人教版八年级数学《第13章 轴对称--垂直平分线》同步复习试卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学《第13章 轴对称--垂直平分线》同步复习试卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 395.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-27 08:54:32 | ||
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文档简介
人教版八年级数学《第13章 轴对称--垂直平分线》同步复习资料
一．选择题（共10小题）
1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
C．全等的两个图形一定成轴对称
D．成轴对称的两个图形一定全等
3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
5．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC＝4，△BCD周长为7，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
二．填空题（共7小题）
11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝ ．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数＝ ．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝ ．
14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 ．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 度．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC＝α，则∠ABC的度数为 （用含a的代数式表示）．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE＝5，AF＝13，则DE＝ ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若l1，l2相交所成的锐角∠AOB＝60°，则∠P1OP2＝ ；
（2）若OP＝3，P1P2＝5，求△P1OP2的周长．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断；
【解答】解：根据轴对称图形的概念，B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
C．全等的两个图形一定成轴对称
D．成轴对称的两个图形一定全等
【分析】根据成轴对称的两图形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线上，所以A选项错误；
B、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线的两旁，所以B选项错误；
C、全等的两个图形不一定成轴对称，所以C选项错误；
D、成轴对称的两个图形一定全等，所以D选项正确．
故选：D．
3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB，BC＝2BD＝6，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，BC＝2BD＝6，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AB+AC＝14，
∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝14，
故选：A．
5．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
∵DE垂直平分AB，
∴∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣50°＝20°．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC＝4，△BCD周长为7，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据垂直平分线性质求出AD＝DB，求出△DBC的周长＝AC+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，垂足E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+DC＝BD+DC，
∵AC＝4，△BCD周长为7，
∴BC＝△BCD的周长﹣AC＝7﹣4＝3，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝100°﹣（∠PAB+∠QAC）＝100°﹣（∠B+∠C）＝20°，
故选：D．
8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝40°．设∠COP＝α，∠DOP＝β，则α+β＝50°．再求出∠CPA＝∠CAP＝∠OAP﹣∠OAB＝50°﹣α．∠DPB＝50°﹣β．根据四边形内角和定理求出∠EPF＝130°，
那么∠CPD＝∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）＝80°．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA＝OP＝OB，CA＝CP，DP＝DB，∠AOC＝∠COP，∠POD＝∠DOB，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB＝2∠COD＝100°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝40°．
设∠COP＝α，∠DOP＝β，则α+β＝50°．
∵OA＝OP，∠AOP＝2α，
∴∠OPA＝∠OAP＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∵∠OAB＝40°，
∴∠CPA＝∠CAP＝∠OAP﹣∠OAB＝50°﹣α．
同理，∠DPB＝50°﹣β．
∵∠EPF＝360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°，
∴∠CPD＝∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）＝130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）＝30°+（α+β）＝80°．
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝35°，
∵∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
故选：A．
10．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝20°，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝ 95° ．
【分析】先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝85°，
∴∠BDC＝∠EDF＝95°，
故答案为：95°．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数＝ 110° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
则2（∠B+∠C）＝140°，
解得，∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝110°，
故答案为：110°．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝ 6° ．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝96°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵∠BAC＝84°，
∴∠ABC+∠ACB＝96°，
∵l1、l2分别是AB、AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝84°，
∴∠OBC+∠OCB＝12°，
∴∠OBC＝6°，
故答案为：6°．
14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 10：51 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 24 度．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC＝α，则∠ABC的度数为 180°﹣2α （用含a的代数式表示）．
【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，再根据四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝2∠BDC＝2α，即可得到∠ABC＝180°﹣2α．
【解答】解：如图所示，连接BE，
∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，
∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，
∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，
∴∠BCD＝∠BED，
又∵∠BED+∠AEB＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE＝5，AF＝13，则DE＝ 4 ．
【分析】连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB＝CB，AD＝AC，∠D＝∠BCA＝90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE＝BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF可得DE＝CF，然后可得ED长．
【解答】解：连接BE，BF，
∵△ABD是△ABC的轴对称图形，
∴△ABD≌△ACB，
∴DB＝CB，AD＝AC，∠D＝∠BCA＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∵点B恰好在EF的垂直平分线上，
∴BE＝BF，
在Rt△DBE和Rt△CBF中，
∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），
∴DE＝CF，
设DE＝x，则CF＝x，
∵AE＝5，AF＝13，
∴5+2x＝13，
x＝4，
∴DE＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
18．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若l1，l2相交所成的锐角∠AOB＝60°，则∠P1OP2＝ 120° ；
（2）若OP＝3，P1P2＝5，求△P1OP2的周长．
【分析】（1）由于P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，可得出∠P1AO＝∠AOP，∠P2OB＝∠POB，再根据∠AOB＝60°即可求解；
（2）根据对称的性质可知，OP1＝OP＝OP2＝3，再根据P1P2＝5即可求出△P1OP2的周长．
【解答】解：（1）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠POB，
∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠POB）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；
故答案为：120°；
（2）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴OP1＝OP＝OP2＝3，
∵P1P2＝5，
∴△P1OP2的周长＝OP1+OP2+P1P2＝3+3+5＝11．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．
【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【分析】（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得到PD＝PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD＝AE，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE，
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD＝AE，
∴AD+6＝10﹣AD，
解得，AD＝2（cm）．
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一．选择题（共10小题）
1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
C．全等的两个图形一定成轴对称
D．成轴对称的两个图形一定全等
3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
5．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC＝4，△BCD周长为7，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
二．填空题（共7小题）
11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝ ．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数＝ ．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝ ．
14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 ．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 度．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC＝α，则∠ABC的度数为 （用含a的代数式表示）．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE＝5，AF＝13，则DE＝ ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若l1，l2相交所成的锐角∠AOB＝60°，则∠P1OP2＝ ；
（2）若OP＝3，P1P2＝5，求△P1OP2的周长．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断；
【解答】解：根据轴对称图形的概念，B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
C．全等的两个图形一定成轴对称
D．成轴对称的两个图形一定全等
【分析】根据成轴对称的两图形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线上，所以A选项错误；
B、两个图形关于某直线对称，对称点可能在这直线的两旁，所以B选项错误；
C、全等的两个图形不一定成轴对称，所以C选项错误；
D、成轴对称的两个图形一定全等，所以D选项正确．
故选：D．
3．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB，BC＝2BD＝6，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，BC＝2BD＝6，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AB+AC＝14，
∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝14，
故选：A．
5．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
∵DE垂直平分AB，
∴∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣50°＝20°．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AC＝4，△BCD周长为7，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据垂直平分线性质求出AD＝DB，求出△DBC的周长＝AC+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，垂足E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+DC＝BD+DC，
∵AC＝4，△BCD周长为7，
∴BC＝△BCD的周长﹣AC＝7﹣4＝3，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝100°﹣（∠PAB+∠QAC）＝100°﹣（∠B+∠C）＝20°，
故选：D．
8．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝40°．设∠COP＝α，∠DOP＝β，则α+β＝50°．再求出∠CPA＝∠CAP＝∠OAP﹣∠OAB＝50°﹣α．∠DPB＝50°﹣β．根据四边形内角和定理求出∠EPF＝130°，
那么∠CPD＝∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）＝80°．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA＝OP＝OB，CA＝CP，DP＝DB，∠AOC＝∠COP，∠POD＝∠DOB，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB＝2∠COD＝100°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝40°．
设∠COP＝α，∠DOP＝β，则α+β＝50°．
∵OA＝OP，∠AOP＝2α，
∴∠OPA＝∠OAP＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∵∠OAB＝40°，
∴∠CPA＝∠CAP＝∠OAP﹣∠OAB＝50°﹣α．
同理，∠DPB＝50°﹣β．
∵∠EPF＝360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°，
∴∠CPD＝∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）＝130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）＝30°+（α+β）＝80°．
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝35°，
∵∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
故选：A．
10．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝20°，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝ 95° ．
【分析】先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝85°，
∴∠BDC＝∠EDF＝95°，
故答案为：95°．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数＝ 110° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
则2（∠B+∠C）＝140°，
解得，∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝110°，
故答案为：110°．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝ 6° ．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝96°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵∠BAC＝84°，
∴∠ABC+∠ACB＝96°，
∵l1、l2分别是AB、AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝84°，
∴∠OBC+∠OCB＝12°，
∴∠OBC＝6°，
故答案为：6°．
14．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 10：51 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 24 度．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC＝α，则∠ABC的度数为 180°﹣2α （用含a的代数式表示）．
【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，再根据四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝2∠BDC＝2α，即可得到∠ABC＝180°﹣2α．
【解答】解：如图所示，连接BE，
∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，
∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，
∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，
∴∠BCD＝∠BED，
又∵∠BED+∠AEB＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE＝5，AF＝13，则DE＝ 4 ．
【分析】连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB＝CB，AD＝AC，∠D＝∠BCA＝90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE＝BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF可得DE＝CF，然后可得ED长．
【解答】解：连接BE，BF，
∵△ABD是△ABC的轴对称图形，
∴△ABD≌△ACB，
∴DB＝CB，AD＝AC，∠D＝∠BCA＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∵点B恰好在EF的垂直平分线上，
∴BE＝BF，
在Rt△DBE和Rt△CBF中，
∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），
∴DE＝CF，
设DE＝x，则CF＝x，
∵AE＝5，AF＝13，
∴5+2x＝13，
x＝4，
∴DE＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
18．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若l1，l2相交所成的锐角∠AOB＝60°，则∠P1OP2＝ 120° ；
（2）若OP＝3，P1P2＝5，求△P1OP2的周长．
【分析】（1）由于P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，可得出∠P1AO＝∠AOP，∠P2OB＝∠POB，再根据∠AOB＝60°即可求解；
（2）根据对称的性质可知，OP1＝OP＝OP2＝3，再根据P1P2＝5即可求出△P1OP2的周长．
【解答】解：（1）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠POB，
∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠POB）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；
故答案为：120°；
（2）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴OP1＝OP＝OP2＝3，
∵P1P2＝5，
∴△P1OP2的周长＝OP1+OP2+P1P2＝3+3+5＝11．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
20．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．
【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【分析】（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得到PD＝PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD＝AE，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE，
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD＝AE，
∴AD+6＝10﹣AD，
解得，AD＝2（cm）．
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