2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导训练(附答案)
1.已知f(1)=2(取1×2计算结果的末位数字),f(2)=6(取2×3计算结果的末位数字),f(3)=2(取3×4计算结果的末位数字),…,则f(1)+f(2)+f (3)+…+f(2020)的值为( )
A.2020 B.4040 C.4042 D.4030
2.观察下列关于x的单项式,探究其规律:
﹣x,4x2,﹣7x3,10x4,﹣13x5,16x6,…
按照上述规律,则第2020个单项式是( )
A.6061x2020 B.﹣6061x2020 C.6058x2020 D.﹣6058x2020
3.观察下列等式:
(1)13=12; (2)13+23=32; (3)13+23+33=62;
(4)13+23+33+43=102;
根据此规律,第10个等式的右边应该是a2,则a的值是( )
A.45 B.54 C.55 D.65
4.如图所示,在这个数据运算程序中,若开始输入的x的值为6,第一次运算结果输出的是3,返回进行第二次运算则输出的是8,…,则第2020次运算后输出的结果是( )
A.8 B.4 C.2 D.1
5.观察下列一组数:,,,,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是( )
A. B. C. D.
6.下面表格中的四个数都是按照同一规律填写的,仔细想一想表格中的m是多少?( )
A.136 B.170 C.191 D.232
7.仔细观察,探索规律:
则22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
8.若x是不等于1的实数,我们把称为x的差倒数,如2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数为.现已知x1=﹣是x1的差倒数,x3是x2的差倒数,x4是x3的差倒数,…,依此类推,则x2019的值为( )
A. B.﹣1 C. D.4
9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以 看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中符合这一规律的是( )
A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=14+22 D.49=21+28
10.a是不为2的有理数,我们把称为a的“哈利数”.如:3的“哈利数”是=﹣2,﹣2的“哈利数”是,已知a1=3,a2是a1的“哈利数”,a3是a2的“哈利数”,a4是a3的“哈利数”,…,依此类推,则a2018=( )
A.3 B.﹣2 C. D.
11.将从1开始的正整数按照如图方式排列,字母PQMN表示数字的位置,则2017这个数应该排的位置是( )
A.P B.Q C.M D.N
12.下列一组是按一定规律排列的数:1,2,4,8,16,…,则第2016个数是( )
A.22014 B.22015 C.22016 D.4032
13.一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和.例如:23,33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;…;若63也按照此规律来进行“分裂”,则63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是( )
A.37 B.39 C.41 D.43
14.给定一列按规律排列的数:﹣,1,﹣,,…,根据前4个数的规律,第10个数是 .
15.已知:20=1,21=2,22=4,23=8,24的个位数是6,25的个位数是2,…,则20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是 .
16.已知有理数a≠1,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数…依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是
17.观察这一列数:﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6,﹣7,…,若将这列数排成如图所示的形式,按照这个规律排下去,那么第10行从左边起第8个数是 .
18.观察下列单项式:2x,9x2,28x3,65x4,…,根据你发现的规律,写出第8个单项式是 .
19.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时F(n)=3n+1;②当n为偶数时,F(n)=(其中k是使F(n)为奇数的正整数)……,两种运算交替重复进行,例如,取n=24,则:
若n=13,则第2019次“F”运算的结果是 .
20.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:
根据此规律确定x的值为 .
21.将一列数﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6,…,如图所示有序排列.根据图中排列规律可知,“峰1”中峰顶位置(C的位置)是4,那么,“峰206”中C的位置的有理数是 .
22.小明利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如表:
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … 5 8 11 14 17 …
那么,当输入数据为201时,输出的数据为 .
23.观察下列各数:,,,,,…,按其规律,第10个数为 .
24.一列数1,﹣3x,5x2,﹣7x3,9x4,﹣11x5…,第2011个数是 .
25.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据,,,,…中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥秘的大门,请你按照这种规律,写出第n(n≥1)个数据是 .
26.如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值,我们可以用如下的方法:
解:设S=1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2,则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式,得2S﹣S=2101﹣1
即S=2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1
【理解运用】计算
(1)1+3+32+33+…+399+3100
(2)1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100.
27.阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,以此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1、a2、a3,…,an,…,一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,期中a1=1,a2=3,公差为d=2.根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,…的公差d为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:
a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,…,an﹣an﹣1=d,….所以
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+( )d
(3)求﹣4039是等差数列﹣5,﹣7,﹣9,…的第几项?并说明理由.
28.设f(x)=,例如f(1)==,f(2)==,===,===,…
(1)直接写出结果:f(4)= ,= ;
(2)计算:f(1)+f(2)++f(3)++f(4)++……+f(100)+.
29.如图,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②是部分①面积的一半,部分③是部分②面积的一半,依此类推.
(1)阴影部分的面积是多少?
(2)受此启发,你能求出的值吗?
参考答案
1.解:根据数字的变化可知:
f(1)=2(取1×2计算结果的末位数字),
f(2)=6(取2×3计算结果的末位数字),
f(3)=2(取3×4计算结果的末位数字),
f(4)=0(取4×5计算结果的末位数字),
f(5)=0,
f(6)=2,
f(7)=6,
…,
发现规律:2,6,2,0,0五个数一个循环,
所以2020÷5=404,
所以404(2+6+2+0+0)=4040,
所以f(1)+f(2)+f (3)+…+f(2020)的值为4040.
故选:B.
2.解:∵一列关于x的单项式:﹣x,4x2,﹣7x3,10x4,﹣13x5,16x6……,
∴第n个单项式为:(﹣1)n (3n﹣2)xn,
∴第2020个单项式是(﹣1)2020 (3×2020﹣2)x2020=6058x2020,
故选:C.
3.解:观察下列等式:
(1)13=12;
(2)13+23=32;
(3)13+23+33=62;
(4)13+23+33+43=102;
…
∴第十个等式为:13+23+…+93+103=(1+2+3+4+…+9+10)2=552;
故选:C.
4.解:把x=6代入得:×6=3,
把x=3代入得:3+5=8,
把x=8代入得:×8=4,
把x=4代入得:×4=2,
把x=2代入得:×2=1,
把x=1代入得:1+5=6,
…,
∵2020÷6=336…4,
∴第2020次输出的结果是2.
故选:C.
5.解:∵=,
,
=,
=,
=,
…
由上可知,第n个数是.
故选:D.
6.解:由题可知:右下方的数是对角两个数相乘减去左上方的数,
即m=10×20﹣9=191,
故选:C.
7.解:22019+22018+22017+…+2+1
=(2﹣1)×(22019+22018+22017+…+2+1)
=22020﹣1,
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,
2020÷4=505,
∴22020的末个位数字是6,
∴22020﹣1的个位数字是5,
故选:C.
8.解:由已知可得,
x1=﹣,
x2=,
x3==4,
x4=,
可知每三个一个循环,
2019÷3=673,
故x2019=4.
故选:D.
9.解:∵1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…,
∴“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和;
∵1=12,4=22,9=32,16=42,…,
∴“正方形数”可看成某个自然数的平方.
A、∵在13=3+10中,13不是“正方形数”,且3、10不是两个相邻“三角形数”,
∴A选项不符合题意;
B、∵在25=9+16中,9、16、25是相邻的三个“正方形数”,
∴B选项不符合题意;
C、∵1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15,
∴14不是“三角形数”,
∴C选的不符合题意;
D、∵1+2+3+4+5+6=21,1+2+3+4+5+6+7=28,
∴21、28是两个相邻“三角形数”,
∵49=72,
∴49为“正方形数”,
∴D选项符合题意.
故选:D.
10.解:∵a1=3,
∴a2==﹣2,
a3=,
a4=,
a5=,
∴该数列每4个数为一周期循环,
∵2018÷4=504…2,
∴a2018=a2=﹣2,
故选:B.
11.解:由图可知,每四个数为一个循环组依次循环,P、Q、M为循环组的后三个数,N为下一个循环组的第一个数,
∵2017÷4=504…1,
∴2017这个数应排的位置是N.
故选:D.
12.解:第2016个数是22015.
故选:B.
13.解:∵23有3、5共2个奇数,33有7、9、11共3个奇数,43有13、15、17、19共4个奇数,
…,
63共有6个奇数,
∴到63“分裂”出的奇数为止,一共有奇数:2+3+4+5+6=20,
又∵3是第一个奇数,
∴第20个奇数为20×1+1=41,
即63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是41.
故选:C.
14.解:观察这列数字发现,奇数项是负数,偶数项是正数,因此用(﹣1)n调节符号;分子为3,5,7,9…;分母为12+1,22+1,32+1,…;
∴这列数的第n项为:,
∴第10个数为:,
因此答案为:.
15.解:因为21=2,22=4,23=8,24的个位数是6,25的个位数是2,…,且2021=4×505+1,
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字之和是:1+(2+4+8+6)×505+2=10103,
所以20+21+22+23+24+…+22021的个位数字是3.
故答案是:3.
16.解:∵a1=﹣2,
∴a2==,a3==,a4==﹣2,
∴这个数列以﹣2,,,依次循环,且﹣2+=﹣,
∵100÷3=33…1,
∴a1+a2+…+a100=33×(﹣)﹣2=﹣=﹣7.5,
故答案为﹣7.5.
17.解:∵第n行左边第一个数的绝对值为(n﹣1)2+1,奇数为负,偶数为正,
∴第10行从左边数第1个数绝对值为82,即这个数为82,
∴从左边数第8个数等于﹣89.
故答案为:﹣89.
18.解:∵第1个单项式2x=(1+13) x,
第2个单项式9x2=(1+23) x2,
第3个单项式28x3=(1+33) x3,
第4个单项式65x4=(1+43) x4,
……
∴第n个单项式为(1+n3) xn,
∴第8个单项式为(1+83) x8=513x8,
故答案为:513x8.
19.解:由题意可得,
当n=13时,
第一次“F”运算的结果为:40,
第二次“F”运算的结果为:5,
第三次“F”运算的结果为:16,
第四次“F”运算的结果为:1,
第五次“F”运算的结果为:4,
第六次“F”运算的结果为:1,
…,
∵(2019﹣3)÷2=2016÷2=1008,
∴第2019次“F”运算的结果是4,
故答案为:4.
20.解:观察可知:3a=21,解得:a=7,
∴b=14,
∴x=21×14+7=301.
故答案为:301.
21.解:由图可知,每5个数为一个循环组依次循环,
所以,“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1,
当n=206时,5×206﹣1=1030﹣1=1029,
∵1009是奇数,
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029.
故答案为:﹣1029.
22.解:由图表可知,输入x,输出3x+2,
则x=201时,输出=3×201+2=605,
故答案为:605.
23.解:分子是连续的奇数,第n个数可以表示为(2n﹣1);
第一个数的分母:5=22+1,
第二个数的分母:10=32+1,
第三个数的分母:17=42+1,
第四个数的分母:26=52+1,
第五个数的分母:37=62+1,
…,
第n个数的分母:(n+1)2+1,
所以,第n个数为(﹣1)n,
所以,第10个数为(﹣1)10=.
故答案为:.
24.解:∵一列数1,﹣3x,5x2,﹣7x3,9x4,﹣11x5…,
∴第2011个数是4021x2010.
25.解:根据数的规律可知第n个式子是.
26.解:(1)设S=1+3+32+33+…+3100,①
①式两边都乘以3,得3S=3+32+33+…+3101,②
②﹣①得:2S=3101﹣1,即S=,
则原式=;
(2)设S=1﹣3+32﹣33+…+3100,①
①式两边都乘以3,得3S=3﹣32+33﹣…+3101,②
②+①得:4S=3101+1,即S=,
则原式=.
27.解:(1)由题意可得,
d=15﹣10=5,
第5项是:15+5+5=25,
故答案为:5,25;
(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:
a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,…,an﹣an﹣1=d,….所以
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+(n﹣1)d,
故答案为:n﹣1;
(3)﹣4039是等差数列﹣5,﹣7,﹣9,…的第2018项,
理由:等差数列﹣5,﹣7,﹣9,…,
∴d=﹣7﹣(﹣5)=﹣7+5=﹣2,
∴an=﹣5+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n﹣3,
令﹣2n﹣3=﹣4039,
解得,n=2018,
即﹣4039是等差数列﹣5,﹣7,﹣9,…的第2018项.
28.解:(1)由题意可知:f(4)==;f()=;
(2)f()=,
∴f(x)+f()=1,
∴原式=+1+1…+1=99
故答案为:(1);;(2)99
29.解:∵观察图形发现部分①的面积为:,部分②的面积为:=,…,部分的面积,
∴(1)阴影部分的面积是=;
(2)=1﹣=;