人教版八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习试卷（word版含答案）

人教版八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，点M在线段BC上，点E和N在线段AC上，EM∥AB，BE和MN分别平分∠ABC和∠EMC．下列结论中不正确的是（　　）
A．∠MBE＝∠MEB B．MN∥BE
C．S△BEM＝S△BEN D．∠MBN＝∠MNB
4．如图，AE∥BF，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若CD＝6，则点P到AB的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
6．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
9．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　）
A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90°
C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点
10．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
二．填空题（共10小题）
11．如图，△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，有以下结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③BO＝EO；④S△ABE＝S△BEC．其中正确的有　 　（填序号）．
12．△ABC的周长为8，面积为10，若点O是各内角平分线的交点，则点O到AB的距离为　 　．
13．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF＝13，PE＝12，PF＝5．点P到EF的距离为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD＝5，AB＝6，若△ACD的面积为10，则△ABC的面积为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，CA＝25，三条角平分线相交于点P，则点P到AC的距离是　 　．
17．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确的结论是　 　．
18．如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE＝DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF．若AE＝4cm，则AG＝　 　cm．
19．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM＝6cm，则点P到AB的距离为　 　．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足是E，BF∥AC交ED的延长线于F点．若BC恰好平分∠ABF，且AB＝13，S△ABD＝39，则EF＝　 　．
三．解答题（共8小题）
21．如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD＝36°，求∠BDC的度数．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，求证：OA⊥OC．
24．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
25．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
26．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
27．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
28．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：A．
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×5×4+×AC×4＝8，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×5×4+×AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
3．如图，点M在线段BC上，点E和N在线段AC上，EM∥AB，BE和MN分别平分∠ABC和∠EMC．下列结论中不正确的是（　　）
A．∠MBE＝∠MEB B．MN∥BE
C．S△BEM＝S△BEN D．∠MBN＝∠MNB
【分析】根据题意可以推导出题目中的各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EM∥AB，BE和MN分别平分∠ABC和∠EMC，
∴∠MEB＝∠ABE，∠ABC＝∠EMC，∠ABE＝∠MBE，∠EMN＝∠NMC，
∴∠MEB＝∠MBE（故A正确），∠EBM＝∠NMC，
∴MN∥BE（故B正确），
∴MN和BE之间的距离处处相等，
∴S△BEM＝S△BEN（故C正确），
∵∠MNB＝∠EBN，而∠EBN和∠MBN的关系不知，
∴∠MBN和∠MNB的关系无法确定，故D错误，
故选：D．
4．如图，AE∥BF，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若CD＝6，则点P到AB的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】如图作PH⊥AB于H．理由角平分线的性质定理证明PD＝PH＝PC，即可解决问题；
【解答】解：如图作PH⊥AB于H．
∵PA平分∠BAE，PH⊥AB，PD⊥AE，
∴PH＝PD，
同法可证：PH＝PC，
∴PC＝PD＝3，
∴点P到AB的距离是3，
故选：B．
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH＝DE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
6．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故选：B．
7．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ＝PR，即可得出答案．
【解答】解：
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，
∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，
∴PQ＝PW，PW＝PR，
∴PR＝PQ，
∵点P到AC的距离为3，
∴PQ＝PR＝3，
则点P到AB的距离为3，
故选：C．
8．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
【分析】根据图形的画法得出OE是∠AOB的角平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A、OE是∠AOB的平分线，A正确；
B、OC＝OD，B正确；
C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；
D、∠AOE＝∠BOE，D正确．
故选：C．
9．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　）
A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90°
C．与∠CBO互余的角有2个 D．点O是CD的中点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD＝AE，BC＝BE，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝OE，∠AOE＝∠AOD，同理可得OC＝OE，∠BOC＝∠BOE，然后求出∠AOB＝90°，然后对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，
∴AD＝AE，BC＝BE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AD+BC，故A选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴OD＝OE，∠AOE＝∠AOD，
同理可得OC＝OE，∠BOC＝∠BOE，
∴∠AOB＝×180°＝90°，故B选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；
∵OC＝OD＝OE，
∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选：C．
10．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．如图，△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，有以下结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③BO＝EO；④S△ABE＝S△BEC．其中正确的有　①④　（填序号）．
【分析】根据三角形的角平分线、中线的概念判断即可．
【解答】解：∵△ABC的角平分线AD与中线BE交于点O，
∴AO是△ABE的角平分线，①正确；
BO是△ABC的中线，
∴AE＝EC，
∴S△ABE＝S△BEC，④正确；
BO不是△ABD的中线，②错误；
BO≠EO，③错误；
故答案为：①④．
12．△ABC的周长为8，面积为10，若点O是各内角平分线的交点，则点O到AB的距离为　2.5　．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得点O到AB、BC、AC的距离相等，设为h，然后利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：∵△ABC内角平分线相交于点O，
∴点O到AB、BC、AC的距离相等，设为h，
∴S△ABC＝×8 h＝10，
解得h＝2.5，
即点O到AB边的距离为2.5．
故答案为：2.5．
13．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF＝13，PE＝12，PF＝5．点P到EF的距离为　　．
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到三角形PEF为直角三角形，利用面积法即可求出P到EF的距离．
【解答】解：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，
∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，即∠P＝90°，
∴△PEF为直角三角形，
∵EF＝13，PE＝12，PF＝5，
设P到EF的距离为d，根据面积法得：PE PF＝EF d，
∴d＝＝，
故答案为：．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是　30　．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，
故答案为：30．
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD＝5，AB＝6，若△ACD的面积为10，则△ABC的面积为　12　．
【分析】作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，根据三角形的面积公式求出CF，根据角平分线的性质得到CE＝CF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
由题意得，×AD×CF＝10，
解得CF＝4，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝4，
∴△ABC的面积＝×AB×CE＝12，
故答案为：12．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，CA＝25，三条角平分线相交于点P，则点P到AC的距离是　3　．
【分析】根据题意，画出图形，由角平分线的性质结合直角三角形的性质求解．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25，
∵点P是△ABC角平分线的交点，
∴P是三角形的内心，
设P到AC的距离是r，
则（7+24+25）r＝7×24，
解得r＝3．
∴点P到AC的距离是3，
故答案为：3
17．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确的结论是　①②③④　．
【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CPA＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．
【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH＝∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN＝PH，同理PM＝PH，
∴PN＝PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，
，
∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，
∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，
∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，
在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，
∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，
∵∠BPN＝∠CPA＝60°，
∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确，
故答案为：①②③④．
18．如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE＝DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF．若AE＝4cm，则AG＝　2或6　cm．
【分析】由AE＝4且F为AE的中点知AF＝EF＝2cm，证Rt△DEF≌Rt△DHG得EF＝HG＝2cm，证Rt△ADE≌Rt△ADH得AH＝AE＝4cm，分点G在AH和CH上分别求解可得．
【解答】解：∵AE＝4cm、F为AE的中点，
∴AF＝EF＝2cm，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠DEF＝∠DHG＝90°，即△DEF和△DHG均为直角三角形，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
∵，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴EF＝HG＝2cm，
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AH＝AE＝4cm，
如图，
当点G在AH上时，AG＝AH﹣HG＝2cm；
当点G在CH上时，AG＝AH+HG＝6cm；
故答案为：2或6．
19．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM＝6cm，则点P到AB的距离为　6cm　．
【分析】过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PN＝PM，PQ＝PN，从而得到PQ＝PM，代入数据即可得解．
【解答】解：如图，过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，
∵PB、PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴PN＝PM，PQ＝PN，
∴PQ＝PM，
∵PM＝6cm，
∴PQ＝6cm，
即点P到AB的距离为6cm．
故答案为：6cm．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足是E，BF∥AC交ED的延长线于F点．若BC恰好平分∠ABF，且AB＝13，S△ABD＝39，则EF＝　12　．
【分析】过D作DG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到DE＝DG，根据平行线的性质得到∠F＝90°，得到DF＝DG，求得EF＝2DG，根据三角形的面积得到DG＝6，于是得到结论．
【解答】解：过D作DG⊥AB于G，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DE＝DG，
∵BF∥AC，
∴∠F+∠DEA＝180°，
∴∠F＝90°，
∴DF＝DG，
∴EF＝2DG，
∵AB＝13，S△ABD＝39，
∴DG＝6，
∴EF＝12，
故答案为：12．
三．解答题（共8小题）
21．如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD＝36°，求∠BDC的度数．
【分析】根据角平分线定义得出∠DAF＝∠CAD＝36°，利用三角形的内角和和平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠FAB的角平分线AD，∠CAD＝36°，
∴∠DAF＝∠CAD＝36°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣36°＝54°，
∵EF∥GH，
∴∠ADB＝∠DAF＝36°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝54°﹣36°＝18°．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
23．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，求证：OA⊥OC．
【分析】利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OB＝OE，
在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
24．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
25．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
【分析】过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件∠ADC+∠EBC＝180°证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF＝EB，问题可得解．
【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
在△AFC和△AEC中，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ADC+∠EBC＝180°
∴∠FDC＝∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
∴△FDC≌△EBC（AAS）
∴DF＝EB，
∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE
∴2AE＝AB+AD
26．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
【分析】过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM＝PN、PQ＝PN，从而得到PM＝PQ．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，垂足分别为M、N、Q，
∵∠ABC、∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P．
∴PM＝PN，PQ＝PN，
∴PM＝PQ，
∴P在∠A的平分线上．
27．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【分析】（1）过P作PF⊥BE于F，由于BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，则根据角平分线的性质即可得到PH＝PF＝5cm；
（2）连接AP，如图，根据角平分线的性质得PF＝PD，则PD＝PH，于是根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分∠HAD．
【解答】（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，
∴PH＝PF＝5cm，
∴点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：连接AP，如图，
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，
∴PF＝PD，
∴PD＝PH，
∴AP平分∠HAD．
28．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN＝180°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，于是得到结论；
（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC＝∠AEF，BF＝BD，等量代换即可得到结论；
（3）延长AE交BD于F，根据等腰三角形的性质得到AB＝BF＝5，AE＝EF，根据全等三角形的性质得到DF＝AC＝3，设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，根据S△ABE﹣S△ACE＝2，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE与△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE，
∴∠AEC＝∠AEF，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，
∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE与△BDE中，
，
∴△BFE≌△BDE，
∴BF＝BD，
∵AB＝AF+BF，
∴AC+BD＝AB；
（3）延长AE交BD于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
BE平分∠ABN，
∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∵AM∥BN，
∴∠C＝∠EDF，
在△ACE与△FDE中，
，
∴△ACE≌△FDE，
∴DF＝AC＝3，
∵BF＝5，
∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，
∵S△ABE﹣S△ACE＝2，
∴5x﹣3x＝2，
∴x＝1，
∴△BDE的面积＝8．
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