【课后培优】13.3.1等腰三角形同步练习（含解析）

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等腰三角形
一、单选题
1．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
2．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，D、E为AB边上的两点，且AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（　 ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
5．如图，已知△ABC中，AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
6．如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
8．已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE＝3：1，则∠C等于（　　）
A．28° B．25° C．22．5° D．20°
10．如图，ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝5，将ABC沿射线AC的方向平移1个单位长度得到DEF，DE与BC交于点G，DC＝DG，则阴影部分面积是（　　）
A．4 B．8 C．9 D．
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ）
A．56° B．32° C．50° D．58°
12．如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE＝a，DC＝b，下列四个结论：①平分∠BDE；②BC长为2a＋b；③△是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中，正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题
13．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内部一点，DB＝DC，点E是边AB上一点，若CD平分∠ACE，∠AEC＝100°，则∠BDC＝_____°．
14．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．
15．如图，在中，，，平分交AC于D，平分交于点E，则图中等腰三角形有__________个．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△BEF的面积为12，则图中阴影面积为___．
17．如图，ABC中，∠C＝72°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，将ABE沿BE翻折得到，若，则∠ABC＝___．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB=AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
19．已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
20．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
21．如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE交AD于点F，AG ⊥BE，垂足为点H，交BC于点G．
（1）求证：△FBD≌△AGD；
（2）求证：BD = AF + DG．
22．如图1，为测量池塘宽度，可在池塘外的空地上取任意一点，连接、，并分别延长至点，，使，，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，，，请直接写出池塘宽度．
参考答案
1．C
解：由题意可知△ABC为等腰三角形的格点C的情况如图示：
∴满足情况的C点个数为6个；
故选C．
2．A
解：当腰是3时，则另两边是3，7，而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3时，另两边长是5，5，
则该等腰三角形的底边为3，
故选：A．
3．C
解：如图，过点E作于，
，是等腰三角形底边上的中线，
，
平分，，，
，
又，
的面积，
故选：C．
4．B
解：∵在△ABC中，∠ACB＝100°，
∴∠A+∠B=80°，即∠B=80°-∠A，
∵AC＝AE，BC＝BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
∴在△AEC中，，
在△BDC中，，
∴，
∴在△DEC中，；
故选B．
5．D
解：设经过t秒后，△BPD≌△CQP，
∵AB=AC=24cm，点D为AB的中点，
∴BD=12cm，
∵∠B=∠C，BP=CQ=4t，
∴要使△BPD和△CQP全等，只有BD=CP=12cm，
则16-12=4t，
解得：t=1，
v=4÷1=4cm/秒，
当BP=PC时，△BPD≌△CPQ，
∵BC=16cm，
∴PB=8cm，
t=8÷4=2s，
QC=BD=12cm，
v=12÷2=6cm/秒．
故选：D．
6．C
解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确．
故①②④正确．
故选：C．
7．B
解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选B．
8．C
解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
故选C．
9．A
解：设∠CAE＝x，则∠EAB＝3x．
∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴AE＝CE．
∴∠C＝∠CAE＝x．
根据三角形的内角和定理，得
∠C+∠BAC＝180°﹣∠B，
即x+4x＝140°，
x＝28°．
则∠C＝28°．
故选：A．
10．D
解：∵∠A=90°，AC=AB=5，
∴S△ABC=×5×5=，
∵CF=1，
∴DC=DG=AC-CF=4，
∴S△DGC=×4×4=8，
由平移的性质得：S△ABC=S△DEF，
∴S阴影=S△DEF-S△DGC=-8=，
故选：D．
11．A
解：如图，连接BO，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180° 56°）÷2＝62°，
∵AO是∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝28°，
又∵OD是AB的中垂线，
∴∠OBA＝∠OAB＝28°，
∴∠OBC＝∠OCB＝62° 28°＝34°，
∵EF垂直平分线段OC，
∴∠CEF＝90° 34°＝56°．
故选A．
12．B
解：（1）由折叠的性质得，∠BDC′=22.5°，∠C′DE=∠CDE=45°，
∴DC′不平分∠BDE故①错误；
（2）由折叠性质可得DE=AD=EC=EC′=a，AC=AB=BE=a+b
∴BC=EB+EC=a+b+a=2a+b,故②正确；
（3）∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠DBC=22.5°，∠DC′C=∠DCB=45°=∠DBC′+∠BDC′，
∴∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，故③正确；
（4）由折叠的性质可得出△DEC和△DEC'均是等腰直角三角形，
又∵BC′=DC′，
∴△CED的周长=CE+DE+CD=CE+C′E+BC′=BC，故④正确．
综上可得②③④正确，共三个．
故选：B．
13．80
解：设∠ACD=∠DCE=x，∠ECB=y，
∵AB=AC，DB=DC，
∴∠ABC=∠ACB=2x+y，∠DCB=∠DBC=x+y，
∵∠AEC=∠ECB+∠EBC，
∴2x+2y=100°，
∴∠BDC=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-2（x+y）=80°．
故答案为：80．
14．8
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，
交x轴有一点，交y轴有两点，
此时AB = AM，
为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，
交直线x轴有两点，交y轴有一点，
此时BM = BA，
为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，
此时MA = MB，
为等腰三角形，
符合条件的点有8个，
故答案为：8．
15．5
解：AB=AC，
△ABC是等腰三角形，
∠A=36°，
∠ACB=∠ABC=72°，
BD平分∠ABC交AC于D，
∠ABD=∠DBC=36°，
∠A=∠ABD=36°，
△ABD是等腰三角形，
∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
△BDC是等腰三角形，
CE平分∠BCD交BD于点E，
∠BCE=∠DCE=36°，
∠EBC=∠ECB=36°，
△BCE是等腰三角形，
∠DEC=∠EBC+∠ECB=72°=∠EDC，
△CDE是等腰三角形，
共有△ABC 、△ABD 、△BDC 、△BCE 、△CDE 这5个等腰三角形，
故答案为：5．
16．36
解：∵在中，，AD是BC边上的高，
∴，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：,
故答案为：36．
17．
解：，
，
，
垂直平分线段，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
∵，
，
∵∠C＝72°，
，
，
故答案为：．
18．64°
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△EDB和△DFC中，
∴△EDB≌△DFC（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
对于△BED，有∠B+∠BED=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDE+∠CDF，
∴∠B=∠FDE=58°，
∴∠C=∠B=58°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-58°-58°=64°．
19．见解析
解：∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD＝∠ACD＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
20．（1）；（2）40°
解：（1）、分别垂直平分和，
，，
的周长；
（2），
，
，，
，
，
，，
，，
．
21．（1）见解析；（2）见解析
解：（1）∵BA=AC，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴AD=BD=DC，
∵，
∴，
∴，
,
∵，
∴
在和中，
∴（ASA）
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴AF=CG，BF=AG，
∴AF+DG=GC+DG=DC，
∵BD=DC，
∴BD=AF+DG．
22．（1）见详解；（2）21m
解：（1）在△ABO与△CDO中
∵，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
（2）如图所示：
延长OF、CE交于点G，
∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，
∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，
∴∠G＝180° 40° 70°＝70°，
∴EF＝EG，
∵CE＝11m，EF＝10m，
∴CG＝CE＋EG＝CE＋EF＝11＋10＝21m，
∵CG∥AB，
∴∠A＝∠C，
在△ABO与△CGO中
，
∴△ABO≌△CGO（ASA）
∴AB＝CG＝21m．
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