12章 数的开方导学案（6课时）
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12.1.1平方根导学案（第1课时）
学习目标：
了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根及算术平方根。
能用平方运算求某些数的平方根，在此基础上总结平方根的性质。
重点：平方根及算术平方根的概念及表示。
难点：能用分类讨论的方法总结平方根的性质。
学习过程：一、自主学习：
自探（一）：1、请你试一试：
（1）要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
（2）如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？
2、针对上述两个问题，若把所求的结果设为x,把已知数25、16抽象为a,请你运用方程的思想概括这两个问题： ，请你参阅课本把所求的数x起一个名字： 。
3、由此你理解平方根的概念吗？请写出这个概念：
。
自探（二）：1、填空：①∵( )2=4,∴4的平方根是 。
②∵( )2=100，∴ 100的平方根是 。
③∵( )2=，∴ 的平方根是 。
2、思考：-13是196的平方根吗？±0.01是0.1的平方根吗？
3、由此你能总结出检验或寻找一个数的平方根的办法吗？
答： 。
自探（三）： 1、求下列各数的平方根：144，0，（写出解答过程）
2、思考：-9有没有平方根？为什么？
3、由此你能总结出平方根的性质吗？（按正数、零、负数分类回答）
。
自探（四）：请同学们参阅课本回答下列问题：
1、什么叫算术平方根？如何记作？如何读作？答：
试一试：0.25的算术平方根记作 ；0.25的算术平方根是0.5记作
2、符号“”表示什么意思？a叫做什么？a的取值范围是什么？
答：
试一试：0.81的平方根记作 ，0.81的平方根是±0.9记作 。
3、零的算术平方根是 ，这句话用数学式子表达为 。
4、（a≥0）是 。 A.正数 B.零 C.负数 D.非负数
总结：1.正数有 的算术平方根。 0的算术平方根是 。负数
2.对于：a 0
0
二、合作交流：
1、下列各数: 0, (-3)2, -(-9), - -4 , 3.14- , x2+1中, 有平方根的数的个数是( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2、一个数的平方根是它本身，这个数是 ，一个数的算术平方根是它本身，这个数是 。
3、下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：
⑴ 16的平方根是 ±4; ⑵ ±7是49的平方根 ; ⑶ 112的平方根是11;
⑷ -9是81的平方根; ⑸ 52的平方根是±25; ⑹ -9的平方根是 -3;
⑺ 0的平方根是 0; ⑻ 有一个平方根为-2的数是-4; ⑼ 只有一个平方根的数是0;
(10) －a没有平方根; (11) 把一个数先平方再开平方得原数.
4、平方得的数是_____; 64开平方得____;-6是____的平方根; (-9)2 的平方根是____.
5、一个正数的平方根是2m-1与-m+2,求m的值及这个正数。
三、探究拓展：
若和互为相反数，求x+4y的算术平方根。
四、巩固提高
1、下列各数中没有平方根的是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
2、 2的平方根是 ；的平方根是 ；6.25的算术平方根是 。
3、用数学式子表示“的平方根是”应是（ ）
A． B． C． D．
4、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
5、已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
6、求下列各数的平方根及算术平方根。
2.25, 625， ， , , , 15
7、已知的平方根是±5，的平方根是，求x+y的值。
8、若一个非负数的平方根为和,求这个数。
12.1.1平方根导学案（第2课时）
学习目标：
1、了解开平方的概念，会用数学符号语言表达开平方运算。
2、会利用计算器求一个非负数的算术平方根。
重点：会利用平方与开平方这个互逆运算关系求非负数的平方根及算术平方根。
难点：会用数学符号语言表达开平方运算。
学法指导：读议展练相结合。
学习过程：一、自主学习：
自探1、阅读下文，尝试解决下列问题：
求49的平方根有下列两种方法：
方法一: 解∵，∴49的平方根为±7，即。
方法二：解∵，∴，因此49的平方根为±7，即。
像这样，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
问题1：由此你能感悟到平方与开平方是一种 运算关系。
问题2：仿照方法一或方法二将下列各数开平方：(1)324;（2）1.69；（3）;
问题3：求一个非负数的算术平方根与“开平方”有区别吗？求289的算术平方根。(用数学符号语言表达)
问题4：求下列各式的值：(1)；（2）；（3）
自探2、阅读课本P4例3学习实践用计算器求非负数的算术平方根。
用计算器计算下列各式：（1）= ；（2）= ；
（3）= （精确到0.01）；（4 ）= （精确到0.01）。
二、合作交流：
1.若x的平方根是±2，则= 。
2.一个自然数的算术平方根为a，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. B. a+1 C. D.
3.求下列等式中x的值:
(1); (2);（3）(x-2)2=121; (4）4（3x+1）2-1=0；
4. 请用计算器探究：在哪两个整数之间？3.1＜＜3.2正确吗？ 在哪两个数之间？（这两个数均精确到0.01）
5、已知2m比25的算术平方根大1,求m的值.
三、探究拓展：已知有理数a满足，求a的值。
四、巩固提高：
1、的平方根是 ；= 。
2.若，则x= ; 若,则x= .
3.将下列各数开平方：（1）； （2）0.36 （3）
4.求下列各式的值：（1）；（2） ；（3）；（4）
5.估算的值应在（ ）。
Ａ7.0～7.5之间 Ｂ6.5～7.0之间 Ｃ7.5～8.0之间 Ｄ8.0～8.5之间
6.借助计算器可以求出：（1） ；（2） ;
(3) ;(4) ;…仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 。
7、已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，求的值。
8、若，求的值。
9、若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
12.1.2立方根导学案（第3课时）
学习目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2、能用立方运算求某些数的立方根，在此基础上，理解立方根的性质。
重点：立方根的概念及性质。
难点：能用分类讨论的方法总结立方根的性质。。
学法指导：读议展练相结合。
学习过程：一、自主学习：
自探（一）：1、请你试一试：
（1）现有一只体积为216的正方体纸盒，它的棱长是多少？
（2）如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
2、针对上述两个问题，若把所求的结果设为x,把已知数216、8抽象为a,请你运用方程的思想概括这两个问题： ，请你参阅课本把所求的数x起一个名字： 。
3、由此你理解立方根的概念吗？请写出这个概念：
。
自探（二）：1、填空：①∵( )3=1, ∴1的立方根是 。
②∵( )3=64， ∴ 64的立方根是 。
③∵( )3= ，∴ 的立方根是 。
2、思考：-2是8的立方根吗？-0.1是0.001的立方根吗？
3、由此你能总结出检验或寻找一个数的立方根的办法吗？
答： 。
自探（三）： 1、求下列各数的立方根：27，0，（写出解答过程）
2、思考：下列各数：-8，-27，-0.001有没有立方根？若有，请分别求出; 若没有，请说明理由。
3、由此你能总结出立方根的性质吗？（按先分类再总述的方式回答）
。
自探（四）：请同学们参阅课本回答下列问题：
1、数a的立方根如何记作？如何读作？a，3分别叫做什么？，a的取值范围是什么？
答：
。
试一试：216的立方根记作 ；-8的立方根是-2记作 。
2、是 。 A.正数 B.零 C.负数 D.任意数
二、合作交流：
1、下列说法：（1）8有立方根，是2，但没有平方根；（2）-16没有平方根，但有立方根；（3）一个数只有一个立方根；（4）-64的立方根是-4，记作.其中不正确的有 个。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、一个数的立方根是它本身，这个数是 。
3、若，则x与y的关系是 。
4、判断下面的说法是否正确：
(1)任意数a的立方根有1个。 （2） －3是27的负的立方根
(3)（－1）的立方根是－1。 (4)64的立方根是4。
(5)的立方根是2。 (6)如果＝a，则a＝0。
5、求下列各数的立方根。
(1) 0.125 （2）－ （3）10 （4）
三、探究拓展：
若和互为相反数，求的值。
四、巩固提高
1、-0.027的立方根是 ；的立方根是 。
2、“-1000的立方根是-10”的数学表达式是（ ）
A. B. C. D.
3、的立方根的相反数是（ ）A. 2 B. -2 C. D. -4
4、平方根与立方根相等的数有 。
5、估计68的立方根的大小，在（ ）
A. 2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
6、将棱长是8cm的正方体钢锭熔化，重新铸造成8个小正方体钢锭，则每个小正方体的棱长是多少？
7、若求的值。
12.1.2立方根导学案（第4课时）
学习目标：1、了解开立方的概念，会用数学符号语言表达开立方运算。
2、会利用计算器求一个数的立方根。
重点：会利用立方与开立方这个互逆运算关系求一个数的立方根。
难点：会用数学符号语言表达开立方运算。
学习过程：一、自主学习：
自探1、阅读下文，尝试解决下列问题：
求的立方根的方法是：
解：∵，∴的立方根是 ，即。
像这样，求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
问题1：由此你能感悟到立方与开立方是一种 运算关系。
问题2：仿照上面方法将下列各数开立方：(1);（2）-125；（3）-0.008;
问题3： 的含义相同吗？值相等吗？
问题4：求下列各式的值：(1)；（2）；（3）
问题5：小明同学非常爱观察，阅读该文后，发现了你知道他采用了 的办法得到这个等式的。那么，你能否受此启发证明等式：，请你试一试。
自探2、阅读课本P6例5，学习实践用计算器求一个数的立方根。
用计算器计算下列各式：（1）= ；（2）= ；
（3）= （精确到0.01）；（4 ）= （精确到0.01）。
二、合作交流：
1.一个数的平方根为，则这个数的立方根是 。
2.求下列等式中x的值:(1) x＋729＝0; (2)；（3）
3.已知： （1）试总结其规律。
（2）若，根据其规律，求
4、若与互为相反数，求的立方根.
三、探究拓展：
已知的平方根是，的立方根是。求的立方根
四、巩固提高：
1．的立方根是 ；= ；的平方根是 ；
2.写出两个立方根在－1与0之间的数 。
3. 求下列各式的值：
（1） （2） （3）
（4） （5）.
4． 观察下列等式并完成填空：
；聪明的你请把你所发现的规律用公式表达出来： 。
5． 已知+|b3－27|=0,求(a－b)b的立方根.
6．当时，试求的平方根及立方根。
7．已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根
8.已知和为同一个正数的两个平方根，求的值。
9.已知，且,求的值。
归纳小结：
1、平方根与立方根的联系与区别. 联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0. (2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.
(4)被开方数的取值范围不同：±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
12．2.实数与数轴（第5课时）
学习目标
1、了解无理数、实数的概念和实数的分类；知道实数与数轴上的点一一对应。
2、让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程。通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力；渗透数形结合及分类的思想。
学习重点：了解无理数、实数的意义和实数的分类
难点：正确理解无理数的意义以及实数与数轴上的点一一对应。
学习过程
1、剪一剪，拼一拼
如何把两个边长为1的小正方形分别沿着它的对角线剪开然后拼成一个大正方形呢？则大正方形的边长为多少呢？
2、议一议
可能是整数吗？ 可能是分数吗？对于这个熟悉而又陌生的，它到底是什么样数呢？
3、做一做（1）用计算器求；
（2）利用平方关系验算所得的结果。根据学生演算的结果提出问题：你知道产生这种错误的原因吗？
4、教师展示的结果。
明确：在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数。 那么它是一个怎样的数呢？还有没有其它的数与它具有的特征相同呢？
明确：我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必是有限小数或者无限循环小数。
问题：请同学们把下列各数写成小数的形式。（或另外任写出三个分数试一试）
，
而从前面计算机演示的结果说明很显然不是一个有理数，它是一个无限不循环小数；类似地，、圆周率π也都不是有理数，它们都是无限不循环小数。
（给出无理数及实数的定义 ）
问题：你还知道哪些数是无理数吗
明确：无理数也像有理数一样广泛存在着,无理数也有正负之分。
给出实数的分类。（树状图显示）
问题：你能在数轴上找到表示的点吗？画图试试看。
问题：在数轴上能够找到表示的点，这说明一个什么问题？
概括：数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，换句话说，实数与数轴上的点一一对应。
课堂练习：1 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由。
(1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限不循环小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数( )
(5)带根号的数都是无理数.( ) (6)有理数都是有限小数.( )
(7)有理数与数轴上的点成一一对应关系.( )
2、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
有理数集：
无理数集：
课堂测试 一、选择题
1. 给下列说法：① －6是36的一个平方根 ② 16 的平方根是4 ③ －=2 ④是无理数⑤一个无理数不是正数就是负数， 其中正确的说法有（ ）
A. ①③⑤ B.②④ C.①③ D. ①
2.和数轴的点一一对应的数是（ ）
A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D.实数
3.在实数1.4142135，0.3030030003……（相邻两个3之间的0的个数逐次加1）， － ， ，中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B.2个C.3个 D.4个
4.数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A. 代入法 B. 换元法 C. 数形结合 D. 分类讨论
5.下列说法不正确但是（ ）
A.有限小数好无限循环小数都是有理数B.和都是无限不循环小数，因此它们都是无理数C.无理数都是像、……等开方不尽倒数D. 不是分数
6 如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7.若圆的半径为有理数，则其面积为（ ） A.有理数B.无理数C.正整数D.正分数
8.如果a是实数，那么下列各式一定为负数的是（ ） A. –a 2B.-（a+1）2 C.-D.--1
9.若a、b为实数时，下列说法正确的是（ ）
A.若，则a=b B.若a＞b ，则a2＞b2 C.a2=b2 ，则a=b D.若=，则a=b
10.实数a、b在数轴上位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A. 2a-b B. b C. -b D. -2a+b
二、填空题
11.无限小数包括 和 ，其中 是无理数。
12.数轴上表示-的点到原点的距离是 ，数轴上表示3.14的点在表示的点的 侧。
13.在-，，-，0，-，，中，属于有理数的是
，属于无理数都是 。
三、解答题
14.同学们知道是一个无理数，它是一个无限不循环小数，且1﹤﹤2，把1叫做的整数部分，-1叫做小数部分，利用上面内容，你能确定下列无理数的整数部分与小数部分吗？
（1） （2） （3）
第12章 数的开方复习 学案
一、知识要点：
1.平方根:若 x2 = a, 则x叫做a的平方根.记作x = ± （a≥0）
算术平方根:正数a的正的平方根;记作 （a≥0）
[注意]：当a≥0时，≥0
性质：（1）正数有两个平方根，且互为相反数。
（2）零只有一个平方根。 （3）负数没有平方根。
2.立方根:若 x3 = a, x叫做a的立方根.记作x =
性质：（1）任何数都只有一个立方根；
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。
3、实数与数轴
（1）无限不循环小数叫无理数。
如：， ，，π， ， ,2.030030003……等。
（2）有理数与无理数统称为实数。
①按定义分类： ②按大小分类:
（3）实数与数轴上的点一一对应。
4、实数的性质与运算
（1）实数a的相反数为﹣a （2）若a为非零实数，则a的倒数为
（3）若a表示实数，则a的绝对值为
a （a > 0）
=∣ a ∣= 0 （ a = 0 ）
－a （a < 0）
(4) 有理数范围内的数的性质、运算法则和运算律在实数范围内全部适用。
二、随堂练习：
填表
实数 平方根 算术平方根 立方根 平方 相反数 倒数
0.81
16
正数a
在相应的格内打“√”
0.101001001……
实数
有理数
无理数
分数
填空
⑴ 9的平方根是_____，算术平方根是_____，的平方根是_____，算术平方根是_____。
⑵________的算术平方根是，－2是_______的平方根，是_______的算术平方根。
⑶平方根是本身的数有________，立方根是本身的数有_______,算术平方根是本身的数有________。
⑷如果一个有理数的算术平方根和立方根相同，那么这个数是___________。
⑸若，。
⑹若互为相反数，则x=_________,y=__________。
⑺大于的最小整数是_________，小于的最大整数是_________。
⑻写出一个界于3和4之间的无理数__________。
⑼已知。 ⑽ 化简＝____________。
⑾ 。。 ⑿ 。
⒀ , ⒁的整数部分是__________，小数部分是_________。
⒂ －2是___________的一个平方根，则这个数的算术平方根是_____________。
⒃ 观察_______________。
判断，若错误，请改正。
⑴无限小数是无理数________________ ⑵无理数是无限小数__________________
⑶带根号的数是无理数_________________⑷无理数都是带根号的数__________________
⑸有理数与无理数的和或积一定是无理数____________⑹无理数与无理数的和或积一定是无理数__________________
⑺任何一个数都有立方根和平方根____________________⑻有些数没有立方根_______________________
⑼一个数的立方根有两个，他们互为相反数_____________⑽一个数的立方根必与这个数的平方根同号________________
⑾无理数可分为正无理数，零，负无理数_______________⑿数轴上的每一个点都与实数一一对应_______________________
⒀ 若实数a有立方根，则a为非负数_______________ ⒁的算术平方根是－4___________________
⒂互为相反数的两数的立方根不是互为相反数__________
选择
①若a＝－2+2×(-3), ,,则a, b, c的大小关系是（ ）
（A) a>b>c （B) b>a>c （C) c>a>b （D) a>c>b
②是一个无理数，则a一定是一个（ ）
（A）非负实数 （B） 负实数 （C）正有理数 （D）非完全平方数
③对于有理数的值是（ ）
（A）0 （B）2005 （C）－2005 （D）
⑤下列各式中，无论x取任何实数都没有意义的是( )
(A) （B) （C) （D)
计算
① ② ③（借助计算器）
④在中，请计算有理数的和与无理数的积的差（精确到0.001）
⑤解方程 ⑥
⑦计算（结果保留4个有效数字）
7、解答:（1）、若一个正数m的平方根是3x-10 和 2x-5，求这个正数m。
（2）、若y=++7，求 a + y 的平方根及立方根。
（3）、已知△ABC的三边为a、b、c，且a和ｂ满足 ，求c的取值范围。
（4）、若a是的整数部分，是的整数部分，求 a-b 的平方根。
8、观察
…………
你能得到什么结论？用得到的结论计算
数轴上A,B分别表示实数，求A,B两点之间的距离
利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数
具有双重非负性
实数
正实数
0
负实数
学习目标：
了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根及算术平方根。
能用平方运算求某些数的平方根，在此基础上总结平方根的性质。
重点：平方根及算术平方根的概念及表示。
难点：能用分类讨论的方法总结平方根的性质。
学习过程：一、自主学习：
自探（一）：1、请你试一试：
（1）要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
（2）如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？
2、针对上述两个问题，若把所求的结果设为x,把已知数25、16抽象为a,请你运用方程的思想概括这两个问题： ，请你参阅课本把所求的数x起一个名字： 。
3、由此你理解平方根的概念吗？请写出这个概念：
。
自探（二）：1、填空：①∵( )2=4,∴4的平方根是 。
②∵( )2=100，∴ 100的平方根是 。
③∵( )2=，∴ 的平方根是 。
2、思考：-13是196的平方根吗？±0.01是0.1的平方根吗？
3、由此你能总结出检验或寻找一个数的平方根的办法吗？
答： 。
自探（三）： 1、求下列各数的平方根：144，0，（写出解答过程）
2、思考：-9有没有平方根？为什么？
3、由此你能总结出平方根的性质吗？（按正数、零、负数分类回答）
。
自探（四）：请同学们参阅课本回答下列问题：
1、什么叫算术平方根？如何记作？如何读作？答：
试一试：0.25的算术平方根记作 ；0.25的算术平方根是0.5记作
2、符号“”表示什么意思？a叫做什么？a的取值范围是什么？
答：
试一试：0.81的平方根记作 ，0.81的平方根是±0.9记作 。
3、零的算术平方根是 ，这句话用数学式子表达为 。
4、（a≥0）是 。 A.正数 B.零 C.负数 D.非负数
总结：1.正数有 的算术平方根。 0的算术平方根是 。负数
2.对于：a 0
0
二、合作交流：
1、下列各数: 0, (-3)2, -(-9), - -4 , 3.14- , x2+1中, 有平方根的数的个数是( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2、一个数的平方根是它本身，这个数是 ，一个数的算术平方根是它本身，这个数是 。
3、下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：
⑴ 16的平方根是 ±4; ⑵ ±7是49的平方根 ; ⑶ 112的平方根是11;
⑷ -9是81的平方根; ⑸ 52的平方根是±25; ⑹ -9的平方根是 -3;
⑺ 0的平方根是 0; ⑻ 有一个平方根为-2的数是-4; ⑼ 只有一个平方根的数是0;
(10) －a没有平方根; (11) 把一个数先平方再开平方得原数.
4、平方得的数是_____; 64开平方得____;-6是____的平方根; (-9)2 的平方根是____.
5、一个正数的平方根是2m-1与-m+2,求m的值及这个正数。
三、探究拓展：
若和互为相反数，求x+4y的算术平方根。
四、巩固提高
1、下列各数中没有平方根的是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
2、 2的平方根是 ；的平方根是 ；6.25的算术平方根是 。
3、用数学式子表示“的平方根是”应是（ ）
A． B． C． D．
4、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
5、已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
6、求下列各数的平方根及算术平方根。
2.25, 625， ， , , , 15
7、已知的平方根是±5，的平方根是，求x+y的值。
8、若一个非负数的平方根为和,求这个数。
12.1.1平方根导学案（第2课时）
学习目标：
1、了解开平方的概念，会用数学符号语言表达开平方运算。
2、会利用计算器求一个非负数的算术平方根。
重点：会利用平方与开平方这个互逆运算关系求非负数的平方根及算术平方根。
难点：会用数学符号语言表达开平方运算。
学法指导：读议展练相结合。
学习过程：一、自主学习：
自探1、阅读下文，尝试解决下列问题：
求49的平方根有下列两种方法：
方法一: 解∵，∴49的平方根为±7，即。
方法二：解∵，∴，因此49的平方根为±7，即。
像这样，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
问题1：由此你能感悟到平方与开平方是一种 运算关系。
问题2：仿照方法一或方法二将下列各数开平方：(1)324;（2）1.69；（3）;
问题3：求一个非负数的算术平方根与“开平方”有区别吗？求289的算术平方根。(用数学符号语言表达)
问题4：求下列各式的值：(1)；（2）；（3）
自探2、阅读课本P4例3学习实践用计算器求非负数的算术平方根。
用计算器计算下列各式：（1）= ；（2）= ；
（3）= （精确到0.01）；（4 ）= （精确到0.01）。
二、合作交流：
1.若x的平方根是±2，则= 。
2.一个自然数的算术平方根为a，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. B. a+1 C. D.
3.求下列等式中x的值:
(1); (2);（3）(x-2)2=121; (4）4（3x+1）2-1=0；
4. 请用计算器探究：在哪两个整数之间？3.1＜＜3.2正确吗？ 在哪两个数之间？（这两个数均精确到0.01）
5、已知2m比25的算术平方根大1,求m的值.
三、探究拓展：已知有理数a满足，求a的值。
四、巩固提高：
1、的平方根是 ；= 。
2.若，则x= ; 若,则x= .
3.将下列各数开平方：（1）； （2）0.36 （3）
4.求下列各式的值：（1）；（2） ；（3）；（4）
5.估算的值应在（ ）。
Ａ7.0～7.5之间 Ｂ6.5～7.0之间 Ｃ7.5～8.0之间 Ｄ8.0～8.5之间
6.借助计算器可以求出：（1） ；（2） ;
(3) ;(4) ;…仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 。
7、已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，求的值。
8、若，求的值。
9、若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
12.1.2立方根导学案（第3课时）
学习目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2、能用立方运算求某些数的立方根，在此基础上，理解立方根的性质。
重点：立方根的概念及性质。
难点：能用分类讨论的方法总结立方根的性质。。
学法指导：读议展练相结合。
学习过程：一、自主学习：
自探（一）：1、请你试一试：
（1）现有一只体积为216的正方体纸盒，它的棱长是多少？
（2）如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
2、针对上述两个问题，若把所求的结果设为x,把已知数216、8抽象为a,请你运用方程的思想概括这两个问题： ，请你参阅课本把所求的数x起一个名字： 。
3、由此你理解立方根的概念吗？请写出这个概念：
。
自探（二）：1、填空：①∵( )3=1, ∴1的立方根是 。
②∵( )3=64， ∴ 64的立方根是 。
③∵( )3= ，∴ 的立方根是 。
2、思考：-2是8的立方根吗？-0.1是0.001的立方根吗？
3、由此你能总结出检验或寻找一个数的立方根的办法吗？
答： 。
自探（三）： 1、求下列各数的立方根：27，0，（写出解答过程）
2、思考：下列各数：-8，-27，-0.001有没有立方根？若有，请分别求出; 若没有，请说明理由。
3、由此你能总结出立方根的性质吗？（按先分类再总述的方式回答）
。
自探（四）：请同学们参阅课本回答下列问题：
1、数a的立方根如何记作？如何读作？a，3分别叫做什么？，a的取值范围是什么？
答：
。
试一试：216的立方根记作 ；-8的立方根是-2记作 。
2、是 。 A.正数 B.零 C.负数 D.任意数
二、合作交流：
1、下列说法：（1）8有立方根，是2，但没有平方根；（2）-16没有平方根，但有立方根；（3）一个数只有一个立方根；（4）-64的立方根是-4，记作.其中不正确的有 个。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、一个数的立方根是它本身，这个数是 。
3、若，则x与y的关系是 。
4、判断下面的说法是否正确：
(1)任意数a的立方根有1个。 （2） －3是27的负的立方根
(3)（－1）的立方根是－1。 (4)64的立方根是4。
(5)的立方根是2。 (6)如果＝a，则a＝0。
5、求下列各数的立方根。
(1) 0.125 （2）－ （3）10 （4）
三、探究拓展：
若和互为相反数，求的值。
四、巩固提高
1、-0.027的立方根是 ；的立方根是 。
2、“-1000的立方根是-10”的数学表达式是（ ）
A. B. C. D.
3、的立方根的相反数是（ ）A. 2 B. -2 C. D. -4
4、平方根与立方根相等的数有 。
5、估计68的立方根的大小，在（ ）
A. 2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
6、将棱长是8cm的正方体钢锭熔化，重新铸造成8个小正方体钢锭，则每个小正方体的棱长是多少？
7、若求的值。
12.1.2立方根导学案（第4课时）
学习目标：1、了解开立方的概念，会用数学符号语言表达开立方运算。
2、会利用计算器求一个数的立方根。
重点：会利用立方与开立方这个互逆运算关系求一个数的立方根。
难点：会用数学符号语言表达开立方运算。
学习过程：一、自主学习：
自探1、阅读下文，尝试解决下列问题：
求的立方根的方法是：
解：∵，∴的立方根是 ，即。
像这样，求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
问题1：由此你能感悟到立方与开立方是一种 运算关系。
问题2：仿照上面方法将下列各数开立方：(1);（2）-125；（3）-0.008;
问题3： 的含义相同吗？值相等吗？
问题4：求下列各式的值：(1)；（2）；（3）
问题5：小明同学非常爱观察，阅读该文后，发现了你知道他采用了 的办法得到这个等式的。那么，你能否受此启发证明等式：，请你试一试。
自探2、阅读课本P6例5，学习实践用计算器求一个数的立方根。
用计算器计算下列各式：（1）= ；（2）= ；
（3）= （精确到0.01）；（4 ）= （精确到0.01）。
二、合作交流：
1.一个数的平方根为，则这个数的立方根是 。
2.求下列等式中x的值:(1) x＋729＝0; (2)；（3）
3.已知： （1）试总结其规律。
（2）若，根据其规律，求
4、若与互为相反数，求的立方根.
三、探究拓展：
已知的平方根是，的立方根是。求的立方根
四、巩固提高：
1．的立方根是 ；= ；的平方根是 ；
2.写出两个立方根在－1与0之间的数 。
3. 求下列各式的值：
（1） （2） （3）
（4） （5）.
4． 观察下列等式并完成填空：
；聪明的你请把你所发现的规律用公式表达出来： 。
5． 已知+|b3－27|=0,求(a－b)b的立方根.
6．当时，试求的平方根及立方根。
7．已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根
8.已知和为同一个正数的两个平方根，求的值。
9.已知，且,求的值。
归纳小结：
1、平方根与立方根的联系与区别. 联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0. (2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.
(4)被开方数的取值范围不同：±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
12．2.实数与数轴（第5课时）
学习目标
1、了解无理数、实数的概念和实数的分类；知道实数与数轴上的点一一对应。
2、让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程。通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力；渗透数形结合及分类的思想。
学习重点：了解无理数、实数的意义和实数的分类
难点：正确理解无理数的意义以及实数与数轴上的点一一对应。
学习过程
1、剪一剪，拼一拼
如何把两个边长为1的小正方形分别沿着它的对角线剪开然后拼成一个大正方形呢？则大正方形的边长为多少呢？
2、议一议
可能是整数吗？ 可能是分数吗？对于这个熟悉而又陌生的，它到底是什么样数呢？
3、做一做（1）用计算器求；
（2）利用平方关系验算所得的结果。根据学生演算的结果提出问题：你知道产生这种错误的原因吗？
4、教师展示的结果。
明确：在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数。 那么它是一个怎样的数呢？还有没有其它的数与它具有的特征相同呢？
明确：我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必是有限小数或者无限循环小数。
问题：请同学们把下列各数写成小数的形式。（或另外任写出三个分数试一试）
，
而从前面计算机演示的结果说明很显然不是一个有理数，它是一个无限不循环小数；类似地，、圆周率π也都不是有理数，它们都是无限不循环小数。
（给出无理数及实数的定义 ）
问题：你还知道哪些数是无理数吗
明确：无理数也像有理数一样广泛存在着,无理数也有正负之分。
给出实数的分类。（树状图显示）
问题：你能在数轴上找到表示的点吗？画图试试看。
问题：在数轴上能够找到表示的点，这说明一个什么问题？
概括：数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，换句话说，实数与数轴上的点一一对应。
课堂练习：1 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由。
(1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限不循环小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数( )
(5)带根号的数都是无理数.( ) (6)有理数都是有限小数.( )
(7)有理数与数轴上的点成一一对应关系.( )
2、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
有理数集：
无理数集：
课堂测试 一、选择题
1. 给下列说法：① －6是36的一个平方根 ② 16 的平方根是4 ③ －=2 ④是无理数⑤一个无理数不是正数就是负数， 其中正确的说法有（ ）
A. ①③⑤ B.②④ C.①③ D. ①
2.和数轴的点一一对应的数是（ ）
A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D.实数
3.在实数1.4142135，0.3030030003……（相邻两个3之间的0的个数逐次加1）， － ， ，中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B.2个C.3个 D.4个
4.数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A. 代入法 B. 换元法 C. 数形结合 D. 分类讨论
5.下列说法不正确但是（ ）
A.有限小数好无限循环小数都是有理数B.和都是无限不循环小数，因此它们都是无理数C.无理数都是像、……等开方不尽倒数D. 不是分数
6 如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7.若圆的半径为有理数，则其面积为（ ） A.有理数B.无理数C.正整数D.正分数
8.如果a是实数，那么下列各式一定为负数的是（ ） A. –a 2B.-（a+1）2 C.-D.--1
9.若a、b为实数时，下列说法正确的是（ ）
A.若，则a=b B.若a＞b ，则a2＞b2 C.a2=b2 ，则a=b D.若=，则a=b
10.实数a、b在数轴上位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A. 2a-b B. b C. -b D. -2a+b
二、填空题
11.无限小数包括 和 ，其中 是无理数。
12.数轴上表示-的点到原点的距离是 ，数轴上表示3.14的点在表示的点的 侧。
13.在-，，-，0，-，，中，属于有理数的是
，属于无理数都是 。
三、解答题
14.同学们知道是一个无理数，它是一个无限不循环小数，且1﹤﹤2，把1叫做的整数部分，-1叫做小数部分，利用上面内容，你能确定下列无理数的整数部分与小数部分吗？
（1） （2） （3）
第12章 数的开方复习 学案
一、知识要点：
1.平方根:若 x2 = a, 则x叫做a的平方根.记作x = ± （a≥0）
算术平方根:正数a的正的平方根;记作 （a≥0）
[注意]：当a≥0时，≥0
性质：（1）正数有两个平方根，且互为相反数。
（2）零只有一个平方根。 （3）负数没有平方根。
2.立方根:若 x3 = a, x叫做a的立方根.记作x =
性质：（1）任何数都只有一个立方根；
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。
3、实数与数轴
（1）无限不循环小数叫无理数。
如：， ，，π， ， ,2.030030003……等。
（2）有理数与无理数统称为实数。
①按定义分类： ②按大小分类:
（3）实数与数轴上的点一一对应。
4、实数的性质与运算
（1）实数a的相反数为﹣a （2）若a为非零实数，则a的倒数为
（3）若a表示实数，则a的绝对值为
a （a > 0）
=∣ a ∣= 0 （ a = 0 ）
－a （a < 0）
(4) 有理数范围内的数的性质、运算法则和运算律在实数范围内全部适用。
二、随堂练习：
填表
实数 平方根 算术平方根 立方根 平方 相反数 倒数
0.81
16
正数a
在相应的格内打“√”
0.101001001……
实数
有理数
无理数
分数
填空
⑴ 9的平方根是_____，算术平方根是_____，的平方根是_____，算术平方根是_____。
⑵________的算术平方根是，－2是_______的平方根，是_______的算术平方根。
⑶平方根是本身的数有________，立方根是本身的数有_______,算术平方根是本身的数有________。
⑷如果一个有理数的算术平方根和立方根相同，那么这个数是___________。
⑸若，。
⑹若互为相反数，则x=_________,y=__________。
⑺大于的最小整数是_________，小于的最大整数是_________。
⑻写出一个界于3和4之间的无理数__________。
⑼已知。 ⑽ 化简＝____________。
⑾ 。。 ⑿ 。
⒀ , ⒁的整数部分是__________，小数部分是_________。
⒂ －2是___________的一个平方根，则这个数的算术平方根是_____________。
⒃ 观察_______________。
判断，若错误，请改正。
⑴无限小数是无理数________________ ⑵无理数是无限小数__________________
⑶带根号的数是无理数_________________⑷无理数都是带根号的数__________________
⑸有理数与无理数的和或积一定是无理数____________⑹无理数与无理数的和或积一定是无理数__________________
⑺任何一个数都有立方根和平方根____________________⑻有些数没有立方根_______________________
⑼一个数的立方根有两个，他们互为相反数_____________⑽一个数的立方根必与这个数的平方根同号________________
⑾无理数可分为正无理数，零，负无理数_______________⑿数轴上的每一个点都与实数一一对应_______________________
⒀ 若实数a有立方根，则a为非负数_______________ ⒁的算术平方根是－4___________________
⒂互为相反数的两数的立方根不是互为相反数__________
选择
①若a＝－2+2×(-3), ,,则a, b, c的大小关系是（ ）
（A) a>b>c （B) b>a>c （C) c>a>b （D) a>c>b
②是一个无理数，则a一定是一个（ ）
（A）非负实数 （B） 负实数 （C）正有理数 （D）非完全平方数
③对于有理数的值是（ ）
（A）0 （B）2005 （C）－2005 （D）
⑤下列各式中，无论x取任何实数都没有意义的是( )
(A) （B) （C) （D)
计算
① ② ③（借助计算器）
④在中，请计算有理数的和与无理数的积的差（精确到0.001）
⑤解方程 ⑥
⑦计算（结果保留4个有效数字）
7、解答:（1）、若一个正数m的平方根是3x-10 和 2x-5，求这个正数m。
（2）、若y=++7，求 a + y 的平方根及立方根。
（3）、已知△ABC的三边为a、b、c，且a和ｂ满足 ，求c的取值范围。
（4）、若a是的整数部分，是的整数部分，求 a-b 的平方根。
8、观察
…………
你能得到什么结论？用得到的结论计算
数轴上A,B分别表示实数，求A,B两点之间的距离
利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数
具有双重非负性
实数
正实数
0
负实数