选：D．
【知识点】一元二次方程的解
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
【答案】B
【解答】解：A、x2+＝2，含有分式，不合题意；
B、x2﹣5x﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x2﹣2x﹣3，是二次三项式，不是方程；
D、2x﹣y＝0，是二元一次方程，不合题意．
故选：B．
【知识点】一元二次方程的定义
3.把方程2（x2+1）=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是（ ）
A．8 B．9 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：2（x2+1）=5x，
2x2+2﹣5x=0，
2x2﹣5x+2=0，
这里a=2，b=﹣5，c=2，
即a+b+c=2+（﹣5）+2=﹣1，
故选：D．
【知识点】一元二次方程的一般形式
4.把方程（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，化成一般形式后，二次项系数、一次项系数分别为（ ）
A．4、﹣26 B．﹣4、26 C．4、22 D．﹣4、﹣22
【答案】A
【解答】解：方程（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，
化为一般形式，得4x2﹣26x+22＝0
所以二次项系数、一次项系数分别为4和﹣26．
故选：A．
【知识点】一元二次方程的一般形式
5.方程x2﹣＝（﹣）x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．1+﹣2
【答案】D
【解答】解：先将方程x2﹣＝（﹣）x化为一般形式，为x2﹣（﹣）x＝0；
然后确定各项的次数：其二次项系数为1，一次项系数为﹣（﹣），常数项为﹣．
其和为：1﹣（﹣）﹣＝1+﹣2．
故选：D．
【知识点】一元二次方程的一般形式
6.关于x2＝﹣2的说法，正确的是（ ）
A．由于x2≥0，故x2不可能等于﹣2，因此这不是一个方程
B．x2＝﹣2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C．x2＝﹣2是一个一元二次方程且有解
D．x2＝﹣2是一个一元二次方程，但无解
【答案】D
【解答】解：
A、x2＝﹣2符合一元二次方程的形式，故是方程；
B、x2＝﹣2是一个方程，二次项是x2，是一元二次方程；
C、x2＝﹣2符合一元二次方程的形式，但是无解；
D、正确．
故选：D．
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义
7.已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9
【答案】C
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解
8.关于x的方程（a﹣3）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣3 C．a≠3且a≠0 D．a≠3
【答案】D
【解答】解：∵方程（a﹣3）x2+ax+b=0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0，
∴a≠3，
故选：D．
【知识点】一元二次方程的定义
9.已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：∵a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，
∴2a2﹣4a﹣3＝0，
整理得，2a2﹣4a＝3，
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解
10.两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵a≠0，c≠0，
∴＝﹣1，
∴x2+x+＝0，x2+x+1＝0，
∴x2+x﹣1＝0，x2﹣x﹣1＝0，
∵x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴x＝2是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴x＝﹣2是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
即x＝﹣2时方程cx2+bx+a＝0的一个根
故选：D．
【知识点】一元二次方程的解
二、填空题（共6小题）
11.写出有一个根为3的一元二次方程： ﹣3x=0 ．
【答案】x2-3x=0
【解答】解：要使一元二次方程的一个根是3，
则此方程满足（x﹣3）（x﹣a）=0的形式，
当a=0时，方程为：
x2﹣3x=0．
故本题的答案可以是：x2﹣3x=0．
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义
12.关于x的方程是一元二次方程，则a= ．
【答案】3
【解答】解：由题意得：
，
解得：a=3．
故答案为：a=3．
【知识点】一元二次方程的定义
13.方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次的一般形式是 8x﹣2=0
【答案】5x2+8x-2=0
【解答】解：原方程化为一般形式是：5x2+8x﹣2=0，
故答案是：5x2+8x﹣2=0．
【知识点】一元二次方程的一般形式
14.把2x2﹣1=6x化成一般形式为 ﹣6x﹣1=0 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ﹣6 ，常数项为 ﹣1 ．21世纪教育网版权所有
【答案】【第1空】2x2-6x-1=0
【第2空】2
【第3空】-6
【第4空】-1
【解答】解：方程整理得：2x2﹣6x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣1．
故答案为：2x2﹣6x﹣1=0；2；﹣6；﹣1．
【知识点】一元二次方程的一般形式
15.关于x的方程（a﹣1）x2+（a2﹣1）x+2＝0是一元二次方程的条件是 ．
【答案】a≠1
【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得a≠1．
【知识点】一元二次方程的定义
16.已知a是关于方程2x2+x﹣1＝0的一个根．则（1）代数式4a2+2a+2015＝ ；（2）求2a3+a2+2015﹣a＝ ；（3）求2﹣+2018＝ ．21教育网
【答案】【第1空】2017
【第2空】2015
【第3空】2018
【解答】解：∵a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，
∴2a2+a﹣1＝0，
∴2a2+a＝1，﹣＝﹣2，
（1）4a2+2a+2015＝2（2a2+a）+2015＝2×1+2015＝2017；
（2）2a3+a2+2015﹣a＝a（2a2+a）+2015﹣a＝a+2015﹣a＝2015；
（3）2﹣+2018＝2﹣2+2018＝2018．
故答案为：2017；2015；2018．
【知识点】一元二次方程的解
三、解答题（共7小题）
17.已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
【知识点】一元二次方程的解
18.若关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣2a﹣1＝0是二次方程，求a的值．
【解答】解：依题意得：a﹣1≠0，
解得a≠1．
【知识点】一元二次方程的定义
19.解方程：
（1）x2＝x+12
（2）2（x+3）2＝x（x+3）
【解答】解：（1）x2＝x+12，
移项得：x2﹣x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，
则x﹣4＝0，x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
（2）2（x+3）2＝x（x+3），
移项得：2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（2x+6﹣x）＝0，
整理得：（x+3）（x+6）＝0，
则x+3＝0，x+6＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．
【知识点】一元二次方程的解
20.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2＝0的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式（m2﹣m） （m﹣+1）的值．
【解答】解：（1）由于x|a|﹣1﹣x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，所以|a|﹣1＝2，
解得：a＝±3；
（2）由（1）知，该方程为x2﹣x﹣2＝0，
把x＝m代入，得
m2﹣m＝2，①
又因为m2﹣1﹣＝0，
所以m﹣＝1，②
把①②代入（m2﹣m） （m﹣+1），得
（m2﹣m） （m﹣+1）＝2×（1+1）＝4，即（m2﹣m） （m﹣+1）＝4．
【知识点】一元二次方程的定义
21.判断下列方程是否是关于x的一元二次方程？若是，请将其化为一般形式并指出其二次项系数，一次项系数及常数项；若不是，请指出其是一元二次方程的条件：21cnjy.com
（1）ax2+2bx＝；
（2）3x2+2mx＝6；
（3）（b2+1）x2﹣bx+b＝2；
（4）mx2+2mx＝x2+m﹣1．
【解答】解：（1）ax2+2bx＝，当a＝0时，不是一元二次方程，当a≠0时是一元二次方程；
（2）3x2+2mx＝6是一元二次方程，
一般形式：3x2+2mx﹣6＝0，
二次项系数3，一次项系数2m，常数项﹣6；
（3）（b2+1）x2﹣bx+b＝2是一元二次方程，
一般式：（b2+1）x2﹣bx+b﹣2＝0，
二次项系数b2+1，一次项系数﹣b，常数项b﹣2；
（4）mx2+2mx＝x2+m﹣1，当m＝1时，不是一元二次方程，当m≠1时是一元二次方程．
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
22.教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．21·cn·jy·com
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2＝0；②﹣x2+x+2＝0；③x2﹣2x＝4；④﹣x2+2x+4＝0；⑤x2﹣2x﹣4＝0．
（2）方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？www.21-cn-jy.com
【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式．2·1·c·n·j·y
（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x＝2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．【来源：21·世纪·教育·网】
答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．
【知识点】一元二次方程的一般形式
23.请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝．
把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ﹣﹣ ；21·世纪*教育网
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】y2-y-2=0
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y
把x＝﹣y代入已知方程，得（﹣y）2+（﹣y）﹣2＝0．
化简得y2﹣y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣y﹣2＝0，
（2）设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝．
把x＝代入已知方程，得2（）2﹣7 +3＝0．
化简得3y2﹣7y+2＝0，
即所求方程为3y2﹣7y+2＝0．
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的一般形式
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姓名： 班级
1.1 一元二次方程
本课重点 （1）理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式。
本课难点 （2）正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 ① 明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 ② 各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). ③ 熟练整理方程的过程。
（3）一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解。
一、单选题（共10小题）
1.下列各式计算正确的是（ ）
A．﹣2a+5b＝3ab B．6a+a＝6a2
C．4x2﹣2x2＝2 D．3ab2﹣5ab2＝﹣2ab2
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝2 B．x2﹣5x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．2x﹣y＝0
3.把方程2（x2+1）=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是（ ）
A．8 B．9 C．﹣2 D．﹣1
4.把方程（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，化成一般形式后，二次项系数、一次项系数分别为（ ）
A．4、﹣26 B．﹣4、26 C．4、22 D．﹣4、﹣22
5.方程x2﹣＝（﹣）x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．1+﹣2
6.关于x2＝﹣2的说法，正确的是（ ）
A．由于x2≥0，故x2不可能等于﹣2，因此这不是一个方程
B．x2＝﹣2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C．x2＝﹣2是一个一元二次方程且有解
D．x2＝﹣2是一个一元二次方程，但无解
7.已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9
8.关于x的方程（a﹣3）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣3 C．a≠3且a≠0 D．a≠3
9.已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
10.两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0．如果x＝2是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
二、填空题（共6小题）
11.写出有一个根为3的一元二次方程： ﹣3x=0 ．
12.关于x的方程是一元二次方程，则a= ．
13.方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次的一般形式是 8x﹣2=0
14.把2x2﹣1=6x化成一般形式为 ﹣6x﹣1=0 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ﹣6 ，常数项为 ﹣1 ．21教育网
15.关于x的方程（a﹣1）x2+（a2﹣1）x+2＝0是一元二次方程的条件是 ．
16.已知a是关于方程2x2+x﹣1＝0的一个根．则（1）代数式4a2+2a+2015＝ ；（2）求2a3+a2+2015﹣a＝ ；（3）求2﹣+2018＝ ．21cnjy.com
三、解答题（共7小题）
17.已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．
18.若关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣2a﹣1＝0是二次方程，求a的值．
19.解方程：
（1）x2＝x+12
（2）2（x+3）2＝x（x+3）
20.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2＝0的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式（m2﹣m） （m﹣+1）的值．
21.判断下列方程是否是关于x的一元二次方程？若是，请将其化为一般形式并指出其二次项系数，一次项系数及常数项；若不是，请指出其是一元二次方程的条件：21·cn·jy·com
（1）ax2+2bx＝；
（2）3x2+2mx＝6；
（3）（b2+1）x2﹣bx+b＝2；
（4）mx2+2mx＝x2+m﹣1．
22.教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．www.21-cn-jy.com
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2＝0；②﹣x2+x+2＝0；③x2﹣2x＝4；④﹣x2+2x+4＝0；⑤x2﹣2x﹣4＝0．
（2）方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？2·1·c·n·j·y
23.请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝．
把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ﹣﹣ ；21世纪教育网版权所有
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
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