沪科新版 2021-2022学年九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则cosB的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（　　）
A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小
C．tanα随α的增大而增大 D．0＜sinα＜1
4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
6．等于（　　）
A． B．2 C．3 D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题
11．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长　 　．
12．已知α为锐角，sin（90°﹣α）＝0.625，则cosα＝　 　．
13．若，则锐角α＝　 　．
14．用科学计算器计算：373cos81°23'≈　 　．（结果精确到1）
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为　 　．
16．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于　 　．
17．若∠A是锐角，cosA＞，则∠A应满足　 　．
18．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝　 　．
19．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　 　．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是　 　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．计算：
（1）cos30°+sin45°；
（2）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA cosA的值．
25．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝．
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，得cosB＝＝，
故选：D．
3．解：A、若0°＜α＜90°，则sinα随α的增大而增大，正确；
B、若0°＜α＜90°，则cosα随α的减小而增大，错误；
C、若0°＜α＜90°，则tanα随α的增大而增大，正确；
D、0＜sinα＜1，正确；
故选：B．
4．解：由sinA＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，
结合a2+b2＝c2得b＝4x；
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
5．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26°．
故选：D．
6．解：原式＝2×+
＝+
＝2．
故选：A．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得
AB＝＝5．
cosA＝＝，
故选：A．
8．解：由sinB＝，可设∠B的对边是3k，斜边是5k．
则∠B的邻边是4k．
∴tanA＝＝．
故选：D．
9．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
10．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵cosA＝，
∴AC＝AB cosA＝8×＝6，
∴BC＝＝＝2．
故答案是：2．
12．解：∵sin（90°﹣α）＝0.625，
∴cosα＝0.625．
13．解：由题意得，tan（α+10°）＝，
又∵tan30°＝，
∴α+10°＝30°，
解得：α＝20°．
故答案为：20°．
14．解：用科学计算器计算：
373cos81°23'
≈50653×0.1498
≈7588．
故答案为：7588．
15．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，
∴cosB＝＝＝，
解得：BC＝4．
故答案为：4．
16．解：
设小正方形的边长为1，
过C作CF⊥AB于F，
由勾股定理得：AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝2，
由三角形面积公式得：AB×CF＝BC×AE，
2×CF＝2×2，
解得：CF＝，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AF＝＝
tan∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
17．解：∵cos30°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜30°．
18．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
故答案为：．
19．解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
20．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：（1）把cos30°＝，sin45°＝，代入得：原式＝×+×＝；
（2）tan30°＝，sin60°＝，sin45°＝代入得：原式＝6×﹣×﹣2×＝﹣．
23．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
24．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA cosA＝×＝．
答：sinA cosA的值为．
25．解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．