4.4探索三角形相似的条件 同步练习 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习（附答案）
1．如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　）
A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C
3．在△ABC和△A1B1C1中，有下列条件：①＝，②＝，③∠A＝∠A1，④∠B＝∠B1，⑤∠C＝∠C1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
4．下列命题，其中真命题的个数是（　　）
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ②两个等边三角形一定相似；
③有一个内角是100°的两个等腰三角形相似； ④任意两个矩形一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD AB，则（　　）
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝
7．如图∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只添加一个条件，这个条件不可能是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A．B．C．D．
11．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：
①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD AB；④AB CD＝AC BC．
其中能判定△ACD∽△ABC的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16； ④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
13．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（　　）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）
A．100° B．120° C．115° D．135°
15．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
16．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（　　）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为　 　．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为　 　．
19．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．当AB＝　 　时，△ABC与△ACD相似．
20．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于　 　．
21．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
23．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
24．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，并请说明理由．
25．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
26．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，试说明△ACE∽△BAD．
27．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
参考答案
1．解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ANC＝∠AMB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABM∽△ACN，
∴，即，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；
由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵Rt△ACN中，∠A＝60°，
∴∠ACN＝30°，
∴AN＝AC，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，
即BC＝2MN，故③正确．
故选：C．
2．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
B、∵＝，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
C、∵＝，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等，
∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确；
D、∵∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
故选：C．
3．解：选①②，可得：＝＝，由SSS可判定两个三角形相似；
选①④或②⑤，可通过SAS判定两个三角形相似；
若选③④、③⑤或④⑤，可通过AA判定两个三角形相似；
所以共有6组；故选C．
4．解：
∵∠A＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴△ACB∽△DEF，∴①是真命题；
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°，
∴△ABC∽△DEF，∴②是真命题；
根据三角形的内角和定理：等于100°的角只能是顶角，即△ABC和△DEF的顶角∠A＝∠D＝100°，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，∠E＝∠F＝（180°﹣∠D）＝40°，
∴∠B＝∠E，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，∴③是真命题；
∵正方形也是矩形，
∴当一个是正方形，而另一个是一般矩形时，两个矩形就不相似，∴④是假命题；
故选：C．
5．解：∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
6．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
7．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
8．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
10．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
11．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
③∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，
故选：C．
12．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC，
∵点E是OA的中点，
∴CE＝3AE，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴BC＝3AF，
∴FD＝2AF，
所以结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，
CE＝3AE，
∴＝32，
∴S△BCE＝9S△FAE＝36，
所以结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3EF，
∴S△BCE＝3S△ABE，
∴S△ABE＝12，
所以结论③错误；
④假设△AEF∽△ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD，
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线，
∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，
所以结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB CF．
∵AB＝2CE，
∴CF＝，
故②正确，③错误，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，．
∴，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选：B．
14．解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A＝∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．
故选：B．
15．解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A
所以△APC∽△ACB；
当AB CP＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
16．解：∵∠BAD＝∠C，
∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA＝∠BEC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选：A．
17．解：∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC
则＝
∴＝
解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP
则＝
∴＝
解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．
故答案为：2.8或1或6．
18．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
19．解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，
∴CD＝，
设AB＝x，
当AC：AD＝AB：AC时，△ABC∽△ACD，
∴，
解得AB＝3；
当AB：AC＝AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴，
解得AB＝3，
故答案为：3或3．
20．解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故答案为10或6.4
21．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
22．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；
当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
23．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
24．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，
而∠AMB+∠MAB＝90°，
∴∠MBA＝∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
理由如下：，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝4，BM＝MC＝2，
∴AM＝2，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴＝＝2，
∴MN＝AM＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠ABM＝∠AMN＝90°，
∴Rt△ABM∽Rt△AMN．
25．证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，＝，
∴＝，
∴△ACP∽△PDB．
26．解：∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD．
27．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．