第4章图形的相似 知识点分类训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》知识点分类训练（附答案）
一．比例的性质
1．如果＝，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如果5a＝4b，那么＝　 　．
二．比例线段
3．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
4．若＝＝（a≠2c），则＝　 　．
5．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 　 　．
三．平行线分线段成比例
6．如图，在△ABC中，点D，E、F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列式于一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝　 　．
8．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AC上，将△ABD沿BD翻折，点A的对称点为A'，使得A'D∥BC，则∠BDC＝　 　，＝　 　．
四．相似图形
10．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．135° B．90° C．60° D．45°
11．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
12．下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（　　）
A．B．C．D．
13．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　．
14．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　 　．
五．相似多边形的性质
15．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）
A．a＝2b B．a＝b C．a＝4b D．a＝2b
16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝m（m＞1），将此矩形对折，使得边AB与CD重合．如果对折后得到的矩形与原矩形相似，那么m等于（　　）
A． B．2 C． D．
17．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A．3 B．2 C．3 D．2
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为 　 　．
六．相似三角形的性质
19．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
20．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 　 　．
21．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是 　 　．
22．已知：△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，如果△DEF的周长为12，那么△ABC的周长是 　 　．
23．若两个相似三角形相似比为4：5，较小三角形的面积为16，则较大三角形的面积是 　 　．
24．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．
七．相似三角形的判定
25．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC
28．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
29．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
30．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　 　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
31．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是　 　．（△ABC除外）
32．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 　 　．
33．如图△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
八．相似三角形的判定与性质
34．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
35．在△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC＝4，下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：4；其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
36．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD，DA上，四边形EFGH由两个正方形组成且AB＝1，则线段BE的长为（　　）
A．﹣1 B．3﹣ C． D．
37．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　）
A．1 B．3 C．2 D．0
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连接CG交AB于点M，连接CE，CH．若CH＝2CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．
39．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为 　 　．
40．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 　 　．
41．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　 　；
（2）EF长的最小值为 　 　．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，连接AE．若AC＝3，BC＝4，则AE的长为 　 　．
43．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD中点，连接AE、BD交于点P，连接PC，则PC的长为 　 　．
九．相似三角形的应用
44．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
45．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
46．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A．16 B．24 C．30 D．36
47．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
48．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20cm，到屏幕的距离为40cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 　 　cm．
49．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是　 　米．
50．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 　 　m．
十．作图-相似变换
51．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
52．如图是4×4的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图①中作出△AB1C1；
（2）在图②中作格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且周长比为；
（3）在图③中作一个与△ABC相似且面积最大的格点△A3B3C3
53．如图△ABC，点A，B，C在格点上，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，画出格点△ADE，使△ADE和△ABC相似且相似比为2：1；
（2）在图2中，画出格点△AEF，使△AEF和△ABC相似且面积比为5：2．
十一．位似变换
54．如图，△ABC与△A'B'C'位似，点O是它们的位似中心，其中BC＝2B'C'，若点A的坐标为（4，2），则A'O的长度为（　　）
A． B． C． D．
55．如图直角坐标系，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，6）
56．如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　）
A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
57．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA＝2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（　　）
A． B．S C．S D．S
58．如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
十二．作图-位似变换
59．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　 　．
60．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（2，2），C（4，4）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标．
（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2．
参考答案
一．比例的性质
1．解：设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：∵5a＝4b，
∴．
故答案为：．
二．比例线段
3．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
4．解：∵＝＝（a≠2c），
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．
5．解：∵＝＝（b+d≠0），
∴＝．
故答案为：．
三．平行线分线段成比例
6．解：∵DE∥BC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
故选：B．
7．解：∵l1∥l2∥l1，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AC＝AB+BC＝1+＝，
故答案为：．
8．解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
9．解：方法一：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
延长A′D交AB于E，过E作EF⊥A′B于F，如图：
∵AB＝AC，A'D∥BC，
∴AD＝AE，
∵△ABD沿BD翻折，
∴AD＝A′D＝A′G＝AE，BG＝BE，
∵△ABD沿BD翻折，A'D∥BC，
∴∠A＝∠A′＝∠A′BC＝30°，
而∠C＝75°，
∴∠BGC＝75°，∠EBF＝45°，
∴BC＝BG＝BE，
设AD＝A′D＝AE＝A′G＝a，EF＝x，
Rt△A′EF中，A′F＝x，
Rt△BEF中，BF＝x，BE＝x，
由AB＝A′B可得：a+x＝x+x，
解得x＝a，
∴BE＝BC＝x＝a，
∴＝＝＝．
方法二：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
过G作GH⊥AB于H，如图：
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A'＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A'BC＝30°，
∴∠ABA'＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
设GH＝BH＝m，则BG＝m，
∴AH＝m，
∴AB＝AH+BH＝m+m，
∴A'B＝AB＝m+m，
∴A'G＝A'B﹣BG＝m+m﹣m，
∵∠ACB＝75°，∠A'BC＝30°，
∴∠BGC＝∠A'GD＝75°，
∴BC＝BG＝m，
∵∠A'＝30°，∠A'GD＝75°，
∴∠A'DG＝75°，
∴A'D＝A'G＝m+m﹣m，
∴AD＝m+m﹣m，
∴＝＝．
故答案为：52.5°，．
四．相似图形
10．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
11．解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．
故选：B．
12．解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
13．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．
14．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
五．相似多边形的性质
15．解：∵小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b，
∴＝，
∴a2＝b2，
∴a2＝4b2，
∴a＝2b（负数舍去），
故选：D．
16．解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：＝，
∴＝，
∴m2＝2，
∵m＞0，
∴m＝，
故选：A．
17．解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
解得a＝3或﹣3（舍弃），
∴a＝3，
故选：C．
18．解：设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得，x＝2，
∴AD＝2x＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB AD＝4×4＝16，
故答案为：16．
六．相似三角形的性质
19．解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
20．解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
21．解：∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝，
故答案为：．
22．解：∵△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，
∴C△ABC：C△DEF＝3：4，
∵△DEF的周长是12，
∴C△ABC：12＝3：4，
∴△ABC的周长是9，
故答案为：9．
23．解：∵两个相似三角形的相似比是4：5，
∴两个相似三角形的面积比是16：25，
设较大三角形的面积是x．
∵较小三角形的面积为16，
∴16：25＝16：x．
解得x＝25．
故答案为：25．
24．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
七．相似三角形的判定
25．解：∵AB∥CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，△FCD∽△FAB，△ABC∽△FEC．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
26．解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．
27．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2＝AP AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
28．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
29．解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
30．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
31．解：∵△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，
②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
32．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CBP＝∠OBA，
∴Rt△BPC∽Rt△BAO，
∴＝，
∵点B（8，0）和点A（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴BC＝5，
∴＝，
∴BP＝，
∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．
33．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
八．相似三角形的判定与性质
34．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴＝，
＝，
＝，
＝，
∴≠，
≠，
≠，
故选：C．
35．解：如图，
在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC＝2，
∴△ADE∽△ABC，
故①②正确；
∵△ADE∽△ABC，，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，
△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，
故③正确，④错误．
故选：C．
36．解：由题意知，GF＝2EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，AB＝BC＝DC＝1．
∵∠DFG+∠CFE＝∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFG＝∠CEF，
∴△DFG∽△CEF，
∴＝2，
设BE＝x，则CE＝1﹣x，
∴DF＝2CE＝2﹣2x，
同理可得△CEF∽△BAE，
∴，
∴，
∴CF＝x﹣x2，
∵CD＝AB，
∴2﹣2x+x﹣x2＝1，
解得x＝（负值舍去），
∴BE＝．
故选：D．
37．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
38．解：如图所示，过C作CN⊥AB于N，
由题可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°，
∴△ACE∽△BCH，
∴，
设AC＝a，则BC＝2a，AB＝a，CN＝a，
Rt△ACN中，AN＝＝a，
∴BN＝a﹣a＝a，
∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB，
∴△CNM∽△GBM，
∴，
∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a，
∴AM＝AN+MN＝a，
∴＝，
故选：B．
39．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，即＝，
解得：CD＝，
故答案为：．
40．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得，OF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OF＝．
故答案为：．
41．解：（1）如图，连接AF交BD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF∽Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBG，
∴∠ADB＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴当AE＝1时，EF的长为；
故答案为：；
（2）如图，因为EF⊥AE，
所以当点F与点B重合时，EF长最小，
在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝＝，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°，
∵∠DBA＝∠AFE，
∴△DBA∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
42．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠C＝∠DBE＝90°，
∴△ACB∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
43．解：如图，过点P作PQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
∵AB＝2，AD＝BC＝，
∴BD＝＝，
∴BP＝，
∴BQ＝＝＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝﹣＝，
∴PC＝＝＝．
故答案为：．
九．相似三角形的应用
44．解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故选：C．
45．解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，
则CD∥AE，
∴△BDC∽△BEA，
∴，
∴＝，
解得BA＝2，
∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，
故选：B．
46．解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
47．解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
48．解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
设屏幕上的小树高是x，
，
解得x＝18cm．
故答案为：18．
49．解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO∽△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
50．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
则BE＝CD＝2（m），DE＝BC＝5（m）．
∵同一时刻物高和影长成正比，
∴＝，
∴AE＝7m，
∴AB＝AE+BE＝7+2＝9（m），
即：这棵大树高为9m．
故答案为：9．
十．作图-相似变换
51．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
52．解：（1）如图①中，△AB1C1即为所求作．
（2）如图②中，△A2B2C2即为所求作．
（3）如图③中，△A3B3C3即为所求作．
53．解：（1）如图，△ADE为所作；
（2）如图，△AEF为所作．
十一．位似变换
54．解：∵点A的坐标为（4，2），
∴OA＝＝2，
∵△ABC与△A'B'C'位似，
∴△ABC∽△A'B'C'，AC∥A′C′，
∴＝＝，△AOC∽△A'OC'，
∴＝＝，
∴A'O＝，
故选：B．
55．解：∵以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，A（6，3），
∴点C的坐标为（6×，3×），即（2，1），
故选：B．
56．解：延长CA、DB交于点P1，
则点P1为位似中心，
故选：A．
57．解：∵△ABC与△DEF是以O为位似中心位似图形，OA＝2OD，
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，
∴＝22＝4，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积S，
故选：C．
58．解：设点B的坐标为（x，y），
因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2 x＝4，﹣2 y＝﹣2，
即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
十二．作图-位似变换
59．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，
∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上，
①①②④正确，
故答案为：①②④．
60．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作