3.5探索与表达规律 优生辅导训练 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导训练（附答案）
1．已知f（1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（2020）的值为（　　）
A．2020 B．4040 C．4042 D．4030
2．观察下列关于x的单项式，探究其规律：
﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…
按照上述规律，则第2020个单项式是（　　）
A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x2020
3．观察下列等式：
（1）13＝12； （2）13+23＝32； （3）13+23+33＝62；
（4）13+23+33+43＝102；
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（　　）
A．45 B．54 C．55 D．65
4．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为6，第一次运算结果输出的是3，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2020次运算后输出的结果是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（　　）
A． B． C． D．
6．下面表格中的四个数都是按照同一规律填写的，仔细想一想表格中的m是多少？（　　）
A．136 B．170 C．191 D．232
7．仔细观察，探索规律：
则22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数为．现已知x1＝﹣是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．4
9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16　…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以　看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中符合这一规律的是（　　）
A．13＝3+10 B．25＝9+16 C．36＝14+22 D．49＝21+28
10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2018＝（　　）
A．3 B．﹣2 C． D．
11．将从1开始的正整数按照如图方式排列，字母PQMN表示数字的位置，则2017这个数应该排的位置是（　　）
A．P B．Q C．M D．N
12．下列一组是按一定规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2016个数是（　　）
A．22014 B．22015 C．22016 D．4032
13．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（　　）
A．37 B．39 C．41 D．43
14．给定一列按规律排列的数：﹣，1，﹣，，…，根据前4个数的规律，第10个数是　 　．
15．已知：20＝1，21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，则20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是　 　．
16．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是　 　
17．观察这一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，若将这列数排成如图所示的形式，按照这个规律排下去，那么第10行从左边起第8个数是　 　．
18．观察下列单项式：2x，9x2，28x3，65x4，…，根据你发现的规律，写出第8个单项式是　 　．
19．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：
若n＝13，则第2019次“F”运算的结果是　 　．
20．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为　 　．
21．将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，“峰206”中C的位置的有理数是　 　．
22．小明利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … 5 8 11 14 17 …
那么，当输入数据为201时，输出的数据为　 　．
23．观察下列各数：，，，，，…，按其规律，第10个数为　 　．
24．一列数1，﹣3x，5x2，﹣7x3，9x4，﹣11x5…，第2011个数是　 　．
25．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是　 　．
26．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
27．阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，an，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　 　，第5项是　 　．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（　 　）d
（3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．
28．设f（x）＝，例如f（1）＝＝，f（2）＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…
（1）直接写出结果：f（4）＝　 　，＝　 　；
（2）计算：f（1）+f（2）++f（3）++f（4）++……+f（100）+．
29.如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．
（1）阴影部分的面积是多少？
（2）受此启发，你能求出的值吗？
参考答案
1．解：根据数字的变化可知：
f（1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），
f（2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），
f（3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），
f（4）＝0（取4×5计算结果的末位数字），
f（5）＝0，
f（6）＝2，
f（7）＝6，
…，
发现规律：2，6，2，0，0五个数一个循环，
所以2020÷5＝404，
所以404（2+6+2+0+0）＝4040，
所以f（1）+f（2）+f （3）+…+f（2020）的值为4040．
故选：B．
2．解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n （3n﹣2）xn，
∴第2020个单项式是（﹣1）2020 （3×2020﹣2）x2020＝6058x2020，
故选：C．
3．解：观察下列等式：
（1）13＝12；
（2）13+23＝32；
（3）13+23+33＝62；
（4）13+23+33+43＝102；
…
∴第十个等式为：13+23+…+93+103＝（1+2+3+4+…+9+10）2＝552；
故选：C．
4．解：把x＝6代入得：×6＝3，
把x＝3代入得：3+5＝8，
把x＝8代入得：×8＝4，
把x＝4代入得：×4＝2，
把x＝2代入得：×2＝1，
把x＝1代入得：1+5＝6，
…，
∵2020÷6＝336…4，
∴第2020次输出的结果是2．
故选：C．
5．解：∵＝，
，
＝，
＝，
＝，
…
由上可知，第n个数是．
故选：D．
6．解：由题可知：右下方的数是对角两个数相乘减去左上方的数，
即m＝10×20﹣9＝191，
故选：C．
7．解：22019+22018+22017+…+2+1
＝（2﹣1）×（22019+22018+22017+…+2+1）
＝22020﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
2020÷4＝505，
∴22020的末个位数字是6，
∴22020﹣1的个位数字是5，
故选：C．
8．解：由已知可得，
x1＝﹣，
x2＝，
x3＝＝4，
x4＝，
可知每三个一个循环，
2019÷3＝673，
故x2019＝4．
故选：D．
9．解：∵1＝1，1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，…，
∴“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和；
∵1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，…，
∴“正方形数”可看成某个自然数的平方．
A、∵在13＝3+10中，13不是“正方形数”，且3、10不是两个相邻“三角形数”，
∴A选项不符合题意；
B、∵在25＝9+16中，9、16、25是相邻的三个“正方形数”，
∴B选项不符合题意；
C、∵1+2+3+4＝10，1+2+3+4+5＝15，
∴14不是“三角形数”，
∴C选的不符合题意；
D、∵1+2+3+4+5+6＝21，1+2+3+4+5+6+7＝28，
∴21、28是两个相邻“三角形数”，
∵49＝72，
∴49为“正方形数”，
∴D选项符合题意．
故选：D．
10．解：∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴a2018＝a2＝﹣2，
故选：B．
11．解：由图可知，每四个数为一个循环组依次循环，P、Q、M为循环组的后三个数，N为下一个循环组的第一个数，
∵2017÷4＝504…1，
∴2017这个数应排的位置是N．
故选：D．
12．解：第2016个数是22015．
故选：B．
13．解：∵23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，
…，
63共有6个奇数，
∴到63“分裂”出的奇数为止，一共有奇数：2+3+4+5+6＝20，
又∵3是第一个奇数，
∴第20个奇数为20×1+1＝41，
即63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是41．
故选：C．
14．解：观察这列数字发现，奇数项是负数，偶数项是正数，因此用（﹣1）n调节符号；分子为3，5，7，9…；分母为12+1，22+1，32+1，…；
∴这列数的第n项为：，
∴第10个数为：，
因此答案为：．
15．解：因为21＝2，22＝4，23＝8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，且2021＝4×505+1，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字之和是：1+（2+4+8+6）×505+2＝10103，
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是3．
故答案是：3．
16．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，
∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故答案为﹣7.5．
17．解：∵第n行左边第一个数的绝对值为（n﹣1）2+1，奇数为负，偶数为正，
∴第10行从左边数第1个数绝对值为82，即这个数为82，
∴从左边数第8个数等于﹣89．
故答案为：﹣89．
18．解：∵第1个单项式2x＝（1+13） x，
第2个单项式9x2＝（1+23） x2，
第3个单项式28x3＝（1+33） x3，
第4个单项式65x4＝（1+43） x4，
……
∴第n个单项式为（1+n3） xn，
∴第8个单项式为（1+83） x8＝513x8，
故答案为：513x8．
19．解：由题意可得，
当n＝13时，
第一次“F”运算的结果为：40，
第二次“F”运算的结果为：5，
第三次“F”运算的结果为：16，
第四次“F”运算的结果为：1，
第五次“F”运算的结果为：4，
第六次“F”运算的结果为：1，
…，
∵（2019﹣3）÷2＝2016÷2＝1008，
∴第2019次“F”运算的结果是4，
故答案为：4．
20．解：观察可知：3a＝21，解得：a＝7，
∴b＝14，
∴x＝21×14+7＝301．
故答案为：301．
21．解：由图可知，每5个数为一个循环组依次循环，
所以，“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1，
当n＝206时，5×206﹣1＝1030﹣1＝1029，
∵1009是奇数，
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029．
故答案为：﹣1029．
22．解：由图表可知，输入x，输出3x+2，
则x＝201时，输出＝3×201+2＝605，
故答案为：605．
23．解：分子是连续的奇数，第n个数可以表示为（2n﹣1）；
第一个数的分母：5＝22+1，
第二个数的分母：10＝32+1，
第三个数的分母：17＝42+1，
第四个数的分母：26＝52+1，
第五个数的分母：37＝62+1，
…，
第n个数的分母：（n+1）2+1，
所以，第n个数为（﹣1）n，
所以，第10个数为（﹣1）10＝．
故答案为：．
24．解：∵一列数1，﹣3x，5x2，﹣7x3，9x4，﹣11x5…，
∴第2011个数是4021x2010．
25．解：根据数的规律可知第n个式子是．
26．解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S＝，
则原式＝；
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S＝，
则原式＝．
27．解：（1）由题意可得，
d＝15﹣10＝5，
第5项是：15+5+5＝25，
故答案为：5，25；
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d，
故答案为：n﹣1；
（3）﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，
理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，
∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2，
∴an＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3，
令﹣2n﹣3＝﹣4039，
解得，n＝2018，
即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项．
28．解：（1）由题意可知：f（4）＝＝；f（）＝；
（2）f（）＝，
∴f（x）+f（）＝1，
∴原式＝+1+1…+1＝99
故答案为：（1）；；（2）99
29．解：∵观察图形发现部分①的面积为：，部分②的面积为：＝，…，部分的面积，
∴（1）阴影部分的面积是＝；
（2）＝1﹣＝；